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1、1 数学期望数学期望方差方差协方差、相关系数协方差、相关系数其它数字特征其它数字特征第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征2在一些实际问题中，我们需要了解随机变在一些实际问题中，我们需要了解随机变量的分布函数外，更关心的是随机变量的量的分布函数外，更关心的是随机变量的某些特征。某些特征。问题的提出：问题的提出：3 例：例：在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的是平在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的是平均产量；均产量；在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的平在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的偏离均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的
2、偏离程度；程度；考察杭州市区居民的家庭收入情况，我们既知家考察杭州市区居民的家庭收入情况，我们既知家庭的年平均收入，又要研究贫富之间的差异程度。庭的年平均收入，又要研究贫富之间的差异程度。4试问哪个射手技术较好试问哪个射手技术较好?例例:谁的技术比较好谁的技术比较好?乙射手乙射手甲射手甲射手5 解：计算甲的平均成绩：解：计算甲的平均成绩：计算乙的平均成绩：计算乙的平均成绩：所以甲的成绩好于乙的成绩。所以甲的成绩好于乙的成绩。6定义：设离散型随机变量定义：设离散型随机变量X的分布律为的分布律为若级数若级数 则称级数则称级数 的值为的值为X的的数学期望数学期望，记为，记为E(X)，即，即4.1 4
3、.1 数学期望数学期望(一一)数学期望定义数学期望定义7定义：设连续型随机变量定义：设连续型随机变量X的概率密度的概率密度函数为函数为f(x)，若积分，若积分则称积分则称积分 的值为的值为X的的数学期望数学期望，记为记为E(X)，即，即数学期望简称数学期望简称期望期望，又称，又称均值均值。8例例1.1 澳门赌场猜大小游戏中有买澳门赌场猜大小游戏中有买4点的点的游戏，游戏规则如下，掷游戏，游戏规则如下，掷3颗骰子，点数颗骰子，点数之和为之和为4赌场输，赌场赔率赌场输，赌场赔率1赔赔50,否则其否则其押金归赌场所有押金归赌场所有,问此规则对赌场还是赌问此规则对赌场还是赌客更有利客更有利?9解：显然
4、赌客猜中解：显然赌客猜中4点的概率为点的概率为3/216=1/72.设一赌客押了设一赌客押了1元元,那么根据规则那么根据规则,他赢他赢50元的概元的概率为率为1/72,输输1元的概率为元的概率为71/72.因此经过一次因此经过一次赌博赌博,他能他能期望期望得到的金额为得到的金额为:所以对赌场有利所以对赌场有利.10例例1.2 1.2 设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为证明证明X不存在数学期望不存在数学期望.证明证明:由于由于 即该无穷级数是发散的，由数即该无穷级数是发散的，由数学期望定义知，学期望定义知，X不存在数学期望不存在数学期望.11例例1.3 1.3 设随机变量设随机变量X的概
5、率密度函数为的概率密度函数为证明证明X不存在数学期望不存在数学期望.证明证明:由于由于 由数学期望定义知，由数学期望定义知，X不存在数学期望不存在数学期望.1213141516例例1.7 某厂生产的电子产品某厂生产的电子产品,其寿命其寿命(单位单位:年年)服从指服从指数分布数分布,概率密度函数为概率密度函数为若每件产品的生产成本为若每件产品的生产成本为350元元,出售价格为出售价格为500元元,并向顾客承诺并向顾客承诺,如果售出一年之内发生故障如果售出一年之内发生故障,则免费则免费调换一件调换一件;如果在三年之内发生故障如果在三年之内发生故障,则予以免费维则予以免费维修修,维修成本为维修成本为
6、50元元.在这样的价格体系下在这样的价格体系下,请问请问:该厂该厂每售出一件产品每售出一件产品,其平均净收入为多少其平均净收入为多少?17解：解：记某件产品寿命为记某件产品寿命为X(年年),售出一件产品的净收入为售出一件产品的净收入为Y(元元)，则，则由于由于X服从指数分布，那么服从指数分布，那么18即即Y的分布律为的分布律为Y -200 100 150 p因此售出一件产品的平均净收入为因此售出一件产品的平均净收入为19(二二)随机变量函数的随机变量函数的数学期望数学期望20 定理的重要意义在于，求定理的重要意义在于，求E(Y)时，不必算时，不必算出出Y的分布律或概率密度函数，只利用的分布律或
7、概率密度函数，只利用X的的分布律或概率密度函数分布律或概率密度函数;可以将定理推广到两个或两个以上随机可以将定理推广到两个或两个以上随机变量的函数的情况变量的函数的情况.21222324 例例1.9 1.9 设随机变量设随机变量(X,Y)的联合密度函数为：的联合密度函数为：求求E(X),),E(XY).).25 例例1.9 1.9 设随机变量设随机变量(X,Y)的联合密度函数为：的联合密度函数为：求求E(X),),E(XY).).26例例1.10 1.10 某商店经销某种商品，每周进货量某商店经销某种商品，每周进货量X与与需求量需求量Y是相互独立的随机是相互独立的随机变变量，都量，都U10,2
8、0.商店每售出一商店每售出一单单位商品可位商品可获获利利1万元，若需求万元，若需求量超量超过进货过进货量，商店可从其他量，商店可从其他处调剂处调剂供供应应，此，此时时每每单单位商品位商品获获利利0.5万元；求商店万元；求商店经销该经销该商品商品每周所每周所获获利利润润的数学期望的数学期望.2728例例1.11 设按季节出售的某种应时产品的销售设按季节出售的某种应时产品的销售量量X(单位单位:吨吨)服从服从5,10上的均匀分布上的均匀分布.若销售出一吨产品可盈利若销售出一吨产品可盈利C1=2万元万元;但若在销售季节未能售完但若在销售季节未能售完,造成积压造成积压,则每吨产则每吨产品将会净亏损品将
9、会净亏损C2=0.5万元万元.若该厂家需要提前生产该种商品若该厂家需要提前生产该种商品,为使厂家能获为使厂家能获得最大的期望利润得最大的期望利润,问问:应在该季生产多少吨产应在该季生产多少吨产品最为合适品最为合适?29解：设应在该季生产解：设应在该季生产a吨产品吨产品 ，所，所获利润为获利润为Y万元，则万元，则Y依赖于销售量依赖于销售量X及产量及产量a，3031(三三)数学期望数学期望的特性的特性1.设设C是常数，则有是常数，则有E(C)=C,2.设设X是随机变量是随机变量,C是常数是常数,则有则有E(C X)=CE(X),3.设设X,Y是随机变量是随机变量,则有则有E(X+Y)=E(X)+E
10、(Y),合起来为合起来为E(aX+bY+c)=aE(X)+bE(Y)+c.推广到任意有限个随机变量线性组合：推广到任意有限个随机变量线性组合：324.设设X,Y是相互独立随机变量是相互独立随机变量,则有则有 E(XY)=E(X)E(Y),推广到任意有限个相互独立随机变量之积：推广到任意有限个相互独立随机变量之积：33下面仅对连续型随机变量给予证明证明：证明：34353637例例1.13 1.13 一专用电梯载着一专用电梯载着1212位乘客从一层上升，位乘客从一层上升，最高最高1111层层.假设中途没有乘客进入，每位乘客假设中途没有乘客进入，每位乘客独立等概率地到达各层独立等概率地到达各层.如果
11、没有乘客到达某如果没有乘客到达某层楼，电梯在该层就不停层楼，电梯在该层就不停.记电梯停留次数为记电梯停留次数为X，求，求E(X).).(设电梯到达设电梯到达1111层后乘客全部下完层后乘客全部下完)38 解：引入随机变量：解：引入随机变量：39 本题是将本题是将X分解成数个分解成数个随机变量之和随机变量之和，然后利用随机变量和的数学期望等于随然后利用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望之和来求数学期望，这机变量数学期望之和来求数学期望，这种处理方法具有一定的普遍意义。种处理方法具有一定的普遍意义。40414 4.2 2 方差方差设有一批灯泡寿命为：一半约设有一批灯泡寿命为：一半约950小时
12、，另一半约小时，另一半约1050小时小时平均寿命为平均寿命为10001000小时；小时；另一批灯泡寿命为：另一批灯泡寿命为：一半约一半约1300小时，另一半约小时，另一半约700小时小时平均寿命为平均寿命为10001000小时；小时；问题：哪批灯泡的质量更好？问题：哪批灯泡的质量更好？单从平均寿命这一指标无法判断，进一步考察灯泡单从平均寿命这一指标无法判断，进一步考察灯泡寿命寿命X与均值与均值10001000小时的偏离程度。小时的偏离程度。方差方差正是体现这种意义的数学特征。正是体现这种意义的数学特征。42(一一)方差的定义方差的定义定义定义 设设X是随机变量，若是随机变量，若 存在，存在，则
13、称其为则称其为X的的方差方差，记为，记为Var(X)或或D(X),),即即将将 记为记为 称称为为X的的标标准差准差或均方差，或均方差，它与它与X有相同的量有相同的量纲纲.方差方差Var(X)刻画了刻画了X取取值值的分散程度，的分散程度，若若 X取值比较集中，则取值比较集中，则Var(X)较小，反之，若较小，反之，若X取值比较分散，则取值比较分散，则Var(X)较大较大.因此因此Var(X)是是衡量衡量X取值分散程度的一个指标取值分散程度的一个指标.43对于对于离散型离散型随机变量随机变量X，对于对于连续型连续型随机变量随机变量X，44 此外，利用数学期望的性质，可得方差的此外，利用数学期望的
14、性质，可得方差的计算公式：计算公式：45例例2.12.1设随机变量设随机变量X具有具有0-10-1分布，其分布律为：分布，其分布律为：解：解：4647解：解：X的密度函数为：的密度函数为：48例例2.4 2.4 设随机变量设随机变量X服从指数分布，其密度服从指数分布，其密度函数为：函数为：49(二二)方差的性质：方差的性质：50推广到任意有限个独立随机变量线性组合的情况推广到任意有限个独立随机变量线性组合的情况51证明：证明：5253Xkp011-pp545557表表1 1 几种常见分布的均值与方差几种常见分布的均值与方差数学期望数学期望 方差方差 分布率或 密度函数 分布 01分布 p p(
15、1-p)二项分布B(n,p)npnp(1-p)泊松分布 均匀分布U(a,b)指数分布正态分布5960 定义：设随机变量定义：设随机变量X X具有数学期望具有数学期望614.3 4.3 协方差与相关系数协方差与相关系数协方差的计算公式：协方差的计算公式：方差性质的补充：方差性质的补充：62协方差的性质：协方差的性质：63思考题：思考题：64定义定义 称为称为X与与Y的的相关系数相关系数.它无量纲的量它无量纲的量.相关系数的性质相关系数的性质:65续66续6768697071例例3.1 3.1 设设X,Y服从同一分布，其分布律为：服从同一分布，其分布律为：X -1 0 1 -1 0 1 p 1/4 1/2 1/4 1/4 1/2 1/4 已知已知 ,判断判断X和和Y是否不相关？是否不相关？是否独立？是否独立？727374续757677784.4 4.4 其它数字特征其它数字特征 7980814.5 4.5 多元随机变量的数字特征多元随机变量的数字特征 82利用协方差矩阵，可由二元正态变量的概率密度推广，利用协方差矩阵，可由二元正态变量的概率密度推广，得到得到n n元正态变量的概率密度。元正态变量的概率密度。848587n元元正态变量具有以下四条重要性质：正态变量具有以下四条重要性质：88922023/2/13课件待续!