概率论与数理统计ch随机变量的数字特征学习教案.pptx

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1、会计学1概率论与数理统计概率论与数理统计(sh l tn j)ch随机变随机变量的数字特征量的数字特征第一页，共81页。第第四四章章 随随机机变变量量(su(su j j bin bin lin)lin)的数字特征的数字特征n n 数学数学(shxu)期望期望n n方差方差n n协方差和相关系数协方差和相关系数第1页/共80页第二页，共81页。分赌本分赌本(dbn)问问题题 1654 1654年年,职业赌客德职业赌客德梅累向法国数学家帕斯卡提出梅累向法国数学家帕斯卡提出一个使他苦恼很久的分赌本问题：甲、乙两赌客赌技相同，一个使他苦恼很久的分赌本问题：甲、乙两赌客赌技相同，各出赌注各出赌注505

2、0法郎，每局中无平局。他们约定，谁先赢三局法郎，每局中无平局。他们约定，谁先赢三局则得到全部则得到全部100100法郎的赌本。当甲赢了两局，乙赢了一局法郎的赌本。当甲赢了两局，乙赢了一局时，因故要中止赌博。现问这时，因故要中止赌博。现问这100100法郎如何法郎如何(rh)(rh)分才算分才算公平？公平？事实上，很容易设想出以下事实上，很容易设想出以下(yxi)(yxi)两种分法：两种分法：（1 1）甲得）甲得100(1/2)100(1/2)法郎，乙得法郎，乙得100(1/2)100(1/2)法郎；法郎；（2 2）甲得）甲得100(2/3)100(2/3)法郎，乙得法郎，乙得100(1/3)1

3、00(1/3)法郎。法郎。第2页/共80页第三页，共81页。第一种分法考虑到甲、乙两人赌技相同，就平均分配，没有照顾到甲已经比乙多赢第一种分法考虑到甲、乙两人赌技相同，就平均分配，没有照顾到甲已经比乙多赢一局这一个一局这一个(y)现实，对甲显然是不公平的。现实，对甲显然是不公平的。第二种分法不但照顾到了第二种分法不但照顾到了“甲乙赌技相同甲乙赌技相同”这一前提，这一前提，还尊重了已经进行的三局比赛结果，当然更公平一些。但还尊重了已经进行的三局比赛结果，当然更公平一些。但是，第二种分法还是没有考虑到如果继续比下去是，第二种分法还是没有考虑到如果继续比下去(xi q)(xi q)的话会出现什么情形

4、，即没有照顾两人在现有基础上对比的话会出现什么情形，即没有照顾两人在现有基础上对比赛结果的一种期待。赛结果的一种期待。第3页/共80页第四页，共81页。帕斯卡与另一位法国帕斯卡与另一位法国(f u)(f u)数学家费马在一系列数学家费马在一系列通信中就这一问题展开了讨论，并得出正确的结论。通信中就这一问题展开了讨论，并得出正确的结论。假如能继续假如能继续(jx)(jx)比下去的话，至多再有两局必可结比下去的话，至多再有两局必可结束。若接下来的第四局甲胜，则甲赢得所有赌注；若乙胜，束。若接下来的第四局甲胜，则甲赢得所有赌注；若乙胜，还要再比第五局，当且仅当甲胜这一局时，甲赢得所有赌还要再比第五局

5、，当且仅当甲胜这一局时，甲赢得所有赌注。注。第4页/共80页第五页，共81页。以上四种局面中，前三种以上四种局面中，前三种(sn zhn)局面都是甲赢。因此，如果局面都是甲赢。因此，如果赌局继续，甲赢的概率为赌局继续，甲赢的概率为0.75，乙赢的概率为，乙赢的概率为0.25。甲的甲的“期望期望”所得所得(su d)(su d)应为应为0(1/4)+100(3/4)=750(1/4)+100(3/4)=75法郎；法郎；乙的乙的“期望期望”所得所得(su d)(su d)应为应为0(3/4)+100(1/4)=250(3/4)+100(1/4)=25法郎。法郎。从而从而(cng(cng r)r)这

6、种方法照顾到了已赌结果，又包括了再赌下去这种方法照顾到了已赌结果，又包括了再赌下去的一种的一种“期望期望”，它自然比前两种方法都更为合理，它自然比前两种方法都更为合理，使甲乙双方都乐于接受。使甲乙双方都乐于接受。这就是这就是“数学期望数学期望”这个名这个名称的由来。称的由来。第5页/共80页第六页，共81页。后来，帕斯卡和费马的通信引起了荷兰数学家后来，帕斯卡和费马的通信引起了荷兰数学家惠更斯的兴趣，后者在惠更斯的兴趣，后者在16571657年发表的论赌博年发表的论赌博(db)(db)中的计算是最早的概率论著作。这些数学中的计算是最早的概率论著作。这些数学家的著述中所出现的第一批概率论概念（如

7、数学期家的著述中所出现的第一批概率论概念（如数学期望）与定理（如概率加法、乘法定理）标志着概率望）与定理（如概率加法、乘法定理）标志着概率论的诞生。论的诞生。第6页/共80页第七页，共81页。第7页/共80页第八页，共81页。第8页/共80页第九页，共81页。第9页/共80页第十页，共81页。第10页/共80页第十一页，共81页。第11页/共80页第十二页，共81页。第12页/共80页第十三页，共81页。第13页/共80页第十四页，共81页。第14页/共80页第十五页，共81页。第15页/共80页第十六页，共81页。第16页/共80页第十七页，共81页。第17页/共80页第十八页，共81页。第

8、18页/共80页第十九页，共81页。第19页/共80页第二十页，共81页。设赌局结束后甲赢得的赌本设赌局结束后甲赢得的赌本(dbn)(dbn)为为X X，乙赢得的赌本，乙赢得的赌本(dbn)(dbn)为为Y Y，则，则X X和和Y Y的分布律为：的分布律为：X的的“期望期望”为为0 +100 0 +100 Y的的“期望期望”为为0 +1000 +100 “数学期望数学期望”本质上就是以概率值为权数对赢得本质上就是以概率值为权数对赢得(yngd)(yngd)赌本的加权平均赌本的加权平均 。第20页/共80页第二十一页，共81页。数学期望数学期望描述描述(mio sh)随机变量取值的平均特征随机变

9、量取值的平均特征1 离散离散(lsn)型随机变量的数学期望型随机变量的数学期望定义定义1 设设XPX=x k=p k,k=1,2,如果级数如果级数绝对收敛，则定义绝对收敛，则定义X X的的数学期望（均值）数学期望（均值）为为记为记为EX或或E（X）第21页/共80页第二十二页，共81页。解：解：例例1 1 甲乙两人打靶，所得分数分别记为甲乙两人打靶，所得分数分别记为 ，它们的分布律分别为下表，试评定他们的成绩的好它们的分布律分别为下表，试评定他们的成绩的好坏。坏。所以所以(suy)(suy)甲的甲的成绩好成绩好第22页/共80页第二十三页，共81页。例例2 2 某产品表面的疵点数服从参数某产品

10、表面的疵点数服从参数 的泊松分的泊松分布，若规定疵点数不超过布，若规定疵点数不超过1 1个为一等品，价值个为一等品，价值1010元；元；疵点数大于疵点数大于1 1个不多于个不多于4 4个为二等品，价值个为二等品，价值8 8元；疵点元；疵点数超过数超过4 4个为废品。求（个为废品。求（1 1）产品的废品率。）产品的废品率。（2 2）产品价值的平均值。）产品价值的平均值。解：设解：设X X表示表示产品表面的疵点数，有产品表面的疵点数，有（1 1）产品）产品(chnpn)(chnpn)的废的废品率为品率为第23页/共80页第二十四页，共81页。所以产品所以产品(chnpn)(chnpn)价值的平均价

11、值的平均值为值为（2 2）设）设Y Y表示产品表示产品(chnpn)(chnpn)的价值，有的价值，有第24页/共80页第二十五页，共81页。（1 1）0-10-1分布分布(fnb)(fnb)的数学的数学期望期望（2 2）泊松分布的数学）泊松分布的数学(shxu)(shxu)期望期望第25页/共80页第二十六页，共81页。（3 3）二项分布的数学）二项分布的数学(shxu)(shxu)期望期望第26页/共80页第二十七页，共81页。连续型随机变量可近似看作连续型随机变量可近似看作(kn zu)(kn zu)取值很密的离散型随机变量，设取值为取值很密的离散型随机变量，设取值为2 连续型随机变量连

12、续型随机变量(su j bin lin)的数学期望的数学期望第27页/共80页第二十八页，共81页。其在某点其在某点 处取值的概率可表示为处取值的概率可表示为X X落在落在小区间小区间 的概率的概率此时此时(c sh)(c sh)概率分布为概率分布为数学数学(shxu)(shxu)期期望为望为第28页/共80页第二十九页，共81页。定义定义2 设设X f(x),如果积分如果积分 绝对收敛，绝对收敛，则定义则定义X的数学期望为的数学期望为记为记为EX或或E（X）。）。第29页/共80页第三十页，共81页。（1 1）均匀分布的数学）均匀分布的数学(shxu)(shxu)期望期望第30页/共80页第

13、三十一页，共81页。（2 2）指数分布的数学）指数分布的数学(shxu)(shxu)期望期望第31页/共80页第三十二页，共81页。（3 3）正态分布的数学）正态分布的数学(shxu)(shxu)期望期望第32页/共80页第三十三页，共81页。3 随机变量随机变量(su j bin lin)函数的数学期望函数的数学期望定理定理1 设设X是一个是一个(y)随机变量，随机变量，Y=g(X),且且E(Y)存在，于是存在，于是（1）若）若X为离散型随机变量，其概率分布为为离散型随机变量，其概率分布为则则Y的数学期望为的数学期望为（2）若）若X为连续型随机变量，其概率密度为为连续型随机变量，其概率密度为

14、f(x)，则则Y的数学期望为的数学期望为第33页/共80页第三十四页，共81页。解：解：例例 离散型随机变量离散型随机变量(su j bin(su j bin lin)Xlin)X的分布律如下表，的分布律如下表，Y=2X+1Y=2X+1，求，求Y Y的的数学期望数学期望第34页/共80页第三十五页，共81页。解：解：可用定理可用定理(dngl)(dngl)求解求解例例 随机变量随机变量 ，求，求第35页/共80页第三十六页，共81页。例例 随机变量随机变量 ，求，求解：解：第36页/共80页第三十七页，共81页。定理定理2 设（设（X，Y）是二维随机变量）是二维随机变量(su j bin li

15、n)，Z=g(X,Y),且且E(Z)存在，于是存在，于是（1）若）若（X，Y）为离散型随机变量，其概率分布为为离散型随机变量，其概率分布为则则Z的数学期望为的数学期望为（2）若）若（X，Y）为连续型随机变量，其概率密度为为连续型随机变量，其概率密度为f(x，y)，则则Z的数学期望为的数学期望为第37页/共80页第三十八页，共81页。例例 二维离散型随机变量（二维离散型随机变量（X X，Y Y）的分布律如下表，求）的分布律如下表，求第38页/共80页第三十九页，共81页。例例 设随机变量设随机变量 的概率密度为的概率密度为解：解：求求第39页/共80页第四十页，共81页。4 数学数学(shxu)

16、期望的性质期望的性质1.c为常数为常数,E(c)=c;2.c为常数为常数,E(c X)=c E(X);3.E（X+Y）=EX+EY4.设设X、Y相互相互(xingh)独立，独立，E(XY)=E(X)E(Y)注意注意(zh y)：其逆命题：其逆命题不成立不成立第40页/共80页第四十一页，共81页。例例 机场快线载机场快线载2020名旅客自机场开出，旅客有名旅客自机场开出，旅客有1010个站可下车。如到站无人下就不停车。设每位个站可下车。如到站无人下就不停车。设每位旅客在各站下车等可能，且每人是否下车相互独旅客在各站下车等可能，且每人是否下车相互独立。以立。以 表示停车的次数，求表示停车的次数，

17、求解：设解：设 表示表示 站停车的次站停车的次数，有数，有设设 表示在第表示在第 站下车的人数，有站下车的人数，有第41页/共80页第四十二页，共81页。二项分布可以看做二项分布可以看做(kn zu)n(kn zu)n个两点分布个两点分布的和的和第42页/共80页第四十三页，共81页。二二 方差方差(fn ch)(fn ch)两个人的平均(pngjn)成绩相等，试评价甲乙的射击效果甲乙第43页/共80页第四十四页，共81页。但绝对值不好处理，我们可以(ky)用以下指标来刻画：，这个指标(zhbio)称为方差，它是衡量随机变量取值的波动程度（离散程度）的一个数字特征。乙的成绩(chngj)更稳定

18、，每次成绩(chngj)对平均成绩(chngj)的偏离都很小，即平均偏离都很小。用数学语言描述以上现象：很小进一步，有根号也不好处理第44页/共80页第四十五页，共81页。定义定义 设设X X是一个是一个(y)(y)随机变量，若随机变量，若EX-EX-E(X)2E(X)2存在，则称它为存在，则称它为X X的方差，记为的方差，记为DXDX或或D(X),D(X),或或Var(X).Var(X).称称 为随机变量的为随机变量的标准差标准差显然，方差是离差平方显然，方差是离差平方(pngfng)(pngfng)的数学期望的数学期望从方差的定义易见:（1）若 的取值比较集中，则方差较小；（2）若 的取值

19、比较分散，则方差较大；（3）若方差 ，则随机变量 以概率1取常数值第45页/共80页第四十六页，共81页。可见(kjin)第46页/共80页第四十七页，共81页。D(X)=E(X2)-E(X)2证明证明(zhngmng):变形(bin xng)：E(X2)=D(X)+E(X)2第47页/共80页第四十八页，共81页。例 设随机变量X的概率密度为求D（X）第48页/共80页第四十九页，共81页。例 设随机变量X的数学期望(qwng)，方差记试证:变量变量(binling)(binling)标准化（单位化）标准化（单位化）的意义：的意义：（2 2）标准化后的变量）标准化后的变量(binling)(

20、binling)的取值不受数量的取值不受数量级的影响，并且取值集中到级的影响，并且取值集中到0 0的附近的附近（1 1）标准化后的标准化后的变量的取值不受量纲的影响变量的取值不受量纲的影响证明:第49页/共80页第五十页，共81页。四四.方差的性质方差的性质(1)D(c)=0反之反之(fnzh)，若，若D（X）=0，则存在常数，则存在常数C，使使 PX=C=1,且且C=E(X);(2)D(cX)=c2D(X),c为常数(chngsh)；证明证明(zhngmng):第50页/共80页第五十一页，共81页。3、若、若X、Y相互相互(xingh)独立，则独立，则注意注意(zh y)：其逆命题不：其逆

21、命题不成立成立证明证明(zhngmng):第51页/共80页第五十二页，共81页。推广(tugung)：若 相互独立，则若若X、Y相互独立，则相互独立，则得证得证而而第52页/共80页第五十三页，共81页。（1 1）0-10-1分布的方差分布的方差第53页/共80页第五十四页，共81页。（2 2）二项分布的方差）二项分布的方差第54页/共80页第五十五页，共81页。（3 3）泊松分布）泊松分布(fnb)(fnb)的方差的方差第55页/共80页第五十六页，共81页。（4 4）均匀分布的方差）均匀分布的方差(fn(fn ch)ch)第56页/共80页第五十七页，共81页。（5 5）指数分布的方差）

22、指数分布的方差(fn(fn ch)ch)第57页/共80页第五十八页，共81页。（6 6）正态分布的方差）正态分布的方差第58页/共80页第五十九页，共81页。若若X、Y相互独立，则相互独立，则显然显然 在一定程度上反映了在一定程度上反映了X X和和Y Y之间的关系之间的关系第59页/共80页第六十页，共81页。三三 协方差与相关系数协方差与相关系数定义定义 设设(X,Y)(X,Y)为二维随机向量，若为二维随机向量，若EXEXE(X)YE(X)YE(Y)E(Y)存在存在(cnzi)(cnzi)，则称其为随，则称其为随机变量机变量X X和和Y Y的协方差，记为的协方差，记为COV(X,Y)COV

23、(X,Y)，即，即COV(X,Y)=EXCOV(X,Y)=EXE(X)YE(X)YE(Y)E(Y)显然显然(xinrn)有：有：第60页/共80页第六十一页，共81页。COV(X,Y)=E(XY）-E(X)E(Y)特别特别(tbi)(tbi)地，当地，当X X、Y Y相互独立相互独立时，有时，有COV(X,Y)=0注意注意(zh y)：其逆命题：其逆命题不成立不成立一般一般(ybn)通过以下公式求通过以下公式求协方差：协方差：第61页/共80页第六十二页，共81页。例 设(X,Y)的联合(linh)分布是 求COV(X,Y).解:X,Y的边缘(binyun)分布是X0 1P0.3 0.7Y0

24、1P0.5 0.5随机向量(xingling)函数XY的分布是XY0 1P0.6 0.4EX=0.7,EY=0.5,EXY=0.4COV(X,Y)=EXY-EXEY=0.4-0.35=0.05第62页/共80页第六十三页，共81页。例 设连续型随机变量(su j bin lin)(X,Y)的密度函数为：求COV(X,Y).解：随机变量(X,Y)的边缘(binyun)密度函数为：第63页/共80页第六十四页，共81页。求E(X)的更简单(jindn)的解法：令Z=X+0，即把X看成(kn chn)(X,Y)的函数Z=g(X,Y)：由定理(dngl)可得：第64页/共80页第六十五页，共81页。第

25、65页/共80页第六十六页，共81页。第66页/共80页第六十七页，共81页。协方差性质协方差性质(1)COV(X,X)=D(X);(2)COV(X,Y)=COV(Y,X);(3)COV(aX,bY)=abCOV(X,Y),其中其中a,b为为 常数；常数；(4)COV(X,c)=0，c为任意为任意(rny)常数；常数；(5)COV(X+Y，Z)=COV(X,Z)+COV(Y,Z);（6）当）当X，Y相互独立时，则相互独立时，则 cov(X,Y)=0(7)D(X Y)=D(X)+D(Y)2COV(X,Y)D(X Y)=D(X)+D(Y)当X，Y相互(xingh)独立时，则第67页/共80页第六十

26、八页，共81页。注意到协方差会受到量纲(lin n)的影响 在一定程度上反映了在一定程度上反映了X X和和Y Y之间的关系之间的关系例：我们的身高用 表示，体重用 表示身高的单位采用米，体重的单位采用千克，则身高和体重的协方差为若身高的单位采用厘米，体重的单位采用克，则身高和体重的协方差为第68页/共80页第六十九页，共81页。于是我们想到可以(ky)先对变量进行标准化，去掉量纲的影响，再求协方差 反映了反映了X X和和Y Y之间的统计关系，且之间的统计关系，且不受量纲的影响不受量纲的影响第69页/共80页第七十页，共81页。相关系数相关系数定义定义(dngy)设（设（X，Y）为二维随机变量，

27、）为二维随机变量，DX0,DY0，称，称为随机变量X与Y的相关系数，相关系数，也称为标准协方标准协方差差.当 时，称X与Y不相关不相关第70页/共80页第七十一页，共81页。例例 设随机向量设随机向量(X,Y)的联合的联合(linh)分布是分布是求求X,Y的相关系数的相关系数.0.1 0.20.3 0.401 0 1 YX解解:X0 1P0.3 0.7Y0 1P0.4 0.6XY0 1P0.6 0.4EX=0.7,EY=0.6,EXY=0.4DX=0.21,DY=0.24第71页/共80页第七十二页，共81页。例例 设设(X,Y)服从服从(fcng)区域区域D:0 x1,0yx上的均匀分上的均

28、匀分布布,求求X与与Y的相关系数的相关系数解解第72页/共80页第七十三页，共81页。相关系数的性质(xngzh)：第73页/共80页第七十四页，共81页。注意：注意：（1 1）相关系数为零的两个随机变量不一定）相关系数为零的两个随机变量不一定(ydng)(ydng)是是独立的；独立的；（2 2）X X与与Y Y不相关，是指没有线性关系，不排除它不相关，是指没有线性关系，不排除它们有其他形式的关系；们有其他形式的关系；（3 3）相关一定）相关一定(ydng)(ydng)不独立，独立一定不独立，独立一定(ydng)(ydng)不相不相关。关。若若 ，称，称X X与与Y Y是相关的，特别地，当是相

29、关的，特别地，当 时，称时，称X X与与Y Y为正相关，当为正相关，当 时，称时，称X X与与Y Y为负相关。为负相关。的值越接近于的值越接近于1 1，X X与与Y Y的线性的线性相关程度越高，相关程度越高，的值越接近于的值越接近于0 0，X X与与Y Y的的线性相关程度越弱。线性相关程度越弱。学习学习(xux)P92(xux)P92例例3 3、例、例4 4和例和例5 5第74页/共80页第七十五页，共81页。矩矩K阶原点矩阶原点矩 =E(Xk)K阶中心矩阶中心矩 =EX-E(X)kK阶绝对原点矩阶绝对原点矩 E(|X|k)K阶绝对中心矩阶绝对中心矩 E|X-E(X)|kK+l阶阶混合混合原点

30、矩原点矩 E(Xk Yl)K+l阶阶混合混合中心矩中心矩 EXE(X)kYE(Y)l以上称为以上称为(chn(chn wi)wi)总体矩总体矩第75页/共80页第七十六页，共81页。定义 设 是一个n维随机向量，各分量的方差都存在，则由 为元素组成的n阶方阵，称为该随机向量的协方差矩阵，记为V，即协方差矩阵(j zhn)其中(qzhng)第76页/共80页第七十七页，共81页。定义 设 是一个n维随机向量，其任何两个分量 与 的相关系数 都存在则以 为元素组成的n阶方阵，称为该随机向量的相关系数矩阵，记为R，即第77页/共80页第七十八页，共81页。两个结论1 二维正态分布(fnb)的边缘分布(fnb)均为一维正态分布(fnb)；2 若（X，Y）服从二维正态分布(fnb)，则X与Y独立的充分必要条件是X与Y不相关,即=0 第78页/共80页第七十九页，共81页。小结(xioji)第79页/共80页第八十页，共81页。感谢您的观看感谢您的观看(gunkn)。第80页/共80页第八十一页，共81页。