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1、第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征n 数学期望数学期望n方差方差n协方差和相关系数协方差和相关系数第1页/共80页分赌本问题分赌本问题 1654年年,职业赌客德职业赌客德梅累向法国数学家帕斯卡梅累向法国数学家帕斯卡提出一个使他苦恼很久的分赌本问题：甲、乙两赌提出一个使他苦恼很久的分赌本问题：甲、乙两赌客赌技相同，各出赌注客赌技相同，各出赌注50法郎，每局中无平局。他法郎，每局中无平局。他们约定，谁先赢三局则得到全部们约定，谁先赢三局则得到全部100法郎的赌本。法郎的赌本。当甲赢了两局，乙赢了一局时，因故要中止赌博。当甲赢了两局，乙赢了一局时，因故要中止赌博。现问这现问这100法
2、郎如何分才算公平？法郎如何分才算公平？事实上，很容易设想出以下两种分法：事实上，很容易设想出以下两种分法：（1 1）甲得）甲得100(1/2)100(1/2)法郎，乙得法郎，乙得100(1/2)100(1/2)法郎；法郎；（2 2）甲得）甲得100(2/3)100(2/3)法郎，乙得法郎，乙得100(1/3)100(1/3)法郎。法郎。第2页/共80页 第一种分法考虑到甲、乙两人赌技相同，就平均第一种分法考虑到甲、乙两人赌技相同，就平均分配，没有照顾到甲已经比乙多赢一局这一个现实，分配，没有照顾到甲已经比乙多赢一局这一个现实，对甲显然是不公平的。对甲显然是不公平的。第二种分法不但照顾到了第二种
3、分法不但照顾到了“甲乙赌技相同甲乙赌技相同”这这一前提，还尊重了已经进行的三局比赛结果，当然一前提，还尊重了已经进行的三局比赛结果，当然更公平一些。但是，第二种分法还是没有考虑到如更公平一些。但是，第二种分法还是没有考虑到如果继续比下去的话会出现什么情形，即没有照顾两果继续比下去的话会出现什么情形，即没有照顾两人在现有基础上对比赛结果的一种期待。人在现有基础上对比赛结果的一种期待。第3页/共80页 帕斯卡与另一位法国数学家费马在一系列通信帕斯卡与另一位法国数学家费马在一系列通信中就这一问题展开了讨论，并得出正确的结论。中就这一问题展开了讨论，并得出正确的结论。假如能继续比下去的话，至多再有两局
4、必可结假如能继续比下去的话，至多再有两局必可结束。若接下来的第四局甲胜，则甲赢得所有赌注；束。若接下来的第四局甲胜，则甲赢得所有赌注；若乙胜，还要再比第五局，当且仅当甲胜这一局时，若乙胜，还要再比第五局，当且仅当甲胜这一局时，甲赢得所有赌注。甲赢得所有赌注。第4页/共80页 以上四种局面中，前三种局面都是甲以上四种局面中，前三种局面都是甲赢。因此，如果赌局继续，甲赢的概率为赢。因此，如果赌局继续，甲赢的概率为0.75，乙赢的概率为，乙赢的概率为0.25。甲的甲的“期望期望”所得应为所得应为0(1/4)+100(3/4)=750(1/4)+100(3/4)=75法郎；法郎；乙的乙的“期望期望”所
5、得应为所得应为0(3/4)+100(1/4)=250(3/4)+100(1/4)=25法郎。法郎。从而从而 这种方法照顾到了已赌结果，又包括了再赌下这种方法照顾到了已赌结果，又包括了再赌下去的一种去的一种“期望期望”，它自然比前两种方法都更为合，它自然比前两种方法都更为合理，使甲乙双方都乐于接受。理，使甲乙双方都乐于接受。这就是这就是“数学期望数学期望”这个名称的由来。这个名称的由来。第5页/共80页 后来，帕斯卡和费马的通信引起了荷兰数学后来，帕斯卡和费马的通信引起了荷兰数学家惠更斯的兴趣，后者在家惠更斯的兴趣，后者在16571657年发表的年发表的论赌博论赌博中的计算中的计算是最早的概率论
6、著作。这些数学家的是最早的概率论著作。这些数学家的著述中所出现的第一批概率论概念（如数学期望）著述中所出现的第一批概率论概念（如数学期望）与定理（如概率加法、乘法定理）标志着概率论与定理（如概率加法、乘法定理）标志着概率论的诞生。的诞生。第6页/共80页第7页/共80页第8页/共80页第9页/共80页第10页/共80页第11页/共80页第12页/共80页第13页/共80页第14页/共80页第15页/共80页第16页/共80页第17页/共80页第18页/共80页第19页/共80页设赌局结束后甲赢得的赌本为设赌局结束后甲赢得的赌本为X X，乙赢得的赌本为，乙赢得的赌本为Y Y，则，则X X和和Y
7、Y的分布律为：的分布律为：X的的“期望期望”为为0 +100 0 +100 Y的的“期望期望”为为0 +1000 +100 “数学期望数学期望”本质上就是以概率值为权数对赢本质上就是以概率值为权数对赢得赌本的加权平均得赌本的加权平均。第20页/共80页数学期望数学期望描述随机变量取值的平均特征描述随机变量取值的平均特征1 离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望定义定义1 设设XPX=x k=p k,k=1,2,如果级数如果级数绝对收敛，则定义绝对收敛，则定义X X的的数学期望（均值）数学期望（均值）为为记为记为EX或或E（X）第21页/共80页解：解：例例1 1 甲乙两人打靶，所得分
8、数分别记为甲乙两人打靶，所得分数分别记为 ，它们的分布律分别为下表，试评定他们的成绩的好它们的分布律分别为下表，试评定他们的成绩的好坏。坏。所以甲的成绩好所以甲的成绩好第22页/共80页例例2 2 某产品表面的疵点数服从参数某产品表面的疵点数服从参数 的泊松分的泊松分布，若规定疵点数不超过布，若规定疵点数不超过1 1个为一等品，价值个为一等品，价值1010元；元；疵点数大于疵点数大于1 1个不多于个不多于4 4个为二等品，价值个为二等品，价值8 8元；疵点元；疵点数超过数超过4 4个为废品。求（个为废品。求（1 1）产品的废品率。）产品的废品率。（2 2）产品价值的平均值。）产品价值的平均值。
9、解：设解：设X X表示表示产品表面的疵点数，有产品表面的疵点数，有（1 1）产品的废品率为）产品的废品率为第23页/共80页所以所以产品价值的平均值产品价值的平均值为为（2 2）设）设Y Y表示表示产品的价值，有产品的价值，有第24页/共80页（1 1）0-10-1分布的数学期望分布的数学期望（2 2）泊松分布的数学期望）泊松分布的数学期望第25页/共80页（3 3）二项分布的数学期望）二项分布的数学期望第26页/共80页 连续型随机变量可近似看作取值很密连续型随机变量可近似看作取值很密的离散型随机变量，设取值为的离散型随机变量，设取值为2 连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望第2
10、7页/共80页其在某点其在某点 处取值的概率可表示为处取值的概率可表示为X X落在落在小区间小区间 的概率的概率此时概率分布为此时概率分布为数学期望为数学期望为第28页/共80页定义定义2 设设X f(x),如果积分如果积分 绝对收敛，绝对收敛，则定义则定义X的数学期望为的数学期望为记为记为EX或或E（X）。）。第29页/共80页（1 1）均匀分布的数学期望）均匀分布的数学期望第30页/共80页（2 2）指数分布的数学期望）指数分布的数学期望第31页/共80页（3 3）正态分布的数学期望）正态分布的数学期望第32页/共80页3 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望定理定理1 设设X是一
11、个随机变量，是一个随机变量，Y=g(X),且且E(Y)存在，于是存在，于是（1）若）若X为离散型随机变量，其概率分布为为离散型随机变量，其概率分布为则则Y的数学期望为的数学期望为（2）若）若X为连续型随机变量，其概率密度为为连续型随机变量，其概率密度为f(x)，则则Y的数学期望为的数学期望为第33页/共80页解：解：例例 离散型随机变量离散型随机变量X X的分布律如下表，的分布律如下表，Y=2X+1Y=2X+1，求，求Y Y的数学期望的数学期望第34页/共80页解：解：可用定理求解可用定理求解例例 随机变量随机变量 ，求，求第35页/共80页例例 随机变量随机变量 ，求，求解：解：第36页/共
12、80页定理定理2 设（设（X，Y）是二维随机变量，）是二维随机变量，Z=g(X,Y),且且E(Z)存在，于是存在，于是（1）若）若（X，Y）为离散型随机变量，其概率分布为为离散型随机变量，其概率分布为则则Z的数学期望为的数学期望为（2）若）若（X，Y）为连续型随机变量，其概率密度为为连续型随机变量，其概率密度为f(x，y)，则则Z的数学期望为的数学期望为第37页/共80页例例 二维离散型随机变量（二维离散型随机变量（X X，Y Y）的分布律如下表，求）的分布律如下表，求第38页/共80页例例 设随机变量设随机变量 的概率密度为的概率密度为解：解：求求第39页/共80页4 数学期望的性质数学期望
13、的性质1.c为常数为常数,E(c)=c;2.c为常数为常数,E(c X)=c E(X);3.E（X+Y）=EX+EY4.设设X、Y相互独立，相互独立，E(XY)=E(X)E(Y)注意：其逆命题不成立注意：其逆命题不成立第40页/共80页例例 机场快线载机场快线载2020名旅客自机场开出，旅客有名旅客自机场开出，旅客有1010个站可下车。如到站无人下就不停车。设每位个站可下车。如到站无人下就不停车。设每位旅客在各站下车等可能，且每人是否下车相互独旅客在各站下车等可能，且每人是否下车相互独立。以立。以 表示停车的次数，求表示停车的次数，求解：设解：设 表示表示 站停车的次站停车的次数，有数，有设设
14、 表示在第表示在第 站下车的人数，有站下车的人数，有第41页/共80页二项分布可以看做二项分布可以看做n n个两点分布的和个两点分布的和第42页/共80页二二 方差方差两个人的平均成绩相等，试评价甲乙的射击效果甲乙第43页/共80页但绝对值不好处理，我们可以用以下指标来刻画：，这个指标称为方差，它是衡量随机变量取值的波动程度（离散程度）波动程度（离散程度）的一个数字特征。乙的成绩更稳定，每次成绩对平均成绩的偏离都很小，即平均偏离都很小。用数学语言描述以上现象：很小进一步，有根号也不好处理第44页/共80页定义定义 设设X X是一个随机变量，若是一个随机变量，若EX-E(X)EX-E(X)2 2
15、存在，存在，则称它为则称它为X X的方差，记为的方差，记为DXDX或或D(X),D(X),或或Var(X).Var(X).称称 为随机变量的为随机变量的标准差标准差显然，方差是离差平方的数学期望显然，方差是离差平方的数学期望从方差的定义易见:（1）若 的取值比较集中，则方差较小；（2）若 的取值比较分散，则方差较大；（3）若方差 ，则随机变量 以概率1取常数值第45页/共80页可见第46页/共80页D(X)=E(X2)-E(X)2证明证明:变形：E(X2)=D(X)+E(X)2第47页/共80页例 设随机变量X的概率密度为求D（X）第48页/共80页例 设随机变量X的数学期望 ，方差记试证:变
16、量标准化（单位化）的意义：变量标准化（单位化）的意义：（2 2）标准化后的变量的取值不受数量级的影）标准化后的变量的取值不受数量级的影响，并且响，并且取值取值集中到集中到0 0的附近的附近（1 1）标准化后的标准化后的变量的取值不受量纲的影响变量的取值不受量纲的影响证明:第49页/共80页四四.方差的性质方差的性质(1)D(c)=0反之，若D（X）=0，则存在常数C，使 PX=C=1,且C=E(X);(2)D(cX)=c2D(X),c为常数；证明证明:第50页/共80页3、若、若X、Y相互独立，则相互独立，则注意：其逆命题不成立注意：其逆命题不成立证明证明:第51页/共80页推广：若 相互独立
17、，则若若X、Y相互独立，则相互独立，则得证得证而而第52页/共80页（1 1）0-10-1分布的方差分布的方差第53页/共80页（2 2）二项分布的方差）二项分布的方差第54页/共80页（3 3）泊松分布的）泊松分布的方差方差第55页/共80页（4 4）均匀分布的方差）均匀分布的方差第56页/共80页（5 5）指数分布的方差）指数分布的方差第57页/共80页（6 6）正态分布的方差）正态分布的方差第58页/共80页若若X、Y相互独立，则相互独立，则显然显然 在一定程度上反映了在一定程度上反映了X X和和Y Y之间的关系之间的关系第59页/共80页三三 协方差与相关系数协方差与相关系数定义定义
18、设设(X,Y)为二维随机向量，若为二维随机向量，若EX E(X)Y E(Y)存在，存在，则称其为随机变量则称其为随机变量X X和和Y Y的协方差，记为的协方差，记为COV(X,Y)，即即COV(X,Y)=EX E(X)Y E(Y)显然有：显然有：第60页/共80页COV(X,Y)=E(XY）-E(X)E(Y)特别地，当特别地，当X X、Y Y相互独立时，有相互独立时，有COV(X,Y)=0注意：其逆命题不成立注意：其逆命题不成立一般通过以下公式求协方差：一般通过以下公式求协方差：第61页/共80页例 设(X,Y)的联合分布是 求COV(X,Y).解:X,Y的边缘分布是X0 1P0.3 0.7Y
19、0 1P0.5 0.5随机向量函数XY的分布是XY0 1P0.6 0.4EX=0.7,EY=0.5,EXY=0.4COV(X,Y)=EXY-EXEY=0.4-0.35=0.05第62页/共80页例 设连续型随机变量(X,Y)的密度函数为：求COV(X,Y).解：随机变量(X,Y)的边缘密度函数为：第63页/共80页求E(X)的更简单的解法：令Z=X+0，即把X看成(X,Y)的函数Z=g(X,Y)：由定理可得：第64页/共80页第65页/共80页第66页/共80页协方差性质协方差性质(1)COV(X,X)=D(X);(2)COV(X,Y)=COV(Y,X);(3)COV(aX,bY)=abCOV
20、(X,Y),其中a,b为 常数；(4)COV(X,c)=0，c为任意常数；(5)COV(X+Y，Z)=COV(X,Z)+COV(Y,Z);（6）当X，Y相互独立时，则 cov(X,Y)=0(7)D(X Y)=D(X)+D(Y)2COV(X,Y)D(X Y)=D(X)+D(Y)当X，Y相互独立时，则第67页/共80页注意到协方差会受到量纲的影响协方差会受到量纲的影响 在一定程度上反映了在一定程度上反映了X X和和Y Y之间的关系之间的关系例：我们的身高用 表示，体重用 表示身高的单位采用米，体重的单位采用千克，则身高和体重的协方差为若身高的单位采用厘米，体重的单位采用克，则身高和体重的协方差为第
21、68页/共80页于是我们想到可以先对变量进行标准化，去掉量纲的影响，再求协方差 反映了反映了X X和和Y Y之间的统计关系，且之间的统计关系，且不受量纲的影响不受量纲的影响第69页/共80页相关系数相关系数定义定义 设（X，Y）为二维随机变量，DX0,DY0，称为随机变量X与Y的相关系数，相关系数，也称为标准协方标准协方差差.当 时，称X与Y不相关不相关第70页/共80页例例 设随机向量设随机向量(X,Y)的联合分布是的联合分布是求求X,Y的相关系数的相关系数.0.1 0.20.3 0.401 0 1 YX解解:X0 1P0.3 0.7Y0 1P0.4 0.6XY0 1P0.6 0.4EX=0
22、.7,EY=0.6,EXY=0.4DX=0.21,DY=0.24第71页/共80页例例 设设(X,Y)服从区域服从区域D:0 x1,0yx上的均匀分布上的均匀分布,求求X与与Y的相关系数的相关系数解解第72页/共80页相关系数的性质：第73页/共80页注意：注意：（1 1）相关系数为零的两个随机变量不一定是独）相关系数为零的两个随机变量不一定是独立的；立的；（2 2）X X与与Y Y不相关，是指没有线性关系，不排除不相关，是指没有线性关系，不排除它们有其他形式的关系；它们有其他形式的关系；（3 3）相关一定不独立，独立一定不相关。）相关一定不独立，独立一定不相关。若若 ，称，称X X与与Y Y
23、是相关的，特别地，当是相关的，特别地，当 时，称时，称X X与与Y Y为正相关，当为正相关，当 时，称时，称X X与与Y Y为负相关。为负相关。的值越接近于的值越接近于1 1，X X与与Y Y的线性的线性相关程度越高，相关程度越高，的值越接近于的值越接近于0 0，X X与与Y Y的的线性相关程度越弱。线性相关程度越弱。学习学习P92P92例例3 3、例、例4 4和例和例5 5第74页/共80页矩矩K阶原点矩阶原点矩 =E(Xk)K阶中心矩阶中心矩 =EX-E(X)kK阶绝对原点矩阶绝对原点矩 E(|X|k)K阶绝对中心矩阶绝对中心矩 E|X-E(X)|kK+l阶阶混合混合原点矩原点矩 E(Xk
24、 Yl)K+l阶阶混合混合中心矩中心矩 EXE(X)kYE(Y)l以上称为总体矩以上称为总体矩第75页/共80页定义 设 是一个n维随机向量，各分量的方差都存在，则由 为元素组成的n阶方阵，称为该随机向量的协方差矩阵，记为V，即协方差矩阵其中第76页/共80页定义 设 是一个n维随机向量，其任何两个分量 与 的相关系数 都存在则以 为元素组成的n阶方阵，称为该随机向量的相关系数矩阵，记为R，即第77页/共80页两个结论1 二维正态分布的边缘分布均为一维正态分布；2 若（X，Y）服从二维正态分布，则X与Y独立独立的充分必要条件是X与Y不相关不相关,即=0 第78页/共80页小结第79页/共80页感谢您的观看。感谢您的观看。第80页/共80页