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1、随机变量的数字特征随机变量的数字特征与极限定理与极限定理第五章第五章 在前面的课程中，我们讨论了随机变量在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分的概率分布，那么布，那么X的全部概率特征也就知道了的全部概率特征也就知道了.然而，在实际问题中，概率分布一般然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的是较难确定的.而在一些实际应用中，人而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了只要知道它的某些数字特征就够了.第一讲第一讲 数学期望数学期望 因此，在对随机变
2、量的研究中，确定某因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的些数字特征是重要的.这一讲，我们先介绍随机变量的数学期望这一讲，我们先介绍随机变量的数学期望.在这些数字特征中，最常用的是在这些数字特征中，最常用的是数学期望和方差数学期望和方差一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望 1、概念的引入：、概念的引入：某车间对工人的生产情况某车间对工人的生产情况进行考察进行考察.车工小张每天生产车工小张每天生产的废品数的废品数X是一个随机变量是一个随机变量.如何定义如何定义X的平均值呢？的平均值呢？某电话交换台每天某电话交换台每天8:00-9:00收到的呼叫数收到的呼叫数X是一
3、个随机变量是一个随机变量.如何定义如何定义X的平均值即该的平均值即该交换台每天交换台每天8:00-9:00收到的平均呼叫数呢？收到的平均呼叫数呢？我们来看第一个问题我们来看第一个问题.若统计若统计100天天,例例1 某车间对工人的生产情况进行考察某车间对工人的生产情况进行考察.车工车工小张每天生产的废品数小张每天生产的废品数X是一个随机变量是一个随机变量.如如何定义何定义X的平均值呢？的平均值呢？32天没有出废品天没有出废品;30天每天出一件废品天每天出一件废品;17天每天出两件废品天每天出两件废品;21天每天出三件废品天每天出三件废品;可以得到这可以得到这100天中天中 每天的平均废品数为每
4、天的平均废品数为这个数能否作为这个数能否作为X的平均值呢？的平均值呢？可以想象，若另外统计可以想象，若另外统计100天，车工小张不天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的前面的100天一般不会完全相同，这另外天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不一定是天每天的平均废品数也不一定是1.27.n0天没有出废品天没有出废品;n1天每天出一件废品天每天出一件废品;n2天每天出两件废品天每天出两件废品;n3天每天出三件废品天每天出三件废品.可以得到可以得到n天中每天的平均废品数为天中每天的平均废品数为(假定小张每天至多出假定小张每天
5、至多出三件废品三件废品)一般来说一般来说,若统计若统计n天天,这是以频率为权的这是以频率为权的加权平均加权平均由频率和概率的关系由频率和概率的关系 不难想到，在求废品数不难想到，在求废品数X的平均值时，用的平均值时，用概率代替概率代替频率频率，得平均值为，得平均值为这是以概率为权的这是以概率为权的加权平均加权平均这样得到一个确定的数这样得到一个确定的数.我们就用这个数作我们就用这个数作为随机变量为随机变量X的平均值的平均值.这样做是否合理呢？这样做是否合理呢？我们采用我们采用计算机模拟计算机模拟.不妨把小张生产中出废品的情形不妨把小张生产中出废品的情形用一个球箱模型来描述用一个球箱模型来描述:
6、2230003111220 0 033111 有一个箱子，里面装有有一个箱子，里面装有10个个大小，形状完全相同的球，号大小，形状完全相同的球，号码如图码如图.规定从箱中任意取出一个球，规定从箱中任意取出一个球，记下球上的号码，然后把球放记下球上的号码，然后把球放回箱中为一次试验回箱中为一次试验.记记X为所取出的球的号码为所取出的球的号码(对应废品数对应废品数).X为随机变量，为随机变量，X的概率分布列为的概率分布列为 下面我们用计算机下面我们用计算机进行模拟试验进行模拟试验.2230003111X 0 1 2 3P 0.3 0.3 0.2 0.2输入试验次数输入试验次数(即天数即天数)n,计
7、算机对小张的生计算机对小张的生产情况进行模拟产情况进行模拟,统计统计他不出废品，出一件、他不出废品，出一件、二件、三件废品的天数二件、三件废品的天数n0,n1,n2,n3,并计算并计算与与进行比较进行比较.下面我们一起来看计算机模拟的结果下面我们一起来看计算机模拟的结果.2230003111则对则对X作一系列观察作一系列观察(试验试验)，所得，所得X的试验的试验值的平均值也是随机的值的平均值也是随机的.由此引入离散型由此引入离散型r.vX的数学期望的定义如下的数学期望的定义如下:对于一个随机变量，若它可能取的值是对于一个随机变量，若它可能取的值是X1,X2,相应的概率为相应的概率为 p1,p2
8、,但是，如果试验次数很大，出现但是，如果试验次数很大，出现Xk的频率会的频率会接近于接近于pk，于是可期望试验值的平均值接近于是可期望试验值的平均值接近定义定义1 设设X是离散型随机变量，它的概率分布是离散型随机变量，它的概率分布列是列是:P(X=Xk)=pk,k=1,2,也就是说也就是说,离散型随机变量的数学期望是一个离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和绝对收敛的级数的和.如果如果有限有限,定义定义X的数学期望的数学期望如果如果 发散，则发散，则X的数学期望不存在。的数学期望不存在。EX的物理意义：表示一维离散质点系的重心坐标的物理意义：表示一维离散质点系的重心坐标例例2 某某人
9、人的的一一串串钥钥匙匙上上有有n把把钥钥匙匙，其其中中只只有有一一把把能能打打开开自自己己的的家家门门，他他随随意意地地试试用用这这串串钥钥匙匙中中的的某某一一把把去去开开门门.若若每每把把钥钥匙匙试试开开一一次次后后除去，求打开门时试开次数的数学期望除去，求打开门时试开次数的数学期望.解解:设试开次数为设试开次数为X,P(X=k)=1/n ,k=1,2,nE(X)于是于是例例3 (01分布分布)设设X的分布列为的分布列为X 0 1 P1p p求求EX解解:EX0 (1p)1 p p例例4（泊松分布）设（泊松分布）设X的分布列为的分布列为 求EX。解解:二、连续型随机变量的数学期望二、连续型随
10、机变量的数学期望 设设X是连续型随机变量，其密度函数为是连续型随机变量，其密度函数为f(x),在数轴上取很密的分点在数轴上取很密的分点x0 x1x2,则则X落在小区间落在小区间xi,xi+1)的概率是的概率是小区间小区间xi,xi+1)阴影面积阴影面积近似为近似为小区间小区间Xi,Xi+1)由于由于xi与与xi+1很接近很接近,所以区间所以区间xi,xi+1)中的值可以用中的值可以用xi来近似代替来近似代替.这正是这正是的渐近和式的渐近和式.阴影面积阴影面积近似为近似为近似近似,因此因此X与以概率与以概率取值取值xi的离散型的离散型r.v 该离散型该离散型r.v 的数的数学期望学期望是是由此启
11、发我们引进如下定义由此启发我们引进如下定义.定义定义2 设设X是连续型随机变量，其密度函数是连续型随机变量，其密度函数 为为 f(x),如果如果有限有限,定义定义X的数学期望为的数学期望为也就是说也就是说,连续型随机变量的数学期望是一个连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分绝对收敛的积分.EX物理意义：以物理意义：以f(x)为密度的一维连续质点为密度的一维连续质点系的重心坐标。系的重心坐标。例例5（均匀分布）设（均匀分布）设X的概率密度为的概率密度为 求求EX解解:例例6（指数分布）设（指数分布）设X的概率密度为的概率密度为 求求EX解解:例例7（正态分布）设（正态分布）设 求求EX解解
12、:例例8（柯西分布）设（柯西分布）设X的概率密度为的概率密度为 求求EX解解:故故 EX不存在。不存在。若若XU a,b,即即X服从服从a,b上的均匀分布上的均匀分布,则则若若X服从服从若若X服从参数为服从参数为由随机变量数学期望的定义，不难计算得：由随机变量数学期望的定义，不难计算得：若若XB(1,P)则则 EX=P 若若X E()则则 若若X服从几何分布，则服从几何分布，则 这意味着，若从该地区抽查很多个成这意味着，若从该地区抽查很多个成年男子，分别测量他们的身高，那么，这年男子，分别测量他们的身高，那么，这些身高的平均值近似是些身高的平均值近似是1.68.已知某地区成年男子身高已知某地区
13、成年男子身高X三、随机变量函数的数学期望三、随机变量函数的数学期望 1.问题的提出：问题的提出：设已知随机变量设已知随机变量X的分布，我们需要计的分布，我们需要计算的不是算的不是X的期望，而是的期望，而是X的某个函数的期的某个函数的期望，比如说望，比如说g(X)的期望的期望.那么应该如何计算那么应该如何计算呢？呢？如何计算随机变量函数的数学期望如何计算随机变量函数的数学期望?一种方法是，因为一种方法是，因为g(X)也是随机变量，也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来的分布求出来.一旦我们知道了一旦我们知道了g(X)的分布，的分布，就
14、可以按照期望的定义把就可以按照期望的定义把Eg(X)计算出来计算出来.使用这种方法必须先求出随机变量函数使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布，一般是比较复杂的的分布，一般是比较复杂的.那么是否可以不先求那么是否可以不先求g(X)的分布而只的分布而只根据根据X的分布求得的分布求得Eg(X)呢？呢？下面的基本公式指出，答案是肯定的下面的基本公式指出，答案是肯定的.类似引入上述类似引入上述E(X)的推理，可得如下的的推理，可得如下的基本公式基本公式:设设X是一个随机变量，是一个随机变量，Y=g(X)，则，则 当当X为离散型时为离散型时,P(X=xk)=pk;当当X为连续型时为连续型时,X
15、的密度函数为的密度函数为f(x).该公式的重要性在于该公式的重要性在于:当我们求当我们求Eg(X)时时,不必知道不必知道g(X)的分布，而只需知道的分布，而只需知道X的的分布就可以了分布就可以了.这给求随机变量函数的期这给求随机变量函数的期望带来很大方便望带来很大方便.将将g(X)特殊化，可得到各种数字特征特殊化，可得到各种数字特征:其中其中 k 是正整数是正整数.例例1.设设X的分布列为的分布列为X 0 1 2 3P求求解：解：例例2.设公共汽车起点站在每小时的设公共汽车起点站在每小时的10分，分，30分，分，50分发车，一位不知发车时间的乘客，每分发车，一位不知发车时间的乘客，每 小时内到
16、达车站的时间是随机的，求该乘客小时内到达车站的时间是随机的，求该乘客 在车站等车的数学期望。在车站等车的数学期望。解：解：设每小时内乘客到达车站的时间为设每小时内乘客到达车站的时间为X，等车时间为等车时间为Y.XU 0,60 则则 则则 设设(X,Y)是二维随机变量是二维随机变量,Z=g(X,Y)，则，则当当(X,Y)是离散型时：分布列为是离散型时：分布列为 当当(X,Y)是连续型时：联合概率密度为是连续型时：联合概率密度为f(x,y)由此可知：已知由此可知：已知(X,Y)的联合概率密度的联合概率密度f(x,y),可以求可以求EX，EY即即 四、数学期望的性质四、数学期望的性质 1.设设C是常
17、数，则是常数，则E(C)=C;4.设设X、Y独立，则独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);2.若若k是常数，则是常数，则E(kX)=kE(X);3.E(X1+X2)=E(X1)+E(X2);（诸（诸Xi独立时）独立时）注意注意:由由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出不一定能推出X,Y独立独立五、数学期望性质的应用五、数学期望性质的应用例例1 求二项分布的数学期望求二项分布的数学期望若若 XB(n,p)，则则X表示表示n重贝努里试验中的重贝努里试验中的“成功成功”次数次数.现在我们来求现在我们来求X的数学期望的数学期望.可见，服从参数为可见，服从参数为n和和p的二项分布的随的二项分布的随
18、机变量机变量X的数学期望是的数学期望是np.XB(n,p),若设若设则则 X=X1+X2+Xn=npi=1,2，n因为因为 P(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1-p所以所以 E(X)=则则X表示表示n重贝努里试验中的重贝努里试验中的“成功成功”次数次数.E(Xi)=p例例2 把把数数字字1,2,n任任意意地地排排成成一一列列，如如果果数数字字k恰恰好好出出现现在在第第k个个位位置置上上，则则称称为为一一个个巧巧合，求巧合个数的数学期望合，求巧合个数的数学期望.由于由于 E(Xk)=P(Xk=1)解解:设巧合个数为设巧合个数为X,k=1,2,n则则故故引入引入下面我们给出数学期望应用的一个例子
19、下面我们给出数学期望应用的一个例子.合理验血问题合理验血问题请看演示请看演示 这一讲，我们介绍了随机变量的数学这一讲，我们介绍了随机变量的数学期望，它反映了随机变量取值的平均水平，期望，它反映了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征是随机变量的一个重要的数字特征.接下来的一讲中，我们将向大家介绍接下来的一讲中，我们将向大家介绍随机变量另一个重要的数字特征：随机变量另一个重要的数字特征：方差方差 上一讲我们介绍了随机变量的数学期上一讲我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征是随机变量的一个重要
20、的数字特征.但是在一些场合，仅仅知道平均值是但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的不够的.第二讲第二讲 方差方差 例如例如，某零件的真实长度为，某零件的真实长度为a，现用甲、，现用甲、乙两台仪器各测量乙两台仪器各测量10次，将测量结果次，将测量结果X用坐用坐标上的点表示如图：标上的点表示如图：若让你就上述结果评价一下两台仪器的优若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？劣，你认为哪台仪器好一些呢？甲仪器测量结果甲仪器测量结果乙仪器测量结果乙仪器测量结果较好较好测量结果的测量结果的均值都是均值都是 a因为乙仪器的测量结果集中在均值附近因为乙仪器的测量结果集中在均值附近又如又
21、如,甲、乙两门炮同时向一目标射击甲、乙两门炮同时向一目标射击10发发炮弹，其落点距目标的位置如图：炮弹，其落点距目标的位置如图：你认为哪门炮射击效果好一些呢你认为哪门炮射击效果好一些呢?甲炮射击结果甲炮射击结果乙炮射击结果乙炮射击结果乙炮乙炮因为乙炮的弹着点较集中在中心附近因为乙炮的弹着点较集中在中心附近.中心中心中心中心 为此需要引进另一个数字特征为此需要引进另一个数字特征,用它用它来来度量随机变量取值在其中心附近的离度量随机变量取值在其中心附近的离散程度散程度.这个数字特征就是我们这一讲要介绍的这个数字特征就是我们这一讲要介绍的方差方差一、方差的定义一、方差的定义 采用平方是为了保证一切采
22、用平方是为了保证一切差值差值X-E(X)都起正面的作用都起正面的作用 由于它与由于它与X具有相同的度量单位，在实具有相同的度量单位，在实际问题中经常使用际问题中经常使用.方差的算术平方根方差的算术平方根 称为标准差称为标准差设设X是是一一个个随随机机变变量量，若若EX-E(X)2，则则称称D(X)=EX-E(X)2 (1)为为X的方差的方差.若若X的取值比较分散，则方差较大的取值比较分散，则方差较大.若方差若方差D(X)=0,则则r.v X 以概率以概率1取常数值取常数值.方差刻划了随机变量的取值对于其数学方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度期望的离散程度.若若X的取值比较集中，则
23、方差较小；的取值比较集中，则方差较小；D(X)=EX-E(X)2X为离散型，为离散型，P(X=xk)=pk 由定义知，方差是随机变量由定义知，方差是随机变量X的函数的函数g(X)=X-E(X)2的数学期望的数学期望.X为连续型，为连续型，Xf(x)二、计算方差的一个简化公式二、计算方差的一个简化公式 D(X)=E(X2)-E(X)2 展开展开证：证：D(X)=EX-E(X)2=EX2-2XE(X)+E(X)2=E(X2)-2E(X)2+E(X)2=E(X2)-E(X)2利用期望利用期望性质性质请自己用此公式计算常见分布的方差请自己用此公式计算常见分布的方差.例例1.设设XP(),求求DX.EX
24、=解：解：例例2.设设XUa,b 求求DX 解：解：例例3.设设 求求DX 解：解：若若XB（1，P）则）则 DX=pq 若若XP（）则）则DX=若若XU a,b 则则 若若XN（,2）则）则DX=2若若XE（）则）则例例4 设设r.v X服从几何分布，概率分布列为服从几何分布，概率分布列为P(X=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,，n其中其中0p0,D(Y)0,称称在不致引起混淆时，记在不致引起混淆时，记 为为 .若若 则称则称X与与Y不相关不相关 相关系数的性质：相关系数的性质：证证:由方差的性质和协方差的定义知由方差的性质和协方差的定义知,对任意实数对任意实数b,有有0D(Y-bX)
25、=b2D(X)+D(Y)-2b Cov(X,Y)令令，则上式为，则上式为 D(Y-bX)=由于方差由于方差D(Y)是正的是正的,故必有故必有1-0,所以所以|1。2.X和和Y独立时，独立时，=0，但其逆不真，但其逆不真.由于当由于当X和和Y独立时，独立时，Cov(X,Y)=0.故故=0但由但由并不一定能推出并不一定能推出X和和Y 独立独立.请看下例请看下例.例例1 设设X服从服从(-1/2,1/2)内的均匀分布内的均匀分布,而而Y=cos X,（请课下自行验证）（请课下自行验证）因而因而 =0，即即X和和Y不相关不相关.但但Y与与X有严格的函数关系，有严格的函数关系，即即X和和Y不独立不独立.
26、不难求得，不难求得，Cov(X,Y)=0，例例2.设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为 试证试证 X与与 不相关不相关,但不独立但不独立.证明证明:对任意常数对任意常数a有：有：从而从而X与与 不独立不独立.存在常数存在常数a,b(b0），），使使PY=a+bX=1，（详细证明自看（详细证明自看,见教材见教材.）即即X和和Y以概率以概率1线性相关线性相关.考虑以考虑以X的线性函数的线性函数a+bX来近似表示来近似表示Y，以均方误差以均方误差e=EY-(a+bX)2来衡量以来衡量以a+bX近似表示近似表示Y的好坏程度的好坏程度,e值越小表示值越小表示 a+bX与与Y的近似程度越好的近似
27、程度越好.用微积分中求极值的方法，求出使用微积分中求极值的方法，求出使e 达达到最小时的到最小时的a,b.相关系数刻划了相关系数刻划了X和和Y间间“线性相关线性相关”的程度的程度.=E(Y2)+b2E(X2)+a2-2bE(XY)+2abE(X)-2aE(Y)e=EY-(a+bX)2 解得解得这样求出的最佳逼近为这样求出的最佳逼近为L(X)=a0+b0X 这样求出的最佳逼近为这样求出的最佳逼近为L(X)=a0+b0X这一逼近的剩余是这一逼近的剩余是若若 =0，Y与与X无线性关系无线性关系;Y与与X有严格线性关系有严格线性关系;若若可见可见,若若0|0,有有或或 由切比雪夫不等式可以看出，若由切
28、比雪夫不等式可以看出，若D(X)越小，则事件越小，则事件|X-E(X)|的概率越大，的概率越大，即随机变量即随机变量X集中在期望附近的可能性越大集中在期望附近的可能性越大.由此可体会方差的概率意义：由此可体会方差的概率意义：它刻划了随机变量取值的离散程度它刻划了随机变量取值的离散程度.当方差已知时，切比雪夫不等式给出了当方差已知时，切比雪夫不等式给出了r.v X与它的期望的偏差不小于与它的期望的偏差不小于 的概率的估的概率的估计式计式.如取如取 可见，对任给的分布，只要期望和方差可见，对任给的分布，只要期望和方差 存在，则存在，则 r.v X取值偏离取值偏离E(X)超过超过 3 的的概率小于概
29、率小于0.111.例例1.已知正常男性成人血液中，每一毫升已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是白细胞数平均是7300，均方差是，均方差是700.利用利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在52009400之间的概率之间的概率.解：解：设每毫升白细胞数为设每毫升白细胞数为X依题意，依题意，E(X)=7300,D(X)=7002所求为所求为 P(5200 X 9400)P(5200 X 9400)=P(5200-7300 X-7300 9400-7300)=P(-2100 X-E(X)2100)=P|X-E(X)|2100由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式
30、P|X-E(X)|2100即估计每毫升白细胞数在即估计每毫升白细胞数在52009400之间的之间的概率不小于概率不小于8/9.例例2.在每次试验中，事件在每次试验中，事件A发生的概率为发生的概率为 0.75,利用切比雪夫不等式求：利用切比雪夫不等式求：n需要多么大时，需要多么大时，才能使得在才能使得在n次独立重复试验中次独立重复试验中,事件事件A出现的出现的频率在频率在0.740.76之间的概率至少为之间的概率至少为0.90?解：解：设设X为为n 次试验中，事件次试验中，事件A出现的次数，出现的次数，E(X)=0.75n,的最小的的最小的n.则则 XB(n,0.75)所求为满足所求为满足D(X
31、)=0.75*0.25n=0.1875n =P(-0.01nX-0.75n 0.01n)=P|X-E(X)|0.01n P(0.74n X0.76n)可改写为可改写为在切比雪夫不等式中取在切比雪夫不等式中取n，则，则=P|X-E(X)|0，证明切比雪夫大数定律主要的数学证明切比雪夫大数定律主要的数学工具是切比雪夫不等式工具是切比雪夫不等式.设随机变量设随机变量X有期望有期望E(X)和方差和方差D(X)，则对于任给则对于任给 0,切比雪夫大数定律表明，独立随机变切比雪夫大数定律表明，独立随机变量序列量序列Xn，如果方差有共同的上界，则，如果方差有共同的上界，则与其数学期望与其数学期望 偏差很小的
32、偏差很小的 概率接近于概率接近于1.随机的了，取值接近于其数学期望的概率接随机的了，取值接近于其数学期望的概率接近于近于1.即当即当n充分大时，充分大时，差不多不再是差不多不再是切比雪夫大数定律给出了切比雪夫大数定律给出了平均值稳定性的科学描述平均值稳定性的科学描述 作为切比雪夫大数定律的特殊情况，作为切比雪夫大数定律的特殊情况，有下面的定理有下面的定理.定理定理2（独立同分布下的大数定律独立同分布下的大数定律）设设X1,X2,是独立同分布的随机变量是独立同分布的随机变量序列，且序列，且E(Xi)=，D(Xi)=，i=1,2,则对任给则对任给 0,下面给出的下面给出的贝努里大数定律贝努里大数定
33、律，是定理是定理2的一种特例的一种特例.贝努里贝努里 设设Yn是是n重贝努里试验中事件重贝努里试验中事件A发发生的次数，生的次数，p是事件是事件A发生的概率，发生的概率，引入引入i=1,2,n则则 是事件是事件A发生的频率发生的频率 于是有下面的定理：于是有下面的定理：设设Yn是是n重贝努里试验中事件重贝努里试验中事件A发生的发生的 次数，次数，p是事件是事件A发生的概率，则对任给的发生的概率，则对任给的 0，定理定理3（贝努里大数定律贝努里大数定律）或或贝努里贝努里 贝努里大数定律表明，当重复试验次数贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件充分大时，事件A发生的频率发生的频率Yn/
34、n与事件与事件A的概率的概率p有较大偏差的概率很小有较大偏差的概率很小.贝努里大数定律提供了通过试验来确贝努里大数定律提供了通过试验来确定事件概率的方法定事件概率的方法.任给任给0，蒲丰投针问题中解法的蒲丰投针问题中解法的理论依据就是大数定律理论依据就是大数定律 当投针次数当投针次数n很大时，用针与线相交的很大时，用针与线相交的频率频率m/n近似针与线相交的近似针与线相交的概率概率p，从而求得，从而求得的近的近似值似值.针长针长L线距线距a下面给出的独立同分布下的大数定下面给出的独立同分布下的大数定律，不要求随机变量的方差存在律，不要求随机变量的方差存在.设随机变量序列设随机变量序列X1,X2
35、,独立同独立同分布，具有有限的数学期分布，具有有限的数学期E(Xi)=,i=1,2,，则对任给则对任给 0，定理定理3（辛钦大数定律辛钦大数定律）辛钦辛钦 辛钦大数定律为寻找随机变量的期辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径望值提供了一条实际可行的途径.依概率收敛定义：依概率收敛定义：设设 是一个是一个r,v序序 列，列，a是一个常数，若对任意是一个常数，若对任意则称则称 依概率收敛于依概率收敛于a.记记 例如要估计某地区的平均亩产量，要例如要估计某地区的平均亩产量，要收割某些有代表性的地块，例如收割某些有代表性的地块，例如n 块块.计计算其平均亩产量，则当算其平均亩产量，
36、则当n 较大时，可用它较大时，可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计作为整个地区平均亩产量的一个估计.这一讲我们介绍了大数定律这一讲我们介绍了大数定律 大数定律以严格的数学形式表达了随大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一：机现象最根本的性质之一：它是随机现象统计规律的具体表现它是随机现象统计规律的具体表现.大数定律在理论和实际中都有广泛的应用大数定律在理论和实际中都有广泛的应用.平均结果的稳定性平均结果的稳定性 中心极限定理的客观背景中心极限定理的客观背景 在实际问题中，常常需要考虑许多随机在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生总影响因素所产生总影响.例如：炮弹射击的落
37、点与目标的偏差，就受例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响着许多随机因素的影响.第六讲第六讲 中心极限定理中心极限定理 空气阻力所产生的误差，空气阻力所产生的误差，对我们来说重要的是这些对我们来说重要的是这些随机因素的总影响随机因素的总影响.如瞄准时的误差，如瞄准时的误差，炮弹或炮身结构所引起的误差等等炮弹或炮身结构所引起的误差等等.观察表明，如果一个量是由大量相互独观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大素在总影响中所起的作用不大.则这种量一则这种量一般都服从或近似服从正态分布
38、般都服从或近似服从正态分布.自从高斯指出测量误差服从正自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见在自然界中极为常见.现在我们就来研究独立随机变量之和所现在我们就来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题特有的规律性问题.当当n无限增大时，这个和的极限分布是无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？什么呢？在什么条件下极限分布会是正态的呢？在什么条件下极限分布会是正态的呢？由于无穷个随机变量之和可能趋于由于无穷个随机变量之和可能趋于，故我们不研究故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑它个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量的标准化的随
39、机变量的分布函数的极限的分布函数的极限.的分布函数的极限的分布函数的极限.可以证明，满足一定的条件，上述极可以证明，满足一定的条件，上述极限分布是标准正态分布限分布是标准正态分布.考考虑虑中心极限定理中心极限定理这就是下面要介这就是下面要介绍的绍的 在概率论中，习惯于把和的分布收在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限中心极限定理定理.我们只讨论几种简单情形我们只讨论几种简单情形.下面给出的独立同分布随机变量序列下面给出的独立同分布随机变量序列的中心极限定理，也称的中心极限定理，也称列维一林德伯格列维一林德伯格（LevyLindberg）定
40、理）定理.定理定理1（独立同分布下的中心极限定理独立同分布下的中心极限定理）它表明，当它表明，当n充分大时，充分大时，n个具有期望和方差个具有期望和方差的独立同分布的的独立同分布的r.v之和近似服从正态分布之和近似服从正态分布.设设X1,X2,是独立同分布的随机是独立同分布的随机变量序列，且变量序列，且E(Xi)=，D(Xi)=，i=1,2,，则对一切，则对一切x 有有:虽然在一般情况下，我们很难求出虽然在一般情况下，我们很难求出X1+X2+Xn 的分布的确切形式，但当的分布的确切形式，但当n很大时，可以求出近似分布很大时，可以求出近似分布.定理定理2(棣莫佛拉普拉斯定理）棣莫佛拉普拉斯定理）
41、设随机变量设随机变量 服从参数服从参数n,p(0p1)的二的二项分布，则对任意项分布，则对任意x，有，有 定理表明，当定理表明，当n很大，很大，0p1是一个定值是一个定值时（或者说，时（或者说，np(1-p)也不太小时），也不太小时），二项二项变变量量 的的分布近似正态分布分布近似正态分布 N(np,np(1-p).实用中，实用中，0.1p10时正态近似的时正态近似的效果较好效果较好.下面我们举例说明中心极限定理的应用下面我们举例说明中心极限定理的应用从演示不难看到中心极限定理的客观背景从演示不难看到中心极限定理的客观背景例例:20个个0-1分布的和的分布的和的分布分布X1 f(x)X1+X2
42、g(x)X1+X2+X3 h(x)几个几个(0,1)上均匀分布的和上均匀分布的和的分布的分布0123xfgh例例3 根根据据以以往往经经验验，某某种种电电器器元元件件的的寿寿命命服服从从均均值值为为100小小时时的的指指数数分分布布.现现随随机机地地取取16只只，设设它它们们的的寿寿命命是是相相互互独独立立的的.求求这这16只只元元件件的的寿寿命命的总和大于的总和大于1920小时的概率小时的概率.由题给条件知，诸由题给条件知，诸Xi独立，独立，16只元件的寿命的总和为只元件的寿命的总和为解解:设第设第i只元件的寿命为只元件的寿命为Xi,i=1,2,16E(Xi)=100,D(Xi)=10000
43、依题意，所求为依题意，所求为P(Y1920)设第设第i只元件的寿命为只元件的寿命为Xi,i=1,2,16由题给条件知由题给条件知,诸诸Xi独立独立,16只元件的寿命的总和为只元件的寿命的总和为E(Xi)=100,D(Xi)=10000依题意，所求为依题意，所求为P(Y1920)由于由于E(Y)=1600,D(Y)=160000由中心极限定理由中心极限定理,近似近似N(0,1)P(Y1920)=1-P(Y 1920)=1-(0.8)1-=1-0.7881=0.2119解解:例例4.(供电问题供电问题)某车间有某车间有200台车床台车床,在生产在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位置及期间由于需
44、要检修、调换刀具、变换位置及调换工件等常需停车调换工件等常需停车.设开工率为设开工率为0.6,并设并设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电每台车床的工作是独立的，且在开工时需电力力1千瓦千瓦.问应供应多少瓦电力就能以问应供应多少瓦电力就能以99.9%的概率保的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产证该车间不会因供电不足而影响生产?用用X表示在某时刻工作着的车床数，表示在某时刻工作着的车床数，对每台车床的观察作为一次试验，对每台车床的观察作为一次试验，每次试验观察该台车床在某时刻是否工作，每次试验观察该台车床在某时刻是否工作，工作的概率为工作的概率为0.6，共进行，共进行200次试验次试验.依
45、题意，依题意，XB(200,0.6),现在的问题是：现在的问题是：P(XN)0.999的最小的的最小的N.求满足求满足设需设需N台车床工作，台车床工作，（由于每台车床在开工时需电力（由于每台车床在开工时需电力1千瓦，千瓦，N台工作所需电力即台工作所需电力即N千瓦千瓦.）解：解：由德莫佛由德莫佛-拉普拉斯极限定理拉普拉斯极限定理近似近似N(0,1),于是于是 P(XN)=P(0XN)这里这里 np=120,np(1-p)=48由由3准则，准则，此项为此项为0。查正态分布函数表得查正态分布函数表得由由 0.999，从中解得从中解得N141.5,即所求即所求N=142.也也就就是是说说,应应供供应应
46、142 千千瓦瓦电电力力就就能能以以99.9%的的概概率率保保证证该该车车间间不不会会因因供供电电不不足而影响生产足而影响生产.3.1,故故这一讲我们介绍了中心极限定理这一讲我们介绍了中心极限定理 在后面的课程中，我们还将经常用到中心在后面的课程中，我们还将经常用到中心极限定理极限定理.中心极限定理是概率论中最著名的结果中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释的近似概率的简单方法，而且有助于解释为为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线线这一值得注意
47、的事实这一值得注意的事实.第第五五章章内内容容总总框框图图数字特征的引入数字特征的引入数学期望数学期望E(X)方差方差 D(X)=E(X-E(X)2 离散型离散型连续型连续型离散型离散型连续型连续型随机变量随机变量函数的数函数的数学期望学期望 方差性方差性质质期望性质期望性质多维随机变量函多维随机变量函数的数学期望数的数学期望 性质的应用性质的应用几种重要分布几种重要分布的期望和方差的期望和方差协方差协方差 相关系数相关系数矩、协方差矩阵矩、协方差矩阵第第五五章章内内容容总总框框图图极限定理极限定理大数定律大数定律客观背景客观背景中心极限定理中心极限定理 切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律 独立同分布下的独立同分布下的中心极限定理中心极限定理独立同分布下大数定律独立同分布下大数定律 辛钦大数定律辛钦大数定律 贝努里大贝努里大数定律数定律 中心极限中心极限定理的应用定理的应用大数定律大数定律的应用的应用 德莫佛德莫佛-拉普拉斯定理拉普拉斯定理(二项分布的正态近似二项分布的正态近似)