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1、授课章节 第四章 随机变量的数字特征 目的要求 掌握期望与方差的概念，熟练掌握计算期望与方差的方法 重点难点 随机变量函数的期望和方差 第二章我们讨论了随机变量的分布函数，我们看到分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性但在一些实际问题中，不需要去全面考察随机变量的整个变化情况，而只需知道随机变量的某些统计特征例如，在检查一批棉花的质量时，只需要注意纤维的平均长度，以及纤维长度与平均长度的偏离程度，如果平均长度较大、偏离程度较小，质量就越好从这个例子看到，某些与随机变量有关的数字，虽然不能完整地描述随机变量，但能概括描述它的基本面貌这些能代表随机变量的主要特征的数字称为数字特征本章介绍随机变量
2、的常用数字特征：数学期望、方差和相关系数 1 数学期望 一、数学期望的定义 先看一个例子，某年级有 100 名学生，17 岁的有 2 人，18 岁的有 2 人，19 岁的有 30 人，20岁的有 56 人，21 岁的有 10 人，则该年级学生的平均年龄为 7.19100)102156203019218217(或 22305610171819202119.7100100100100100 我们称这个平均值是数 17、18、19、20、21 的加权平均值，它是把这五个数的地位或权重看得不同。而1718 192021195是把这五个数的地位或权重看得相同。对于一般随机变量，其平均值定义如下：定义 设
3、离散型随机变量 X 的分布律为kkxpP X，k=1、2、，或列表如下：X x1 x2 xk P p1 p2 pk 若级数1kkkpx绝对收敛，则称其收敛值为随机变量X的数学期望或 均值，记为1)(kkkpxXE若级数1kkkpx发散，则称随机变量X的数学期望不存在。设连续型随机变量X的密度函数为)(xf，若积分dxxxf)(绝对收敛，则称此收敛值为X的2/8 数学期望或均值。记为)(XE，即dxxxfXE)()(。若积分|()x f x dx发散，则称随机变量X的数学期望不存在。例 1 设甲、乙两人打靶，击中的环数分别记为 X、Y，且分布如下：X 8 9 10 Y 8 9 10 P 0.3
4、0.4 0.3 P 0.4 0.5 0.1 试比较他们的射击水平。解：显 然，平 均 的 环 数 可 以 作 为 衡 量 他 们 设 计 水 平 的 一 个 重 要 指 标。因 此，由()8 0.39 0.410 0.39 E X、()8 0.49 0.510 0.18.7 E Y 可得，甲的射击水平优于、乙的射击水平。例 2 设连续型随机变量 X 的密度函数是201()0 xxf x其它，求 X 的均值 E（X）。解：012012()()0203xf x dxdxx dxdxE X。二、几种重要分布的数学期望。（1）0-1 分布或两点分布 分布律：则()0(1)1ppp E X。（2）二项分
5、布 (,)b n p 分布律：(1)kkn knkC ppP X，k=0、1、n，由 001()nnnkkn kkkn kknnkkkkpkC p qkC p qE X，因为 11(1)(1)(1)(1)!(1)!kknnn nnknnnknCCkkkk，所以11(1)(1)111()()nkknknnknpCpqnp pqnpE X。（3）泊松分布()X 0 1 P 1-p p 3/8 分布律：!kkekP X，k=0、1、，所以，1111()!(1)!(1)!kkkkkkE Xkeeee ekkk 。连续（4）均匀分布 (,)a bX U 均匀分布的概率密度为 1()0axbf xba其它
6、，因而 22()()()2()2bbaaxbaabE Xxf x dxxf x dxdxbaba。（5）指数分布 指数分布的密度为0()00 xexf xx或/10()00 xexf xx，000()()()xxxE Xxf x dxxedxxdexe 0011xxedxe 。或()E X。（6）均匀分布 2(,)X N 正态分布的密度函数为222)(21)(xexf，所以 22()2()()2xtxtxxx f x dxedx 或 E X 2222122tttedtedt。三、随机变量函数的数学期望 在许多实际问题中，我们经常需要计算随机变量函数的数学期望，例如，飞机机翼受到的压力2WkV的
7、作用，其中 V 为风速是随机变量，我们需要知道机翼受到的平均压力。为此，下面给出随机变量函数的数学期望的计算公式。定理 1 设Y为随机变量X的函数：)(XgY(g 是连续函数)，4/8（1）X是 离 散 型 随 机 变 量，分 布 律 为,2,1),(kxXPpkk；则 有)()(XgEYE1)(kkkpxg。条件是1)(kkkpxg绝对收敛。（2）X是连续型随机变量，它的分布密度为)(xf，则有()E Y ()()()E g Xg x f x dx。条件是dxxfxg)()(绝对收敛。定理 1 告诉我们：求)(YE时，不必知道Y的分布，而只需知道X的分布就可以了。例 3 随机变量X的分布律如
8、表 3-2：表 3-2 X 0 1 2 3 P 21 41 81 81 求)(),11(),(2XEXEXE 解：87813812411210)(XE 966781311812114111121011)11(XE 815813812411210)(22222XE 定理 2 设 Z 是随机变量),(YX的连续函数),(YXgZ，（1）),(YX是二维离散型随机变量，联合分布律为,2,1,),(jiyYxXPpjiij；则有 ),()(YXgEZE11),(iijjijpyxg。（2）),(YX是二维连续型随机变量，联合分布密度为),(yxf，则有 ),()(YXgEZEdxdyyxfyxg),(
9、),(例 4 设风速 V 在（0，a）上服从均匀分布，即它的密度函数是 10()0vaf va其它，又设飞机机翼受到的正压力 W 是 V 的函数2WkV，求 W 的数学期望。解：202201()003aakakv f v dvdvkvdvdva（）E W。5/8 例 5 随机变量（X，Y）的联合密度函 数是32311,2(,)0 xyxx yxf x y其它 求 数学期望 E（Y），E（1/XY）.解：由公式()(,)(,)(,)E ZE g X Yg x y f x y dxdy，得3211/33()(,)24xxE Yyf x y dxdydxydyx y。三、数学期望的性质 1 设c是常
10、数，则有ccE)(2 设X是随机变量，设c是常数，则有)()(XcEcXE 3 设X，Y是随机变量，则有)()()(YEXEYXE （该性质可推广到有限个随机变量之和的情况）4 设X，Y是相互独立的随机变量，则有)()()(YEXEXYE（可推广到有限个随机变量之积的情况）1、2 由读者自己证明我们来证明 3 和 4我们仅就连续型情形给出证明，离散型情形类似可证 证明:设二维连续型随机变量),(YX的联合分布密度为),(yxf，其边缘分布密度为)(xfX，)(yfY 则)(YXEdxdyyxfyx),()(,)xf x y dxdy+dxdyyxfy),()()E XE Y。性质 3 得证 又
11、若X和Y相互独立，此时(,)f x y)(xfX)(yfY，故有)(XYEdxdyyxxyf),()Xxfx dx()Yyfy dy()()EXE Y 2 方差 先看一个例子，设甲、乙两人打靶，击中的环数分别记为 X、Y，且分布如下：X 8 9 10 Y 8 9 10 6/8 P 0.4 0.2 0.4 P 0.2 0.6 0.2 试分析他们技术水平的稳定性。直观上看，甲的射击水平波动较大，属情绪型；相比之下，乙的射击水平波动小，技术水平稳定。我们引用方差反映随机变量与它的均值偏离程度那么，用怎样的量去度量这个偏离程度呢？用)(XEXE来描述是不行的，因为这时正负偏差会抵消；用)(XEXEE来
12、描述原则上是可以的，但有绝对值不便计算；因此，通常用)(2XEXE来描述随机变量与均值的偏离程度 一、方差的定义 定义 设X是随机变量，)(2XEXE存在，就称其为X的方差，记为)(XD，即)(XD=)(2XEXE，称)(XD为标准差，记为)(X 二、方差的计算 由定义)(XD=)(2XEXE，或)(XD=22()()E XE X。证明()D X 2()EXE X)()(222XEXXEXE 22()2()()()E XE X E XE X 22()()E XE X X是 离 散 型 随 机 变 量，分 布 律 为,2,1),(kxXPpkk；则()D X 12)(kkkpXEx或()D X
13、221()kkkx pEX。X是连续型随机变量，它的分布密度为)(xf，则()D X dxxfXEx)()(2或()D X 22()()x f x dxEX。例 1 设连续型随机变量 X 的密度函数是201()0 xxf x其它，求 X 的方差()D X。解：1202()()23xf x dxx dxE X，1223041()()()2918x dxD XE XEXE 三、几种重要分布的方差（1）0-1 分布或两点分布 分布律：则()pE X，22222()()()0(1)1(1)pppppD XE XEX。X 0 1 P 1-p p 7/8（2）二项分布(,)b n p 分 布 律：(1)k
14、kn knkC ppP X，k=0、1、n，()npE X，得 22220()()()()(1)nkkn knkk C p qnpnppD XE XEX。（3）泊松分布()分布律：!kkekP X，k=0、1、，()E X，得22221()()()!kkkek D XE XEX。（4）均匀分布(,)a bX U 均匀分布的概率密度1()0axbf xba其它，()2abE X，22222()()()()()212baxabbadxbaD XE XEX。（5）指数分布 指数分布的密度 0()00 xexf xx 或/10()00 xexf xx，1()E X 或()E X，2220()()()x
15、x edxD XE XEX或2()D X。（6）均匀分布 2(,)X N 正态分布的密度函数为222)(21)(xexf，()E X，22()22222()()()2xxedx D XE XEX 四、方差的性质 1、设c是常数，则有0)(cD；8/8 2、设c是常数，则有)()(2XDccXD；3、设X，Y是独立的随机变量，则有)()()(YDXDYXD 例 2 设),(YX的概率密度函数为 1,01(,)0yxxf x y，其他 求)(XD及)(YD Solution 10:xxyD 322),()(10210 xxDdxxdyxdxdxdyyxxfXE 0),()(10 xxDydydxdxdyyxyfYE 212),()(10310222xxDdxxdydxxdxdyyxfxXE 6132),()(10321022xxDdxxdyydxdxdyyxfyYE 61061)(,1819421)(YDXD