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1、概率论与数理统计教学初中九外公救等款案第四章 随机变量地数字特征赧锦唐号01教学基本指标教学课题第四章第一节数学期望课地类型新知识课教学方法讲授，课堂提问，讨论，启发，自学教学手段黑板多媒体结合教学重点离散型，连续型随机变量地数学期望地定义及其概 率意义;数学期望地性质;随机变量函数地期望公 式教学难点连续型随机变量及其函数地数 学期望;数学期望地性质参考高教版,浙大版概率论与梳理统计作业布置课后习题大纲要求理解离散型，连续型随机变量地数学期望地定义及其概率意义熟悉数学期望地性质掌握 随机变量函数地期望公式熟练常用随机变量地数学期望教学基 本 内 容一,基本概念：1 .数学期望地定义8（1）设
2、X是离散型地随机变量，其分布律为夕（X=xJ = ,， ，= 1,2,。如果级数2天,绝对收敛， i=i那么称00 E（X）= xr i=l为离散型随机变量X地数学期望,也称作期望或均值。（2）设X是连续型随机变量,其概率密度为了（可。如果广义积分4（x1绝对收敛，那么称E（X）= J xfx）dx为连续型随机变量X地数学期望,也称作期望或均值。2 .随机变量函数地数学期望例1设XN(O,1),试证明石(X，=(1)(攵_3).1,0,当左为偶数时;当左为奇数时.例2随机变量XN(3,4),求X地分位数匕源，匕/4与中位数匕以。00(1)设X是离散型随机变量，其分布律为P(X=xJ = Q,
3、i = l,2,。如果级数Zg(为)2绝对收敛,Z=1co那么X地函数y = g(x)地数学期望为Eg(x) =；Z=1(2)设X为连续型随机变量淇概率密度为“X)。如果广义积分J：g(x)/(x)dx绝对收敛，那么X地函 数 Y = g(X)地数学期望为 g(X) = J：g(x)x)dx。3.二维随机变量函数地数学期望(1)设(x,y)是二维离散型随机变量，其联合分布律为尸(x =七,丫 =匕)=4，i,j = 12。如果级数88EZg (冷匕)P，。绝对收敛，那么(x,y)地函数Z = g(x,y)地数学期望为/=1 J=1 008Eg(x,y)=ZZg(3)p 厂;=1 j=l(2 )
4、设(X,Y)是二维连续型随机变量，其联合概率密度为f(x,y) o如果广义积分J：J：g(羽y)/(演丁郎绝对收敛那么(x,y)地函数z=g(x,y)地数学期望为Eg(X,y) = J：J：g(x,y)%,y) 6kdy二,定理与性质1,数学期望有以下性质，(1)设c为常数，那么石(c) = c；(2)设X为随机变量,k,c为常数，那么E(kX + c) = Z:(X)+ c ；(3)设x,y为任意两个随机变量，那么E(x+y) = E(x)+E(y)；(4)设x,y为相互独立地随机变量，那么E(xy) = (x)(y).三,主要例题：例1设甲，乙两班各40名学生,概率统计成绩及得分人数如表4
5、.1所示,其中成绩以10地倍数表示。问甲, 乙两班概率统计地平均成绩各是多少？甲6070809010班0表4. 1甲，乙两班地概率统计成绩乙406070809010班0分 数人数291892频 率2409401840940240分 数人数291892频 率2409401840940240设随机变量X地分布律分别为分 数人数3181387频 率3401408401340840740例2(1).211(2) P X = (1)=夕,;(. 2 )(3) P X = (1) = , / = 1,2, oII ) 乙在三种情形下，试问石(X)是否存在？为什么？例3设随机变量X地概率密度函数为/(%)二
6、,一二8VX 0;/ 9其余试求：(%-)/ y2 -+2X(2) E e 2例9二维随机变量(X,Y)地联合分布律为_L _L121212计算（1）x与y地期望石（x）,（y）；（2）z = xy地数学期望（z）。例io某公司生产地机器其无故障工作时间x有密度函数 x2-x）= /-右（单位：万小时）0,其余.公司每售出一台机器可获利1600元，假设机器售出后使用2. 2万小时之内出故障,那么应予以更换，这时每台亏 损1200元;假设在2. 2到3万小时之间出故障,那么予以维修，由公司负担维修费400元;在使用3万小时后出故障, 那么用户自己负责。求该公司售出每台机器地平均获利。教学基本指标
7、教学课题第四章第二节 方差与标准差课地类型新知识课教学方法讲授，课堂提问，讨论，启发，自学教学手段黑板多媒体结合教学重点方差地定义及求解，方差地性质教学难点方差地性质及其与期望性质地 比拟参考高教版,浙大版概率论与梳理统计作业布置课后习题大纲要求理解随机变量方差地定义及方差地概率意义熟悉方差地性质掌握随机变量地方差计算公式熟练常用随机变量地方差教 学 基 本 内 容1 .方差与标准差地定义设X是一个随机变量，如果e（X （x）2存在，那么称 d（x） = e|（x-e（x）2为随机变量X地方差。称方差。（X）地算术平方根为随机变量X地标准差。二,方差地性质(1)。(乂) = 0地充分必要条件是
8、(乂 =。= 1,即乂服从参数为。地退化分布淇中。=(乂)。特别地，假设。为常数，那么。(c) = 0;(2)设X为随机变量,k,c为常数，那么D(kX + c) =依o(x)；(3)设x,y为任意两个随机变量，那么D(XY)= D(X)+ D(y) 2X - (%)7 - E(K)；(4)设XI为相互独立地随机变量，那么o(x 土y) = (x)+z)(y)。甲，乙两班概率统计地平均成绩是一样地,现选出一个班级参加比赛,应选哪个班级?例2在以下三种情形下分别计算随机变量X地方差D(X),(1)设离散型随机变量XP(2)；(2)设连续型随机变量X。(力)；(2)设连续型随机变量X(丸)；(3)
9、设连续型随机变量X例3设随机变量XB(,p)。计算X地方差O(X)。例4X是任意地随机变量，(1)设 X* 2 X (X),试证明 E(XJ = 0且。(X*) = D(X)；X* &X-E(X)当D(X)0时，设1D(X)，试证明(X*) = 0且D(X*) = 1。例5X与y相互独立，且xN(l,2), yN(5,9), Z = 2X y + 3。求/(Z)。栽锦序号03教学基本指标教学课题第四章第三节 协方差，有关系数课地类型新知识课教学方法讲授，课堂提问，讨论，启发，自学教学手段黑板多媒体结合教学重点协方差及有关系数地定义及其性质教学难点协方差及有关系数地计算参考高教版,浙大版概率论与
10、梳理统计作业布置课后习题大纲要求理解随机变量协方差,有关系数地定义及概率意义熟悉协方差，有关系数地性质掌握协方差，有关系数地计算教学基 本-,基本概念：1 .协方差设(x,y)是二维随机变量，如果ex - (x)y - e(y cov(x,y) = Ex-(x)r- 为随机变量x与y地协方差。2 .有关系数设(x,y)是二维随机变量，如果cov(x,y)存在，且。(x) i)q/W?为随机变量x与y地有关系数,也记作Pxy o3 .(线性)无关设二维随机变量(X, 丫)地有关系数Pxy存在，那么内 容)存在，那么称 %) o,z)(y)o,那么称当pXY = i时,（X,F）地取值（羽y）在直
11、线y = ax + b上地概率为1,称X与丫完全有关；当夕xy = 1时，（X, 丫）地取值（x, y）在斜率为正直线y = ax + b上地概率为1,称X与丫完全正线性有关;当pXY = -1时,（X, F）地取值（羽y）在斜率为负直线y = ax + h上地概率为1,称X与丫完全负有关。当夕（x,y） o时，称X与y正线性有关；当夕（X, 丫）o,z）（y）o。那么有(1)(1)PxY o,z)(y)0时，以下5个命题是等价地：夕xy=O； cov(X,y) = 0； (XT)= (X)(y)； o(x+y) = o(x)+z)(y)； d(xy) = o(x)+z)(y)4,如果二维随机
12、变量（x,y）服从二维正态分布,那么，x与y相互独立等价于x与y不有关。三,主要例题：例1设二维随机变量（x,y）服从单位圆6 = （羽刈2 +、22）相互独立同分布，且 XjB（m,p）,记（1） x = -Z X,地方差 z）（x）；（2）工地方差。（匕）=1,2,（3） 乂与地协方差cov化，匕）。例3二维随机变量（x,y）地联合分布律为试求X与y地有关系数0xy。例4当（X,y）N（“2，b；，b；，夕）时，计算X与丫地数字特征E（X）,D（X）,E（Y）, D（y）, cov（X,y）,夕xy o栽锦唐号04教学基本指标教学课题第四章第四节其它数字特征课地类型新知识课教学方法讲授，课
13、堂提问，讨论，启发，自学教学手段黑板多媒体结合教学重点K阶矩地定义,分位数地定义及求解教学难点标准正态分布地k阶矩求解 连续型随机变量分位数地求解参考高教版,浙大版概率论与梳理统计作业布置课后习题大纲要求理解左阶矩地定义掌握正态分布地上阶原点矩地计算公式了解 期望向量，协方差矩阵地定义了解 期望向量，协方差矩阵地简单计算了解 变异系数,分位数，中位数及众数地定义及简单计算教 学 基 本 内 容一,基本概念:1.后阶矩设x,y是随机变量，匕/是正整数,那么称E(X)是随机变量X地女阶原点矩；E(X-(X)是随机变量X地攵阶中心矩；EXkY)是随机变量(X, Y)地(kJ)阶联合原点矩；e(x(x
14、)Y(yE(y)是随机变量(X,y)地(N/)阶联合中心矩。2 .变异系数随机变量X地数学期望(X) w 0,方差0(X)存在,那么称K A巫区Oy -13X)1为随机变量X地变异系数。3 .连续型随机变量地分位数与中位数设连续型随机变量X地分布函数为F(x),密度函数为/(x), F(vJ = P(X yj=/。)公=p ,那么称 I/ J 8匕,二1P)为X地分布地P分位数。特别地,当=；时，称匕/2为中位数。4,众数当X为离散型随机变量时，假定X地分布律为P(X=)= Pi，i = l,2,。如果存在实数/,使得P(X=a*)ZP(X=%),对一切1,2,。那么，称屋为X (或X所服从地分布)地众数。二,主要例题: