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1、1随机变量随机变量 离散型随机变量离散型随机变量分布函数分布函数 连续型随机变量连续型随机变量 随机变量的函数随机变量的函数第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布2.2.1 1 随机变量随机变量常见的两类试验结果：常见的两类试验结果：示数的示数的降雨量；降雨量；候车人数；候车人数；发生交通事故的次数发生交通事故的次数示性的示性的明天天气（晴，云明天天气（晴，云）；）；化验结果（阳性，阴性）化验结果（阳性，阴性）3esxX=X(e)为为S上的实值单值函数上的实值单值函数中心问题：将试验结果数量化中心问题：将试验结果数量化4常见的两类随机变量常见的两类随机变量离散型的离散型的连续型的连续型
2、的一般地，若一般地，若I I 是一个实数集合，则是一个实数集合，则为事件为事件6例例1.1 掷硬币掷硬币3次，出现正面的次数记为次，出现正面的次数记为X.样本点样本点TTT TTH THT HTT HHT HTH THH HHHX的值的值 0 1 1 1 2 2 2 3X0 1 2 3p1/8 3/8 3/8 1/87 定义：取值至多可数的随机变量为定义：取值至多可数的随机变量为离散离散型的随机变量。型的随机变量。概率分布律为概率分布律为2.2.2 2 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布概率分布律概率分布律性质：性质：概率分布律概率分布律写出所有可能取值；写出所有可能取值；写出每个取
3、值相应的概率写出每个取值相应的概率.例例2.1 2.1 某人骑自行车从学校到火车站，一某人骑自行车从学校到火车站，一路上要经过路上要经过3 3个独立的交通灯，设各灯工作个独立的交通灯，设各灯工作独立，且设各灯为红灯的概率为独立，且设各灯为红灯的概率为p，0 0p0,q0)则称则称X服从服从参数为参数为p的的0-1分布分布，或两点分布，或两点分布.若若X的分布律为：的分布律为：一、一、01分布分布记为记为150-1(0-1(p)分布分布的分布律还可以写为的分布律还可以写为对于一个随机试验，如果它的样本空间只对于一个随机试验，如果它的样本空间只包含两个元素，即包含两个元素，即 ，我们总能，我们总能
4、在在S上定义一个服从上定义一个服从（0 01 1）分布）分布的随机的随机变量。变量。来描述这个随机试验的结果。来描述这个随机试验的结果。17检查产品的质量是否合格，对新生婴儿检查产品的质量是否合格，对新生婴儿的性别进行登记，检验种子是否发芽以的性别进行登记，检验种子是否发芽以及前面多次讨论过的及前面多次讨论过的“抛硬币抛硬币”试验都试验都可以用可以用（0 01 1）分布）分布的随机变量来描述的随机变量来描述。一个随机试验一个随机试验,设设A是一随机事件是一随机事件,且且P(A)=p,(0p1).若仅考虑事件若仅考虑事件A发生与否发生与否,定义一个服从参数为定义一个服从参数为p的的0-1分布的随
5、机变分布的随机变量量:来描述这个随机试验的结果。来描述这个随机试验的结果。只有两个可能结果的试验，称为贝努利试验。只有两个可能结果的试验，称为贝努利试验。19二、二、二项分布二项分布即每次试验结果即每次试验结果互不影响互不影响在相同条件下在相同条件下重复进行重复进行n n重贝努利试验重贝努利试验：设试验：设试验E只有两个可只有两个可能的结果：能的结果：,P(A)=)=p,0,0p1,1,将将E独立独立地地重复重复进行进行n次，则称这一串次，则称这一串重复重复的的独立独立试验为试验为n重贝努利试验重贝努利试验。n独立重复地抛独立重复地抛n次硬币，每次只有两个次硬币，每次只有两个可能的结果可能的结
6、果:正面，反面，正面，反面，n将一颗骰子抛将一颗骰子抛n次，设次，设A=得到得到1点点，则，则每次试验只有两个结果：每次试验只有两个结果：21如果是不放回抽样呢？如果是不放回抽样呢？从从5252张牌中张牌中有放回有放回地取地取n次，设次，设A=取到红取到红牌牌，则每次只有两个结果：，则每次只有两个结果：不是独立试验不是独立试验!22设设A在在n重贝努利试验中发生重贝努利试验中发生X次，则次，则并称并称X服从参数为服从参数为n,p的的二项分布二项分布，记，记推导：以推导：以n=3=3为例为例,设设A Ai i=第第i次次A发生发生 例例2.3 2.3 有一大批产品，其验收方案如下：有一大批产品，
7、其验收方案如下：先作第一次检验先作第一次检验,从中任取从中任取1010件，经检件，经检验无次品接受这批产品，次品数大于验无次品接受这批产品，次品数大于2 2拒收；否则作第二次检验，从中任取拒收；否则作第二次检验，从中任取5 5件，仅当件，仅当5 5件中无次品便接受这批产品，件中无次品便接受这批产品，设产品的次品率为设产品的次品率为p求这批产品能被求这批产品能被接受的概率接受的概率.25解：设解：设A=接受该批产品接受该批产品。设设X为第一次为第一次抽得的次品数，抽得的次品数，Y为第为第2 2次抽得的次品数次抽得的次品数.26 例例2.4 2.4 设随机变量设随机变量使用使用Excel表单：表单
8、：在任一在任一单单元格中元格中输输入入“=BINOM.DIST(10,100,0.05,TRUE)”，点点“确定确定”后，在单元格中出现后，在单元格中出现“0.988528”.这这里里“TRUE”可用可用“1”代替代替.计计算算P(X=10)，在任一在任一单单元格中元格中输输入入“=BINOM.DIST(10,100,0.05,FALSE)”，点点“确定确定”后，在单元格中出现后，在单元格中出现“0.016715884”.这这里里“FALSE”可用可用“0”代替代替.若随机变量若随机变量X的概率分布律为的概率分布律为称称X服从参数为服从参数为的的泊松分布泊松分布，记，记三三、泊松泊松分布分布(
9、Poisson(Poisson分布）分布）29求求(1)(1)随机观察随机观察1 1个单位时间，至少有个单位时间，至少有3 3人候车的概率；人候车的概率；(2)(2)随机独立观察随机独立观察5 5个单位时间，恰个单位时间，恰有有4 4个单位时间至少有个单位时间至少有3 3人候车的概率人候车的概率.例例2.5 某某公交公交站单位时间内候车人数站单位时间内候车人数 30泊松定理：泊松定理：二项分布与泊松分布有下面的近似结果二项分布与泊松分布有下面的近似结果3233 例例2.6 2.6 某地区一个月内某地区一个月内成年人患某种成年人患某种疾病的患病率为疾病的患病率为1/1/200200，设各人是否，
10、设各人是否患病相互独立。若该地区一社区有患病相互独立。若该地区一社区有10001000个成年人，求某月内该社区至少个成年人，求某月内该社区至少有有3 3人患病的概率。人患病的概率。解：设该社区解：设该社区10001000人中有人中有X 个人患病，个人患病，则则35泊松分布使用泊松分布使用Excel表单：表单：在在Excel的任一单元格输入的任一单元格输入“=POISSON.DIST(2,5,1)”，回车，回车，就在单元格中出现就在单元格中出现“0.124652019”.称称X服从服从超几何分布超几何分布.若随机变量若随机变量X的概率分布律为的概率分布律为四四、超几何超几何分布分布37例例2.7
11、 2.7 一袋中有一袋中有a个白球，个白球，b个红球，个红球，a+b=N,从中不放回地取从中不放回地取n个球，设每次个球，设每次取到各球的概率相等，以取到各球的概率相等，以X表示取到的表示取到的白球数，则白球数，则X服从超几何分布。服从超几何分布。称称X服从参数服从参数p的的几何分布几何分布.若随机变量若随机变量X的概率分布律为的概率分布律为五五、几何几何分布分布39例例2.8 2.8 从生产线上随机抽产品进行检从生产线上随机抽产品进行检测，设产品的次品率为测，设产品的次品率为p，00p11，若，若查到一只次品就得停机检修，设停机查到一只次品就得停机检修，设停机时已检测到时已检测到X只产品，则
12、只产品，则X服从参数服从参数p的的几何分布。几何分布。称称X服从参数为服从参数为(r,p)的的巴巴斯卡分布斯卡分布.若随机变量若随机变量X的概率分布律为的概率分布律为六六、巴斯卡巴斯卡分布分布41例例2.9 2.9 独立重复地进行试验，每次试验的独立重复地进行试验，每次试验的结果为成功或失败，每次试验中成功的概结果为成功或失败，每次试验中成功的概率均为率均为p，00p1,0为常数，则称为常数，则称X服从参数为服从参数为的的指数指数分布分布。记为。记为定义：设定义：设X的密度的密度函数函数为为三、三、指数指数分布分布X的的分布函数为：分布函数为：88X具有如下的具有如下的无记忆性无记忆性：如果如
13、果X表示等待时间，那么无记忆性说明只要表示等待时间，那么无记忆性说明只要还没等到，那么剩余等待时间仍然服从参数为还没等到，那么剩余等待时间仍然服从参数为的指数分布的指数分布.如果如果X表示元件寿命，那么无记忆性说明只要表示元件寿命，那么无记忆性说明只要还没坏掉，那么剩余寿命仍然服从参数为还没坏掉，那么剩余寿命仍然服从参数为的的指数分布指数分布.例例4.8 某大型设备在任何长度为某大型设备在任何长度为t的时间区间的时间区间内发生故障的次数内发生故障的次数N(t)服从参数为服从参数为t的泊松分的泊松分布布.记设备无故障运行的时间为记设备无故障运行的时间为T,(1)求求T的概率分布函数；的概率分布函
14、数；(2)已知设备无故障运行了已知设备无故障运行了10个小时，求该设个小时，求该设备再无故障至少运行备再无故障至少运行8个小时的概率个小时的概率.9091例例4.9 一银行服务需要等待，设等待时间一银行服务需要等待，设等待时间X(分分钟钟)的概率密度的概率密度函数函数为为某人进了银行，且打算过会儿去办另一件事，某人进了银行，且打算过会儿去办另一件事，于是先等待，如果超过于是先等待，如果超过15分钟还没有等到服务分钟还没有等到服务就离开，设他实际的等待时间为就离开，设他实际的等待时间为Y，(1)求求Y的分的分布函数布函数;(2)问问Y是离散型随机变量吗？连续型随是离散型随机变量吗？连续型随机变量
15、吗？机变量吗？(2)Y的取值范围为的取值范围为0,15,故不是离散型随机变量；故不是离散型随机变量；因此因此Y也不是连续型随机变量；也不是连续型随机变量；Y既没有分布律，既没有分布律，也没有概率密度函数也没有概率密度函数.例如，若要测量一个圆的面积例如，若要测量一个圆的面积Y，可以先可以先测量测量其其周长周长，如果周长如果周长的测量值的测量值X是是随机变量，随机变量，有一个概率分布，那么有一个概率分布，那么Y服从什么分布？服从什么分布？问题：已知随机变量问题：已知随机变量X的概率分布，的概率分布，且已知且已知Y=g(X)，求，求Y的概率分布。的概率分布。2.52.5 随机变量随机变量函数的函数
16、的分布分布Xp0.2-1010.5 0.3例例5.1 5.1 已知已知X具有分布具有分布律律 且设且设Y=X2 2，求，求Y的概率分布。的概率分布。95即找出即找出(Y=0)=0)的等价事件的等价事件(X=0)=0)；(Y=1)=1)的等价事件的等价事件(X=1)=1)与与(X=-1)=-1)的和事件的和事件.解：解：Y的所有可能取值为的所有可能取值为0,10,1例例5.2 5.2 设随机变量设随机变量X具有概率密度具有概率密度函数函数求求 的概率密度的概率密度函数函数。97解：记解：记Y的分布函数为的分布函数为98Y在区间在区间(0,16)(0,16)上均匀分布。上均匀分布。一般，若已知一般
17、，若已知X的概率分布，的概率分布，Y=g(X)，求，求Y的的概率分布的过程为：概率分布的过程为：关键是找出等价事件关键是找出等价事件。例例5.3 5.3 设设随机变量随机变量X的分布律如下表的分布律如下表 Y=2X+1,Z=X2 2,求求Y,Z的概率分布的概率分布律律.X-1102p101解：解：Y的可能取值为的可能取值为-1 1,1,31,3,5,5,Z的可能取值为的可能取值为0,10,1,4,4,(Y=-=-1 1)的等价事件为的等价事件为(X=-1)=-1)(Z=1)=1)的等价事件为的等价事件为(X=1)(=1)(X=-1)=-1)故得故得：Z01p4Y-1315p例例5.45.4：103例例5.5 设设XU(-1,2)，求，求 的概率密度函数的概率密度函数106107例例5.6 设设XN(0,1)，求，求 的概率密度函数的概率密度函数xh(y),yy0y=g(x)y110111例例5.7 设设 求求 的概率密度函数的概率密度函数解：解：113例例5.8 设设 求求 的概率密度函数的概率密度函数115116117118119更一般的结果见书中例更一般的结果见书中例2.5.6.课件待续!