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1、平面向量中三点共线定理的应用平面向量中三点共线定理的应用知识梳理（一)、对平面内任意的两个向量a,b(b 0),a/b的充要条件是：存在唯一的实数，使ab由该定理可以得到平面内三点共线定理：(二)、三点共线定理:在平面中 A、B、P 三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的 O，存在唯一的一对实数 x，y 使得：OP xOA yOB且OP xOA yOB。特别地有：特别地有：当点 P 在线段 AB 上时，x 0,y 0当点 P 在线段 AB 之外时,xy 0典例剖析例1、已知P是ABC的边BC上的任一点，且满足AP xAB yAC,x.yR,则14的最小值是xy分析：点 P 落在ABC的边
2、 BC 上B，P，C 三点共线AP xAB yACx y 1且x0,y0141414y4xy4x14 5()1()(x y)xyxyxyxyxyy4xy4xy4x 0,0由基本不等式可知：2 4，取等号xyxyxyx0,y0时合y4x y2 4x2y 2xxyx 0,y 0 y 2x12x y 1x,y,符33所以14的最小值为 9xy点评点评:本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起,较综合考查了学生基本功。12例 2、在ABC 中，AN NC，点 P 是 BC 上的一点,若AP mAB AC,则实311数 m 的值为(）A分分析析:B,P,N9532B.C。D.1
3、1111111三点共线m，8111又AP mAB 228AC mAB 4AN mAB AN111111m 3，故选 C11例 3、在ABC 中,点 O 是 BC 的中点,过点 O 的直线分别交直线 AB、AC 于不同的两 点 M、N,若AB值为mAM，ACnAN，则 mn 的：因为 O 是 BC 的中点，故连接 AO，如图 4,由向量加法的平行四边形法则可知：AO 1(AB AC)2ABmAM,AC nAN1AO(mAM nAN)2AO mnAM AN22又M,O,N三点共线，图 4由平面内三点共线定理可得：mn1mn 222变式、直线 l 过ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 的交点 O
4、，与 AD 边交于点 N,与 AB的延长线交于点 M。又知AB mAM,ADnAN,则 mn=分析：因为点 O 两条对角线 AC 与 BD 的交点，所以点 O 为 AC 的中点1AO(AB AD)2AB mAM,ADnAN1mnAO(mAM nAN)AM AN又M,O,N三点共线,222由平面内三点共线的向量式定理可得：mn1mn 222例 4、点G是OAB的重心，P、Q分别是边OA、OB上的动点，且P、G、Q三点共线设OP xOA，OQ yOB,证明:11是定值；xy证明：因为 G 是OAB的重心，211分析：OG(OAOB)(OAOB)323OP xOA1OAOPOQ yOBxOB 1OQ
5、y11 11OG(OAOB)(OPOQ)33 xyOG 11OPOQ3x3y又P,G,Q三点共线,1111111 3为定值 3xy3x3yxy例 5、如图所示，在平行四边形 ABCD 中,AE 于 G 点,记AB a，AD b，则AG _11AB,AF AD，CE 与 BF 相交34分析分析：本题是以平面几何为背景,为载体，求向量的问题，所以我们很容易联想到点 F、G、B 以及 E，G，C 三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解.解：E,G,C三点共线,由平面内三点共线定理可得:存在唯一的一对实数 x 使得AG xAE(1 x)AC，AE 11AB a，AC ab3312xAG xa(1
6、 x)(ab)(1)a(1 x)b33又F,G,B三点共线,由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数使得AG AB(1)AFAF 11AD b，441AG a(1)b 462xx 13173由两式可得：AG ab7711 x37 4点评点评:本题的解法中由两组三点共线（F、G、B 以及 E,G，C 三点在一条直线上）变式 2、在三角形ABC 中,AMAB=13，ANAC=14,BN 与CM 相交于点 P，且AB a，AC b，试用a、b表示AP解：N,P,B三点共线，由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数 x，ACNMPBy 使得AP xAB yAN,x y 1，ANAC=14，yy
7、1 x11AN AC bAP xAB AC xa b xa b44444又C,P,M三点共线,由平面内三点共线定理可得:存在唯一的一对实数，使得AP AM AC,1AMAB=13AM 11 AB a，33AP 3ab 1ab 313x x 311由 两 式 可 得：1 x211 4AP 32ab1111x y 1,y 811练习：O1。OAB,点P在边AB上，AB 3AP，设OA a,OB b，则OP（）aAPbBA.C.1221abB.ab33331221abD.ab33332、平面直角坐标系中，O 为坐标原点,已知两点 A(3,1），B（-1,3）,若点 C（x,y）满足OC=OA+OB，
8、其中，R 且+=1，则 x，y 所满足的关系式为(）A3x+2y-11=0B(x1)2+（y2)2=5C2xy=0Dx+2y5=03。已知P是ABC的边BC上的任一点，且满足AP xAB yAC,x.yR，则14的最小值是xy 4、在平行四边形 ABCD 中,O 是对角线 AC 与 BD 的交点，E 是 BC 边的中点，连接 DE 交 AC于点 F。已知ABa,ADb，则OF（)A1a31111b B(ab)C(ab)Da64661b45、(2014 届东江中学高三年级理科第三次段考）在平行四边形 ABCD 中,E、F 分别是 BC、CD 的中点,DE 交 AF 于 H，记错误错误!、错误错误
9、!分别为 a a、b b,则错误错误!（)A错误错误!a a错误错误!b bB错误错误!a a错误错误!b bC错误错误!a a错误错误!b b错误错误!a a错误错误!b bD 6、（2008 年广东卷）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F若AC a a，BD b b，则AF（）A111121a a b bBa a b bCa a b b422433Da a 132b b3117、在平行四边形 ABCD 中，AE AB,AF AD，CE与BF 相交于点 G，记AB a a，34AD b b,则AG（）A212331a a b bBa a b bCa a b b777777D42a a b b778、在ABO中,已知OC 11且AD与BC相交于点M,设OA a,OB b,OA,OD OB,，42则OM _（结果用a与b表示）