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1、平面向量中“三点共线定理妙用对平面内任意的两个向量的充要条件是：存在唯一的实数，使由该定理可以得到平面内三点共线定理：三点共线定理：在平面中A、B、P三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O，存在唯一的一对实数x,y使得：且。特别地有：当点P在线段AB上时，当点P在线段AB之外时，笔者在经过多年高三复习教学中发现，运用平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式解决高考题，模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单！本文将通过研究一些高考真题、模拟题与变式题去探究平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式的妙用,供同行交流。例106年江西高考题理科第7题等差数列an的前n项与为Sn，假设，且A
2、、B、C三点共线，设直线不过点O，那么S200= A100B101C200D201解：由平面三点共线的向量式定理可知：a1+a200=1,应选A。点评：此题把平面三点共线问题与等差数列求与问题巧妙地结合在一起，是一道经典的高考题。例2 是的边上的任一点，且满足，那么 的最小值是 解：点P落在的边BC上 B，P,C三点共线 由根本不等式可知：，取等号时，符合所以的最小值为9点评：此题把平面三点共线问题与二元函数求最值、根本不等式巧妙地结合在一起，较综合考察了学生根本功.图2例3湖北省2021届高三八校第一次联考理科如图2，在ABC中，点P是BC上的一点，假设，那么实数m的值为 AB. C. D.
3、 解：三点共线，又 ，应选C例407年江西高考题理科如图3，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，假设 m，n，那么mn的值为 图3解：因为O是BC的中点，故连接AO，如图4，由向量加法的平行四边形法那么可知：图4又三点共线，由平面内三点共线定理可得： 例5广东省2021届高三六校第三次联如图5所示：点是的重心，、分别是边、上的动点，且、三点共线设，证明：是定值；证明：因为G是的重心，图5又三点共线， 为定值3图6例6汕头市东山中学2021届高三第二次模拟考试如图6所示,在平行四边形ABCD中，,CE与BF相交于G点，记，那么_AB. C. D. 分
4、析：此题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联想到点F、G、B以及E,G,C三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。解：三点共线，由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x使得又三点共线，由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数使得由两式可得： PABCMN点评：此题的解法中由两组三点共线F、G、B以及E,G,C三点在一条直线上，利用平面内三点共线定理构造方程组求解，防止了用的向量的加法与平面向理根本定理解答此题的运算复杂，到达了简化解题过程的效果。图7例6的变式一：如图7所示，在三角形ABC中,AMAB=13,ANAC=14,BN与CM相交于点P，且，试用、
5、表示解：三点共线，由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x,y使得 ,ANAC=14, 又三点共线，由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数,使得 AMAB=13 ，由两式可得： 图8例6的变式二：如图8所示：直线l过ABCD的两条对角线AC与BD的交点O，与AD边交于点N,与AB的延长线交于点M。又知 m，n，那么mn= 解：因为点O两条对角线AC与BD的交点，所以点O为AC的中点 m，n 又三点共线，由平面内三点共线的向量式定理可得： 定理的推广：推广1：如图9所示：平面内一条直线AB,两个不同的点O与P.图9点O,P位于直线AB异侧的充要条件是：存在唯一的一对实数x,y使得：且
6、。推广2：如图10所示：平面内一条直线AB,两个不同的点O与P.图10 点O,P位于直线AB同侧的充要条件是：存在唯一的一对实数x,y使得：且。例7 点P为所在平面内一点，且(),假设点P落在的内部，如图11,那么实数t的取值范围是 A B. C. D. 图11解：点P落在的内部 A,P两点在直线BC的同一侧，由推论2知：，所以选DABOM图12例806年湖南高考题文科 如图12：OMAB，点P由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内不含边界.且，那么实数对x,y可以是 AB. C. D. 解：由题目的条件知：点O与点P在直线AB的同侧，所以，所以A,D两选项不符合。对于选项B、C,
7、都有,但当时，如果点P在直线AB上，那么由平面内三点共线的向量式定理可知：如果点P在直线OM上，OMAB可知：，由平面向理共线定理可知：存在唯一的实数t,使得，又因为点P在两平行直线AB、OM之间，所以，故B选不符合。对选项C同理可知：当时，故符合，所以选C例906年湖南高考题理科如图13,OMAB,点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动,且,当时,的取值范围是 . 图13解：当时，如果点P在直线AB上，那么由平面内三点共线的向量式定理可知：如果点P在直线OM上，OMAB可知：，由平面向理共线定理可知：存在唯一的实数t,使得，又因为点P在两平行直线AB、OM之
8、间，所以，所以实数y的取值范围是：练习：3.，点在边上，设，那么 1、平面直角坐标系中，O为坐标原点，两点A(3,1),B(-1,3),假设点C(x, y)满足=+，其中,R且+=1，那么x, y所满足的关系式为 A3x+2y-11=0 B(x-1)2+(y-2)2=5 C2x-y=0 Dx+2y-5=02、 是的边上的任一点，且满足，那么的最小值是 3、在平行四边形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，E是BC边的中点，连接DE交AC于点F。,那么 A BC D4、(2021届东江中学高三年级理科第三次段考在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于H，记、分别为a、b，那么()Aab BabCab Dab5、2021年广东卷在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点假设，那么 ABCD6、在平行四边形ABCD中，,CE与BF相交于点G,记，那么()A B CD7、在ABO中，且AD与BC相交于点M，设那么结果用表示8、如下图：A,B,C是圆O上的三个点，CO的延长线与线段AB交于圆内一点D，假设那么有：变式：如下图：A,B,C是圆O上的三个点，CO的延长线与线段AB的延长线交于圆外一点F，假设那么有：第 9 页