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1、-平面向量中三点共线-第 6 页平面向量中三点共线定理的应用知识梳理(一）、对平面内任意的两个向量的充要条件是：存在唯一的实数，使由该定理可以得到平面内三点共线定理：(二）、三点共线定理：在平面中A、B、P三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O，存在唯一的一对实数x,y使得：且。 特别地有：当点P在线段AB上时，当点P在线段AB之外时，典例剖析例1、 已知是的边上的任一点，且满足，则 的最小值是 分析：点P落在的边BC上 B，P,C三点共线 由基本不等式可知：，取等号时，符合所以的最小值为9点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起，较综合考查了学生基本功
2、.例2、在ABC中，点P是BC上的一点，若，则实数m的值为（ ）AB. C. D. 分析：三点共线，又 ，故选C例3、在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若 m，n，则mn的值为 ：因为O是BC的中点，故连接AO，如图4，由向量加法的平行四边形法则可知：图4又三点共线，由平面内三点共线定理可得： 变式、直线l过ABCD的两条对角线AC与BD的交点O，与AD边交于点N,与AB的延长线交于点M。又知 m，n，则mn= 分析：因为点O两条对角线AC与BD的交点，所以点O为AC的中点 m，n 又三点共线，由平面内三点共线的向量式定理可得： 例4、点是的重心
3、，、分别是边、上的动点，且、三点共线设，证明：是定值；证明：因为G是的重心，分析：又三点共线， 为定值3例5、如图所示,在平行四边形ABCD中，,CE与BF相交于G点，记，则_分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联想到点F、G、B以及E,G,C三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。解：三点共线，由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x使得又三点共线，由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数使得由两式可得： PABCMN点评：本题的解法中由两组三点共线（F、G、B以及E,G,C三点在一条直线上）变式2、在三角形ABC中,AMAB=13,ANAC=1
4、4,BN与CM相交于点P，且，试用、表示解：三点共线，由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x,y使得 ,ANAC=14, 又三点共线，由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数,使得 AMAB=13 ，由两式可得： 练习：1.，点在边上，设，则 （ ）2、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C(x, y)满足=+，其中,R且+=1，则x, y所满足的关系式为（ ）A3x+2y-11=0 B(x-1)2+(y-2)2=5 C2x-y=0 Dx+2y-5=03.已知是的边上的任一点，且满足，则的最小值是 4、在平行四边形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，E是BC边的中点，连接DE交AC于点F。已知,则（ ）A BC D5、(2014届东江中学高三年级理科第三次段考）在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于H，记、分别为a、b，则()Aab BabCab Dab6、（2008年广东卷）在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点若，则（ ）ABCD7、在平行四边形ABCD中，,CE与BF相交于点G,记，则()A B CD8、在ABO中，已知，且AD与BC相交于点M，设则（结果用表示）