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1、实用标准文案精彩文档平面向量中“三点共线定理”妙用对平面内任意的两个向量babba/),0(,的充要条件是：存在唯一的实数， 使ba由该定理可以得到平面内三点共线定理：三点共线定理： 在平面中 A、B、P 三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的 O ， 存在唯一的一对实数x,y 使得：OPxOAyOB且1xy。特别地有： 当点 P在线段 AB上时，0,0 xy当点 P在线段 AB之外时，0 xy笔者在经过多年高三复习教学中发现，运用平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式解决高考题，模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单！本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点
2、共线定理与它的两个推广形式的妙用, 供同行交流。例 1（06 年江西高考题理科第7 题）已知等差数列an 的前n 项和为Sn，若1200OBa OAaOC，且 A、B、C三点共线， （设直线不过点 O ） ，则 S200=（）A100 B101 C200 D201 解：由平面三点共线的向量式定理可知：a1+a200=1,1200200200()1002aaS, 故选 A。点评： 本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起，是一道经典的高考题。例 2 已知P是ABC的边 BC 上的任一点，且满足RyxACyABxAP.,， 则yx41的最小值是解：点 P落在ABC的边 BC上B，P
3、,C三点共线APxAByAC1xy且 x0,y014141444() 1()()145yxyxxyxyxyxyxyxyx0,y040,0yxxy由基本不等式可知：4424yxyxxyxy，取等号时精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 实用标准文案精彩文档4yxxy224yx2yx0,0 xy2yx1xy12,33xy，符合所以yx41的最小值为 9 点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起，较综合考查了学
4、生基本功. 例 3（湖北省 2011 届高三八校第一次联考理科）如图2，在 ABC 中，13ANNC，点 P是 BC上的一点，若211APmABAC，则实数 m的值为（）A911B. 511 C. 311 D. 211解：,B P N三点共线，又2284111111APmABACmABANmABAN8111m311m，故选 C例 4（07 年江西高考题理科）如图3，在 ABC中，点 O是 BC的中点，过点 O的直线分别交直线AB 、AC于不同的两点M 、N，若AB mAM，ACnAN，则 m n的值为解：因为 O是 BC的中点，故连接AO ，如图 4，由向量加法的平行四边形法则可知：1()2A
5、OABACmABAM，ACnAN1()2AOmAMnAN22mnAOAMAN又,M O N三点共线，由平面内三点共线定理可得：122mn2mn例 5 （广东省 2010 届高三六校第三次联） 如图 5所示：点G是OAB的重心，P、Q分别是边OA、OB上的动点，且P、G、Q三点共线设OAxOP，OByOQ，证明：yx11是定值；图 3 图 4 图 2 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 实用标准文案精彩文档证明：因为 G是OAB的重心，
6、211()()323OGOAOBOAOB1OPxOAOAOPx1OQyOBOBOQy11 1111()()3333OGOAOBOPOQOGOPOQxyxy又,P G Q三点共线，11133xy113xy11xy为定值 3 例 6（汕头市东山中学2013 届高三第二次模拟考试）如图6 所示,在平行四边形 ABCD 中，13AEAB,14AFAD,CE 与 BF相交于 G点，记ABa，ADb，则AG_ A2177abB. 2377ab C. 3177ab D. 4277ab分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联想到点 F、G 、B以及 E,G,C 三点在一条直线上，可
7、用平面内三点共线定理求解。解：,E G C三点共线，由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x 使得(1)AGxAEx AC, 1133AEABa,ACab12(1)()(1)(1)33xAGxaxabax b又,F G B三点共线，由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数使得(1)AGABAF1144AFADb， ，1(1)4AGab由两式可得：213114xx6737x3177AGab点评：本题的解法中由两组三点共线（F、G 、B 以及 E,G,C 三点在一条直线上），P A B C M N 图 5 图 6 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - -
8、 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 实用标准文案精彩文档利用平面内三点共线定理构造方程组求解，避免了用的向量的加法和平面向理基本定理解答本题的运算复杂，达到了简化解题过程的效果。例 6 的变式一： 如图 7 所示，在三角形 ABC中,AMAB=1 3,ANAC=1 4,BN 与 CM相交于点 P，且aAB，bAC，试用a、b表示AP解：,N P B三点共线，由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x,y使得,1APxABy AN xy,AN AC=1 4, bACAN41411444yyxAPxABAC
9、xabxab又, ,C P M三点共线，由平面内三点共线定理可得： 存在唯一的一对实数,使得,1APAMACAM AB=13 aABAM3131， ，133APabab由 两 式 可 得 ：1314xx311211x81,11xyy321111APab例 6 的变式二： 如图 8 所示：直线 l 过ABCD 的两条对角线 AC与 BD的交点 O ， 与 AD边交于点 N,与 AB的延长线交于点 M 。又知AB mAM，ADnAN，则 m n= 解：因为点 O两条对角线 AC与 BD的交点，所以点 O为 AC的中点1()2AOABADAB mAM，ADnAN1()222mnAOmAMnANAMA
10、N又,M O N三点共线，由平面内三点共线的向量式定理可得：122mn2mn定理的推广：推广1：如图9所示：已知平面内一条直线AB,两个不同的点 O与 P. 点 O,P位于直线 AB异侧的充要条件是：存在唯一的一对实数x,y 使得： OPxOAyOB且1xy。图 7 图 8 图 9 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 实用标准文案精彩文档推广 2：如图 10 所示：已知平面内一条直线AB,两个不同的点 O与 P. 点 O,P 位于直线
11、AB 同侧的充要条件是：存在唯一的一对实数x,y使得：OPxOAyOB且1xy。例7 已知点P 为ABC所在平面内一点，且13APABt AC( tR), 若点 P 落在ABC的内部，如图 11, 则实数 t 的取值范围是（）A3(0,)4B. 1 3(,)2 4 C. (0,1) D. 2(0,)3解：点 P落在ABC的内部A,P 两点在直线 BC的同一侧，由推论 2 知：113t23t，所以选 D 例 8（06 年湖南高考题文科）如图 12：OM AB ，点 P 由射线OM 、线段 OB及 AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）. 且OByOAxOP，则实数对（ x, y）可以是（）A)
12、43,41(B. )32,32( C. )43,41( D. )57,51(解：由题目的条件知：点O与点 P 在直线 AB的同侧，所以1xy，所以 A,D 两选项不符合。对于选项B、C,都有1xy, 但当23x时，如果点 P在直线 AB上，则由平面内三点共线的向量式定理可知：53y如果点 P在直线 OM 上，OM AB可知：|OPAB ，由平面向理共线定理可知：存在唯一的实数 t, 使得()OPtABt OB OAtOAtOB，OByOAxOP,tx ty22,33ty又因为点 P在两平行直线 AB 、 OM 之间，所以2533y， 故 B选不符合。对选项 C同理可知：当14x时，1544y，
13、故34y符合，所以选 C 例 9（06 年湖南高考题理科）如图13,OM AB,点 P在由射线OM 、线段 OB及 AB的延长线围成的阴影区域内( 不含边界 )运A B O M 图 12 图 10 图 11 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 实用标准文案精彩文档动, 且 OPxOAyOB, 当12x时,y的取值范围是 . 解：当12x时，如果点 P在直线 AB上，则由平面内三点共线的向量式定理可知：32y如果点 P在直线 OM 上，
14、OM AB可知： OPAB ，由平面向理共线定理可知：存在唯一的实数 t, 使得()OPtABt OB OAtOAtOB，OByOAxOP,tx ty11,22ty，又因为点 P 在两平行直线 AB 、OM 之间，所以1322y，所以实数 y的取值范围是：13(,)22练习：3.OAB，点P在边AB上，3ABAP，设,OAa OBb，则OP（）12.33Aab21.33Bab.C1233ab.D2133ab1、平面直角坐标系中，O为坐标原点， 已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C(x, y) 满足OC=OA+OB，其中,R且+=1，则x, y所满足的关系式为（）A3x+2y-11=0
15、B(x-1)2+(y-2)2=5 C2x-y=0 Dx+2y-5=0 2、已知P是ABC的边 BC 上的任一点，且满足RyxACyABxAP.,，则yx41的最小值是图 13 PBAOba精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 实用标准文案精彩文档 3 、在平行四边形ABCD 中， O是对角线AC与 BD的交点， E是 BC边的中点，连接DE交 AC于点F。已知,ABa ADb, 则OF（）A1136ab B1()4abC1()6ab D
16、1164ab4、(2014 届东江中学高三年级理科第三次段考）在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于H，记AB、BC分别为a、b，则AH( ) A25a45b B 25a45b C 25a45bD25a45b5、（2008 年广东卷） 在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点OE，是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F若ACa，BDb，则AF（）A1142abB2133abC 1124abD1233ab精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 8 页 -
17、 - - - - - - - - - 实用标准文案精彩文档6、在平行四边形ABCD中，11,34AEAB AFAD,CE与 BF相交于点 G,记ABa，ADb，则AG( ) A2177ab B2377ab C3177abD4277ab7、在 ABO中，已知11,42OCOA ODOB，且 AD与 BC相交于点 M ，设,OAa OBb则_OM（结果用ab与表示）8、如图所示：A,B,C是圆O 上的三个点，CO 的延长线与线段AB 交于圆内一点D，若OCxOAyOB则有：（）.01.1.1.10AxyB xyA xyAxy变式：如图所示：A,B,C 是圆 O上的三个点， CO的延长线与线段AB的延长线交于圆外一点F，若OCxOAyOB则有：（）.01.1.1.10AxyB xyA xyAxy精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - - -