《平面向量中“三点共线定理”妙用.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《平面向量中“三点共线定理”妙用.pdf（8页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、.1/8 平面向量中“三点共线定理”妙用 对平面任意的两个向量babba/),0(,的充要条件是：存在唯一的实数，使ba 由该定理可以得到平面三点共线定理：三点共线定理：在平面中 A、B、P 三点共线的充要条件是：对于该平面任意一点的 O，存在唯一的一对实数 x,y 使得：OPxOAyOB且1xy。特别地有：当点 P 在线段 AB 上时，0,0 xy 当点 P 在线段 AB 之外时，0 xy 笔者在经过多年高三复习教学中发现，运用平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式解决高考题，模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单！本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点共线定理
2、与它的两个推广形式的妙用,供同行交流。例 1（06 年高考题理科第 7 题）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，若1200OBa OAaOC，且 A、B、C 三点共线，（设直线不过点 O），则 S200=（）A100 B101 C200 D201 解：由平面三点共线的向量式定理可知：a1+a200=1,1200200200()1002aaS,应选 A。点评：此题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起，是一道经典的高考题。例 2 已知P是ABC的边BC上的任一点，且满足RyxACyABxAP.,，则yx41 的最小值是 解：点 P 落在ABC的边 BC 上 B，P,C 三点共线
3、 APxAByAC1xy 且x0,y0 14141444()1()()145yxyxxyxyxyxyxyxy x0,y040,0yxxy 由基本不等式可知：4424yxyxxyxy，取等号时.2/8 4yxxy224yx2yx 0,0 xy2yx1xy12,33xy，符合 所以yx41的最小值为 9 点评：此题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起，较综合考查了学生基本功.例 3（省 2011 届高三八校第一次联考理科）如图 2，在ABC 中，13ANNC，点 P 是 BC 上的一点，若211APmABAC，则实数 m 的值为（）A911B.511 C.311 D.21
4、1 解：,B P N三点共线，又2284111111APmABACmABANmABAN 8111m311m，应选 C 例 4（07 年高考题理科）如图 3，在ABC 中，点 O 是 BC 的中点，过点 O 的直线分别交直线 AB、AC 于不同的两点 M、N，若AB mAM，ACnAN，则 mn 的值为 解：因为 O 是 BC 的中点，故连接 AO，如图 4，由向量加法的平行四边形法则可知：1()2AOABAC mABAM，ACnAN 1()2AOmAMnAN 22mnAOAMAN 又,M O N三点共线，由平面三点共线定理可得：122mn2mn 例 5（省 2010 届高三六校第三次联）如图
5、5 所示：点G是OAB的重心，P、Q分别是边OA、OB上的动点，且P、G、Q三点共线 设OAxOP，OByOQ，证明：yx11是定值；图 3 图 4 图 2.3/8 证明：因为 G 是OAB的重心，211()()323OGOAOBOAOB 1OPxOAOAOPx1OQyOBOBOQy 11 1111()()3333OGOAOBOPOQOGOPOQxyxy 又,P G Q三点共线，11133xy113xy11xy为定值 3 例 6（市东山中学 2013 届高三第二次模拟考试）如图 6 所示,在平行四边形 ABCD 中，13AEAB,14AFAD,CE 与 BF 相交于 G 点，记ABa，ADb，
6、则AG _ A2177abB.2377ab C.3177ab D.4277ab 分析：此题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联想到点 F、G、B 以与 E,G,C 三点在一条直线上，可用平面三点共线定理求解。解：,E G C三点共线，由平面三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x 使得(1)AGxAEx AC,1133AEABa,ACab 12(1)()(1)(1)33xAGxax abax b 又,F G B三点共线，由平面三点共线定理可得：存在唯一的一对实数使得(1)AGABAF1144AFADb，1(1)4AGab 由两式可得：213114xx 6737x3177AG
7、ab 点评：此题的解法中由两组三点共线（F、G、B 以与 E,G,C 三点在一条直线上），P A B C M N 图 5 图 6.4/8 利用平面三点共线定理构造方程组求解，避免了用的向量的加法和平面向理基本定理解答此题的运算复杂，达到了简化解题过程的效果。例 6 的变式一：如图 7 所示，在三角形 ABC 中,AMAB=13,ANAC=14,BN 与 CM相交于点 P，且aAB，bAC，试用a、b表示AP 解：,N P B三点共线，由平面三点共线定理可得：存在唯一的一对实数 x,y 使得,1APxAByAN xy,ANAC=14,bACAN41411444yyxAPxABACxabxab 又
8、,C P M三点共线，由平面三点共线定理可得：存在唯一的一对实数,使得,1APAMACAMAB=13aABAM3131，133APabab 由两式可得：1314xx311211x81,11xyy 321111APab 例 6 的变式二：如图 8 所示：直线 l 过ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 的交点 O，与 AD 边交于点 N,与 AB 的延长线交于点 M。又知AB mAM，ADnAN，则 mn=解：因为点 O 两条对角线 AC 与 BD 的交点，所以点 O 为 AC 的中点 1()2AOABADAB mAM，ADnAN 1()222mnAOmAMnANAMAN又,M O N三点共线
9、，由平面三点共线的向量式定理可得：122mn2mn 定理的推广：推广1：如图9所示：已知平面一条直线 AB,两个不同的点 O 与 P.点 O,P 位于直线 AB 异侧的充要条件是：存在唯一的一对实数 x,y 使得：OPxOAyOB且1xy。图 7 图 8 图 9.5/8 推广 2：如图 10 所示：已知平面一条直线 AB,两个不同的点 O 与 P.点 O,P 位于直线 AB 同侧的充要条件是：存在唯一的一对实数 x,y 使得：OPxOAyOB且1xy。例7 已知点 P 为ABC所在平面一点，且13APABtAC(tR),若点 P 落在ABC的部，如图11,则实数 t 的取值围是（）A3(0,)
10、4B.1 3(,)2 4 C.(0,1)D.2(0,)3 解：点 P 落在ABC的部 A,P 两点在直线 BC 的同一侧，由推论 2 知：113t 23t，所以选 D 例 8（06 年高考题文科）如图 12：OMAB，点 P 由射线OM、线段OB与AB的延长线围成的阴影区域（不含边界）.且OByOAxOP，则实数对（x,y）可以是（）A)43,41(B.)32,32(C.)43,41(D.)57,51(解：由题目的条件知：点O 与点 P 在直线 AB 的同侧，所以1xy，所以 A,D 两选项不符合。对于选项B、C,都有1xy,但当23x 时，如果点 P 在直线 AB 上，则由平面三点共线的向量
11、式定理可知：53y 如果点 P 在直线 OM 上，OMAB 可知：|OPAB，由平面向理共线定理可知：存在唯一的实数 t,使得()OPtABt OB OAtOA tOB，OByOAxOP,tx ty 22,33ty 又因为点P 在两平行直线AB、OM 之间，所以2533y，故 B 选不符合。对选项 C 同理可知：当14x 时，1544y，故34y 符合，所以选 C 例 9（06 年高考题理科）如图 13,OMAB,点 P 在由射线 OM、线段 OB 与 AB 的延长线围成的阴影区域(不含边界)运动,且A B O M 图 12 图 10 图 11.6/8 OPxOAyOB,当12x 时,y的取值
12、围是.解：当12x 时，如果点 P 在直线 AB 上，则由平面三点共线的向量式定理可知：32y 如果点 P 在直线 OM 上，OMAB 可知：OPAB，由平面向理共线定理可知：存在唯一的实数 t,使得()OPtABt OB OAtOA tOB，OByOAxOP,tx ty 11,22ty，又因为点P 在两平行直线 AB、OM 之间，所以1322y，所以实数 y的取值围是：13(,)22 练习：3.OAB，点P在边AB上，3ABAP，设,OAa OBb，则OP （）12.33Aab21.33Bab .C1233ab.D2133ab 1、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(-
13、1,3),若点C(x,y)满足OC=OA+OB，其中,R 且+=1，则x,y所满足的关系式为（）A3x+2y-11=0B(x-1)2+(y-2)2=5 C2x-y=0 Dx+2y-5=0 2、已知P是ABC的边BC上的任一点，且满足RyxACyABxAP.,，则yx41 的最小值是 图 13 PBAOba.7/8 3、在平行四边形 ABCD 中，O 是对角线 AC 与 BD 的交点，E 是 BC 边的中点，连接 DE 交 AC 于点F。已知,ABa ADb,则OF（）A1136ab B1()4ab C1()6ab D1164ab 4、(2014 届东江中学高三年级理科第三次段考）在平行四边形A
14、BCD中，E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于H，记AB、BC分别为a、b，则AH()A25a45b B25a45bC25a45b D25a45b 5、（2008 年卷）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点OE，是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F若AC a，BD b，则AF（）A1142abB2133ab C1124ab D1233ab .8/8 6、在平行四边形ABCD中，11,34AEAB AFAD,CE 与BF相交于点 G,记AB a，AD b，则AG()A2177ab B2377ab C3177ab D4277ab 7、在ABO 中，已知11,42OCOA ODOB，且 AD 与 BC 相交于点 M，设,OAa OBb则_OM（结果用ab与表示）8、如下图：A,B,C 是圆 O 上的三个点，CO 的延长线与线段 AB 交于圆一点 D，若OCxOAyOB 则有：（）.01.1.1.10AxyB xyA xyAxy 变式：如下图：A,B,C 是圆 O 上的三个点，CO 的延长线与线段 AB 的延长线交于圆外一点 F，若OCxOAyOB 则有：（）.01.1.1.10AxyB xyA xyAxy