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1、.-.word.zl 平面向量中三点共线定理的应用 知识梳理(一、对平面任意的两个向量 b a b b a/),0(,的充要条件是：存在唯一的实数，使 b a 由该定理可以得到平面三点共线定理：(二、三点共线定理：在平面中 A、B、P 三点共线的充要条件是：对于该平面任 意 一 点 的 O，存 在 唯 一 的 一 对 实 数 x,y 使 得：OP xOA yOB 且OP xOA yOB。特别地有：当点 P 在线段 AB 上时，0,0 x y 当点 P 在线段 AB 之外时，0 xy 典例剖析 例 1、P 是 ABC 的边 BC 上的任一点，且满足 R y x AC y AB x AP.,，那么
2、y x4 1 的最小值是 分析：点 P 落在 ABC 的边 BC 上 B，P,C 三点共线 AP xAB yAC 1 x y 且 x0,y0 1 4 1 4 1 4 4 4()1()()1 4 5y x y xx yx y x y x y x y x y x0,y040,0y xx y 由根本不等式可知：4 42 4y x y xx y x y，取等号时4 y xx y2 24 y x 2 y x 0,0 x y 2 y x 1 x y 1 2,3 3x y，符合 所以y x4 1 的最小值为 9 点评：此题把平面三点共线问题与二元函数求最值、根本不等式巧妙地结合在一.-.word.zl 起，
3、较综合考察了学生根本功.例 2、在 ABC 中，13AN NC，点 P 是 BC 上的一点，假设211AP mAB AC，那么实数 m 的值为 A911B.511 C.311 D.211 分 析：,B P N 三 点 共 线，又2 2 8411 11 11AP mAB AC mAB AN mAB AN 8111m 311m，应选 C 例 3、在 ABC 中，点 O 是 BC 的中点，过点 O 的直线分别交直线 AB、AC 于AB m AM，AC n AN，那 不同的两点 M、N，假设么 m n 的值为：因为 O 是 BC 的中点，故连接 AO，如图 4，由向量加法的平行四边形法那么可知：1()
4、2AO AB AC m AB AM，AC nAN 1()2AO mAM nAN 得到平面三点共线定理二三点共线定理在平面中三点共线的充要条件是对于该平面任意一点的存在唯一的一对实数使得且特别地有当点在线段上时当点在线段之外时典例剖析例是的边上的任一点且满足那么的最小值是分析点落在的 根本不等式巧妙地结合在一起较综合考察了学生根本功例在中那么实数的值为点是上的一点假设分析三点共线又应选例在中点是的中点过点的直线分别交直线于不同的两点假设那么的值为因为是的中点故连接如图由向量加法的平行 线交于点又知那么分析因为点两条对角线与的交点所以点为的中点又三点共线由平面三点共线的向量式定理可得例点是的重心分
5、别是边上的动点且三点共线设证明是定值证明因为是的重心分析三点共线又为定值例如下列图在平行四.-.word.zl 2 2m nAO AM AN 又,M O N 三点共线，由平面三点共线定理可得：12 2m n 2 m n 变式、直线 l 过 ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 的交点 O，与 AD 边交于点 N,与 AB 的延长线交于点 M。又知 AB m AM，AD n AN，那么 m n=分析：因为点 O 两条对角线 AC 与 BD 的交点，所以点 O 为 AC 的中点 1()2AO AB AD AB m AM，AD n AN 1()2 2 2m nAO mAM nAN AM AN 又,
6、M O N 三点共线，由平面三点共线的向量式定理可得：12 2m n 2 m n 例 4、点G 是 OAB 的重心，P、Q 分别是边 OA、OB 上的动点，且 P、G、Q 三点共线设 OA x OP，OB y OQ，证明：y x1 1 是定值；证明：因为 G 是 OAB 的重心，分析：2 1 1()()3 2 3OG OA OB OA OB 图 4 得到平面三点共线定理二三点共线定理在平面中三点共线的充要条件是对于该平面任意一点的存在唯一的一对实数使得且特别地有当点在线段上时当点在线段之外时典例剖析例是的边上的任一点且满足那么的最小值是分析点落在的 根本不等式巧妙地结合在一起较综合考察了学生根
7、本功例在中那么实数的值为点是上的一点假设分析三点共线又应选例在中点是的中点过点的直线分别交直线于不同的两点假设那么的值为因为是的中点故连接如图由向量加法的平行 线交于点又知那么分析因为点两条对角线与的交点所以点为的中点又三点共线由平面三点共线的向量式定理可得例点是的重心分别是边上的动点且三点共线设证明是定值证明因为是的重心分析三点共线又为定值例如下列图在平行四.-.word.zl 1OP xOA OA OPx 1OQ yOB OB OQy 1 1 1 1 1 1()()3 3 3 3OG OA OB OP OQ OG OP OQx y x y 又,P G Q 三点共线，1 113 3 x y
8、1 13x y 1 1x y 为定值 3 例 5、如下列图,在平行四边形 ABCD 中，13AE AB,14AF AD,CE 与 BF 相交于 G 点，记 AB a，AD b，那么 AG _ 分析：此题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联想到点 F、G、B 以及 E,G,C 三点在一条直线上，可用平面三点共线定理求解。解：,E G C 三点共线，由平面三点共线定理可得：存在唯一的一对实数 x 使得(1)AG xAE x AC,1 13 3AE AB a,AC a b 1 2(1)()(1)(1)3 3xAG x a x a b a x b 又,F G B 三点共线，由平面
9、三点共线定理可得：存在唯一的一对实数使得(1)AG AB AF 1 14 4AF AD b，1(1)4AG a b 由两式可得：213114xx 6737x3 17 7AG a b 得到平面三点共线定理二三点共线定理在平面中三点共线的充要条件是对于该平面任意一点的存在唯一的一对实数使得且特别地有当点在线段上时当点在线段之外时典例剖析例是的边上的任一点且满足那么的最小值是分析点落在的 根本不等式巧妙地结合在一起较综合考察了学生根本功例在中那么实数的值为点是上的一点假设分析三点共线又应选例在中点是的中点过点的直线分别交直线于不同的两点假设那么的值为因为是的中点故连接如图由向量加法的平行 线交于点又
10、知那么分析因为点两条对角线与的交点所以点为的中点又三点共线由平面三点共线的向量式定理可得例点是的重心分别是边上的动点且三点共线设证明是定值证明因为是的重心分析三点共线又为定值例如下列图在平行四.-.word.zl 点评：此题的解法中由两组三点共线 F、G、B 以及 E,G,C 三点在一条直线上 变式 2、在三角形 ABC 中,AM AB=1 3,AN AC=1 4,BN 与CM 相交于点 P，且 a AB，b AC，试用 a、b表示 AP 解：,N P B三点共线，由平面三点共线定理可得：存在唯一的一对实数 x,y使得,1 AP xAB yAN x y,AN AC=1 4,b AC AN414
11、1 14 4 4y y xAP xAB AC xa b xa b 又,C P M 三点共线，由平面三点共线定理可得：存在唯一的一对实数,使得,1 AP AM AC AM AB=1 3 a AB AM3131，13 3AP a b a b 由两式可得：1314xx311211x81,11x y y 3 211 11AP a b 练习：1.OAB，点P在边AB上，3 AB AP，设,OA a OB b，那么OP 1 2.3 3A a b 2 1.3 3B a b PBAOba得到平面三点共线定理二三点共线定理在平面中三点共线的充要条件是对于该平面任意一点的存在唯一的一对实数使得且特别地有当点在线段
12、上时当点在线段之外时典例剖析例是的边上的任一点且满足那么的最小值是分析点落在的 根本不等式巧妙地结合在一起较综合考察了学生根本功例在中那么实数的值为点是上的一点假设分析三点共线又应选例在中点是的中点过点的直线分别交直线于不同的两点假设那么的值为因为是的中点故连接如图由向量加法的平行 线交于点又知那么分析因为点两条对角线与的交点所以点为的中点又三点共线由平面三点共线的向量式定理可得例点是的重心分别是边上的动点且三点共线设证明是定值证明因为是的重心分析三点共线又为定值例如下列图在平行四.-.word.zl.C1 23 3a b.D2 13 3a b 2、平面直角坐标系中，O 为坐标原点，两点 A(
13、3,1),B(-1,3),假设点 C(x,y)满足 OC=OA+OB，其中,R 且+=1，那么 x,y 所满足的关系式为 A 3x+2y-11=0 B(x-1)2+(y-2)2=5 C 2x-y=0 D x+2y-5=0 3.P 是 ABC 的边 BC 上的任一点，且满足 R y x AC y AB x AP.,，那么y x4 1 的最小值是 4、在平行四边形 ABCD 中，O 是对角线 AC 与 BD 的交点，E 是 BC 边的中点，连接 DE交 AC 于点 F。,AB a AD b,那么OF A 1 13 6a b B 1()4a bC 1()6a b D 1 16 4a b 5、(202
14、1 届东江中学高三年级理科第三次段考在平行四边形 ABCD 中，E、F 分别是 BC、CD 的中点，DE 交 AF 于 H，记 AB、BC分别为 a、b，那么 AH()A25a45b B25a45bC25a45b D25a45b 6、2021 年卷 在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O E，是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F假设AC a，BD b，那么AF A1 14 2 a bB2 13 3 a bC1 12 4 a bD1 23 3 a b 7、在平行四边形 ABCD 中，1 1,3 4AE AB AF AD,CE 与 BF 相交于点 G,记AB a，得到平面三点共线定理二
15、三点共线定理在平面中三点共线的充要条件是对于该平面任意一点的存在唯一的一对实数使得且特别地有当点在线段上时当点在线段之外时典例剖析例是的边上的任一点且满足那么的最小值是分析点落在的 根本不等式巧妙地结合在一起较综合考察了学生根本功例在中那么实数的值为点是上的一点假设分析三点共线又应选例在中点是的中点过点的直线分别交直线于不同的两点假设那么的值为因为是的中点故连接如图由向量加法的平行 线交于点又知那么分析因为点两条对角线与的交点所以点为的中点又三点共线由平面三点共线的向量式定理可得例点是的重心分别是边上的动点且三点共线设证明是定值证明因为是的重心分析三点共线又为定值例如下列图在平行四.-.wor
16、d.zl AD b，那么AG()A2 17 7 a b B2 37 7 a b C3 17 7 a bD4 27 7 a b 8、在 ABO 中，1 1,4 2OC OA OD OB，且 AD 与 BC 相交于点 M，设,OA a OB b 那么_ OM 结果用a b 与表示 得到平面三点共线定理二三点共线定理在平面中三点共线的充要条件是对于该平面任意一点的存在唯一的一对实数使得且特别地有当点在线段上时当点在线段之外时典例剖析例是的边上的任一点且满足那么的最小值是分析点落在的 根本不等式巧妙地结合在一起较综合考察了学生根本功例在中那么实数的值为点是上的一点假设分析三点共线又应选例在中点是的中点过点的直线分别交直线于不同的两点假设那么的值为因为是的中点故连接如图由向量加法的平行 线交于点又知那么分析因为点两条对角线与的交点所以点为的中点又三点共线由平面三点共线的向量式定理可得例点是的重心分别是边上的动点且三点共线设证明是定值证明因为是的重心分析三点共线又为定值例如下列图在平行四