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1、25 题汇编1.如图，AB 是O 的直径，BC 是O 的切线，切点为 B，AD 为弦，OCAD。（1）求证：DC 是O 的切线；（2）若 OA=2，求AD OC的值。CDAOB2.如图，O 是ABC 的外接圆，B=60，CD 是O 的直径，P 是 CD 延长线上的一点，且AP=AC（1）求证：直线 AP 是O 的切线；（2）若 AC=3，求 PD 的长。APDOCB3.如图，已知AB 是O 的直径，AM 和 BN 是O 的两条切线，点E 是O 上一点，点D 是 AM 上一点，连接 DE 并延长交 BN 于点 C，连接 OD、BE，且 ODBE。（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若 AD=1
2、，BC=4，求直径 AB 的长。ADEMOBCN4.如图，ABC 内接于O，弦 ADAB 交 BC 于点 E，过点 B 作O 的切线交 DA 的延长线于点 F，且ABF=ABC。（1）求证：AB=AC；（2）若 EF=4，tanF3，求 DE 的长。2OEDCBAF5.在ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径作O，交 BC 于点 D，过点 D 作 DEAC，垂足为 E。（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若 AE=1，BD 2 5，求 AB 的长。AEOBDC6.如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，AD 垂直于过点 C 的直线，垂足为 D，且 AC 平分BAD。（1）求证：CD 是
3、O 的切线；（2）若AC 2 6，AD=4，求 AB 的长。DCAOB7.如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，AD 和过 C 点的切线互相垂直，垂足为点D，AD 交O于点 E。求证：（1）AC 平分DAB；（2）若B=60，CD2 3，求 AE 的长。8.如图，O 是ABC 的外接圆，AC 是O 的直径，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BEDC 交 DC 的延长线于点 E。（1）求证：BE 是O 的切线；（2）求 DE 的长。DECAOBBECOAD9.如图，在 RtABC 中，C=90，CB=CA=6，半径为 2 的F 与射线 BA 相切于点 G，且 AG=4，将RtABC 绕点
4、 A 顺时针旋转 135后得到 RtADE，点 B、C 的对应点分别是点 D、E。（1）求证：DE 为F 的切线；（2）求出 RtADE 的斜边 AD 被F 截得的弦 PQ 的长度。DCQPFGEBA10.O 是等边三角形 ABC 的外接圆，点 E 在 AB 弧上，点 D 在 AC 弧上，且 AE 弧等于 CD 弧，连接CE 交 AB 于点 F，连接 BD 交 CE 于点 H，交 AC 于点 G，连接 AD。（1）求证：AF=CG；（2）若AF:BF3:5，AC=8，求 AD 的长。EFAOHBGCD11.如图，O 是ABC 的外接圆，弦 BD 交 AC 于点 E，连接 CD，且 AE=DE，
5、BC=CE。（1）求ACB 的度数；（2）过点 O 作 OFAC 于点 F，延长 FO 交 BE 于点 G，DE=3，EG=2，求 AB 的长。AEFGODBC12.如图，在菱形 ABCD 中，P 是对角线 AC 上的一点，且 PA=PD，O 为APD 的外接圆。（1）求证：AB 为O 的切线；（2）若O 的半径为5 51，tanDAC，求 AC 的长。42DOCPAB13.如图，AC 弧等于 BC 弧，D、E 分别是半径 OA，OB 的中点，CE 的延长线交O 于点 F。（1）求证：CD=CE；（2）若 CD=2，CF=5，求半径 OA 的长。ADOFECB14.如图，AB 是O 的直径，点
6、 C 在O 外，连接 OC，OCAB，弦 BD 交 OC 于点 E，CD=CE。（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若 AB=13，BD=12，求 DE 的长。15.如图，点 A 在射线 ON 上，半径为 5 的A 与射线 OM相切于点 B，交射线 ON 于点 D（OD OA），将射线 OM 沿着射线 ON 翻折，得射线ADOECBOM。（1）求证：OM为A 的切线；（2）点 C 在射线 OM 上，连 CD，交A 于点 E，若MOM 90，tanOCD 1，求弦 DE 的长。716.如图，ABC=30，半径为3的O 与直线 AB 相切于点 E，BE=1，将ABC 沿着直线 BC 翻折，得到D
7、BC。（1）求证：O 与 BD 相切；（2）点 F 与点 E 关于 O 点对称，过点 F 作 GFBC，交射线 BD 于点 G，求线段 GF 的长。ACBEODGF17.如图，在ABC 中，AB=10，BC=8，AC=6，将ABC 沿 AC 翻折，点B 与 D 重合，O 是 CD 上一点，OC=3，以 O 为圆心，OC 为半径作O，交 CD 于另一点 E。（1）求证：直线 AD 是O 的切线；（2）过点 D 作O 的另一条切线，切点为点 M，连接 MC 并延长，交 AB 边于点 N，求线段 MN 的长。ABCOED18.如图，在O 中，弦 AB弦 CD，且 AB、CD 位于圆心 O 的两侧，A
8、B=8，CD=6，AB、CD 之间的距离为 7，连接 OA、OC。（1）求O 的半径；（2）过点 A 作O 的切线，交 DC 的延长线于点 E，求线段 CE 的长。AOBCD19.如图，AB 为O 的直径，AC、BC 为O 的弦，AC 折叠，得到ADC，点 E 在 AD 边上，AE=1，连接 CE。（1）求证：CE 是O 的切线；（2）作射线 EO，交射线 CB 于点 F，求 BF 的长。5，sinABC 5，将ABC 沿 AC5AOBCED20.如图，以ABC 的 BC 边上一点 O 为圆心的圆经过 A,B 两点，点 D 在O 上，BD=BA,DAC=2ABC,O 交 BC 于点 E,AD
9、交 BC 于点 F。（1）求证：AC 为O 的切线。（2）若 AB=3,AC=5,求 BC 长。ABOFDEC答案：1.解：（1）连接 ODAB 是O 的直径OA=OB=ODBC 是O 的切线，OBC=90OCAD，A=COB，ODA=COD，OA=OD，A=ODA COD=COBOC=OC，CODCOB，ODC=OBC=90DC 是O 的切线。（2）连接 BD，AB 是O 的直径，ADB=OBC=90，BOC=A，BADCOB2.（1）连接 AO，则AOC=2B=260 120 OA=OCOAC=OCA=又 PA=AC，P=ACP=30又AOP=180120 60PAO 1803060 90
10、OAAPAP 是O 的切线。AOBDCBAADADCO BAOBOA=2，BA=2OA=4，OB=2 ADCO BAOB 8COOB180120 302（2）连 AD，CD 为直径，DAC=90，AD3AD tanACD tan30 AD 3AC333又PAD=6030 30P=PAD，AD PD 3.（1）证明：连接 OE，在O 中，OA=OE=OB，OBE=OEB，ODBE，AOD=OBE=OEB=EOD又OA=OE，OD=OD，AODEOD，OAD=OEDAM 是O 的切线，切点为 A，BAAM，OAD=OED=90，OEDEOE 是O 的半径，DE 是O 的切线。（2）解：过点 D 作
11、 BC 的垂线，垂足为 H。BN 切O 于点 B，ABC=90=BAD=BHD四边形 ABHD 是矩形，AD=BH=1，AB=DHCH BC BH 41 3AD、CB、CD 分别切O 于点 A、B、E，AD=ED=1，BC=CE=4，DC=DE+CE=1+4=5在 RtDHC 中，DC DHCH，AB DH 5232 4ADEM222OBHCN4.（1）证明：连接 BD，ADAB，DAB=90，BD 为O 的直径，BF 与O 切于点 B，OBF=90，OBA+BAF=90，DAB=90，D+DBA=90 D=ABFD=C，ABC=ABF，C=ABCAB=AC（2）ADAB，AEB+ABE=AB
12、F+F，ABF=ABC，BEF=F，BE=BFAB3AB=3DAB=BAFAF2ABAF329ABF=D，ABFADB AD ADABAD325AE=2，DE AD AE 2AE=EF，EF=4，AF=2，BAF=90，tan F BOEDCAF5.（1）证明：连接 OD、AD，AB 为O 的直径，ADB=90，又AB=AC，BD=DC又OB=OA，ODACODE=CED=90，DEODDE 是O 的切线。（2）解：CED=CDA=90，又C=C，CEDCDACECDCDCA22CD CE CACD BD 2 5，(2 5)CE(CE 1)，CE=4AB=AC=5AB=5AEOBDC6.（1）
13、证明：连接 OC，OA=OC，1=2，AC 平分BAD，1=3，2=3，OCADOCD=ADC，ADDC，ADC=90，OCD=90，CD 是O 的切线（2）解：连接 BC，AB 是O 的直径，ACB=90，又ADC=90，1=3，AC2ACADcos1=cos3，即，AB 把AC 2 6，AD=4 代入得，得 AB=6ADABACDC231AOB7.证明：（1）如图 1，连接 OC，CD 为O 的切线，OCCD，OCD=90，ADCD，ADC=90，OCD+ADC=180，ADOC，1=2，OA=OC，2=3，1=3即 AC 平分DAB（2）如图 2，AB 为O 的直径，ACB=90，又B=
14、60，1=3=30，在 RtACD 中，CD2 3，AC2CD4 3，在 RtABC 中，AC4 3，ABAC4 38，连接 OE，EAO=23=60，OA=OE，cos CABcos30AOE 是等边三角形，AEOA1AB42DE21DE213CCA3OBAOB图1图2ABDB8.解（1）连接 OB、OD，在ABO 和DBO 中，BOBO，ABO DBO，DBO=ABOOAODABO=OAB=BDC，DBO=BDC，OBED，BEDC，BEC=90，EBO=90，OBBE，BE 是O 的切线。（2）AC 是O 的直径，ABC=90，BDE=CAB，ABC=BED=90，BEDCBA，BDDE
15、，BD=BA，AB=12，BC=5，AC1225213ACAB12DE144，DE 131213BECOAD9.（1）证明：过 F 点作 FMDE 于 M，则FME=90，CB=CA，C=90，BAC=45，CAE=135，CAE+BAC=180，点 B、A、E 在一条直线上，连接FG，F 与射线 BA 相切于点 G，FGAE，FGE=90，又AED=90，四边形 FGEM 为矩形，FM=GE，AE=AC=6，AG=4，GE=2，FM=2，ED 是F 的切线。（2）解：FG=2，FG=GE，四边形FGEM 为正方形，连接EF 并延长交 PQ 于点 N，四边形FGEM为正方形，EF 平分AED，
16、ADE 为等腰直角三角形，ENPQPN=NQ，AEN 为等腰直角三角形，连接FP，由勾股定理得EF 2 2，又AE=6，EN 3 2FN 2，在 RtPFN 中，PF=2，由勾股定理得PN 2，PQ 2 2DCNPFGEQBA10.（1）证明：弧 AE 等于弧 CD，ACF=CBG，等边ABC，AB=AC=BC，ABC=ACB=BAC=60，ACFCBG，AF=CG。（2）过 B 作 BKAC，垂足为 K，AC=8，AC=BC=8，AF:BF 3:5，AF=CG=3，AG=BF=5BKACAK=CK=4，GK CK CG 1，在 RtBCK 中，BK BC2CK2 4 3，在 RtBGK 中，
17、BG BK2GK2 7，D=BCG，BGC=AGD，ADGBGC，ADAGAD540，AD BCBG877EFKOBHGCDA11.（1）证明：在O 中，A=D，AEB=DEC，AE=DE，AEBDEC，EB=EC，又BC=CE，BE=CE=BC，EBC 为等边三角形，ACB=60。（2）解：OFAC，AF=CF，EBC 为等边三角形，GEF=60，EGF=30，EG=2，EF=1，又AE=ED=3，CF=AF=4，AC=8，CE=5，BC=5，作 BMAC 于点 M，BCM=60，MBC=30，CM AM AC CM 5 3522，BM BC CM2211，AB 2AM2 BM2 7AEFG
18、ODMBC12.（1）连接 OA、OP、OD，设 OP 与 AD 交于点 H，PA=PD，OA=OD，OP 是线段 AD 的垂直平分线，OPAD，AHP=90，四边形 ABCD 是菱形，DAC=BAC，又OA=OP，OAP=OPA，在 RtAHP 中，DAP+OPA=90，OAB=OAP+BAC=OPA+DAP=90，即 OAAB，点 A 在O 上，直线 AB 与O 相切。（2）连接 BD 交 AC 于点 E，则 ACBD。设O 的半径为 r，设 AC=4a，AE=2a，tanDAC 51，DE=a，AD 5a，AH a，225a，（过程详细些，1:2:5不能直接使用），在RtAHO 中，由勾
19、股定理42在 RtAHP 中，HP 得：AHOH OA，即(22525 5525 52a)(a)()，2444解得：a1 2,a2 0（舍）AC=8DOCEHPAB13.证明：（1）连接 CO，D、E 分别是半径 OA，OB 的中点，又OA=OB，OD=OE，AC 弧等于 BC 弧，AOC=BOC，OC=OC，DOCEOC，CD=CE。（2）延长 BO 交O 于点 G，连接 BC，GF，CBG 与F 为 CG 弧所对的圆周角，CBG=F，CEB=GEF，CEBGEF，CEEB，CE=CD=2，GE=3BE，GEEFCADOFGEB2BE2，BE 2，BE 2，OA OB 2 23BE5214.
20、（1）连接 OD，在O 中，OB=OD，B=ODB，CD=CE，CDE=CED，在BEO 中，OCAB，BOE=90，B+OEB=18090=90，CED=OEB，ODE+CDE=B+OEB=90，ODCD，CD 是O 的切线。（2）连接 AD，在ABD 中，AB 是直径，ADB=90=BOE，13OBDB16916911912cosB，2，BE，DE 12 cosABD BEAB242424BE1315.解：（1）连接 AB，过 A 作 AHOM,垂足为点 H，A 与射线 OM 相切于点 B，ABOM 由翻折知，ON 平分 MOM AH=AB OM为A 的切线（2）作 CGON 于点 G，D
21、FOM 于点 F，AKCD 于点 K，MO M=90，MON=45设 OF=a，则 DF=a，tanOCD=O OH HD DF FMMN NADOECBG GA AK KB BE EC CMM1，CF=7a，OD=2a，7 OC=8a，OG=GC=4 2a，DG=3 2a，tan GDC=GC4=DG3在 RtADK 中，设 DK=3b，则 AK=4b，由勾股定理得，AD=5b，5b=5，b=1 DE=2DK=616.解：（1）连接 OE，O 与直线 AB 相切于点 E，OEBH连接 OB，BE=1，OE=3，tanEBO=3EBO=60ABC=30，ABD=60，OBD=60，OBD=OB
22、H=60作 ONBD 于点 D，则 ON=OE，BD 与O 相切（2）连结 OF，点 F 与点 E 关于 O 点中心对称，点 E、O、F 在一条直线上，GFBC，BGF=CBD=30，EFG=360-120-90-30=120，延长 GF，交O 于另一点 M，则OFM=60连结 OM，则 OM=OF，OFM 为等边三角形，FOM=60，NBE=NBO+FBO=120，EON=60，FOM+FON=EON+FON=180，点 M、O、N 也在一条直线上MN=2 3，GM=2MN=4 3FM=OM=3，GF=GM-FM=3 3A AC CB BN NO OG GF FMME ED D17.解：（1
23、）过 O 作 OFAD，垂足为 F，AB=10，BC=8，AC=6，ABC 是直角三角形 ACD=90，OFD=90，D=D ACD OFD.OC=3，OD=5，OF=3=OC 直线 AD 是O 的切线（2）连接 ME,AB DM，BNC DMC，CN=CM由（1）可知 DM=DF=4，DE=2，DC=8，DM2=DEDC，DEM DMC.EMDM1-CMDC2设 EM=a，则 CM=2a，EC=6，由勾股定理得 CM=12 524 5，MN=5518.解：（1）过点 O 作 OMAB 于点 M，交 CD 于点 N，则AMO=90，AM=1AB，2A AMMB BABCD，AMO+CNO=18
24、0CNO=90，CN=设 OM=x，则 ON=7-x，由勾股定理得：AM2+MO2=AO2，CN2+NO2=CO2，AB=8，CD=6，AM=4，CN=3，16+x2=9+(7-x)2，解得：x=31CD，2C CO ON ND DAO=5，（2）在AOM 与OCN 中，AMON4，AMO=ONC=90，MOCN3A AMMF FB BAOMOCN，AOM=OCN，MAO=NOC，E EO OAOM+CON=90，AOC=90AE 为O 的切线，OAE=90，C CN ND DOAE+COA=180，AECO延长 CO，交 AB 于点 F，则四边形 AECF 为平行四边形，CE=AFAOM+F
25、OM=OFM+FOM=90，AOM=OFMOAM=FAO，AOMAFO，AO2=AMAF，AF=2525，CE=4419.解：（1）连接 OC。ADC 是由ABC 折叠得到。ACD=90.CAD=5.AD=5.AC AE AD CAD=CAD.ACE ADC。ACD=AEC=90 ACE+CAE=90.OA=OC.OAC=OCA OAC=EAC.OCA+ECA=90.CE 为O 的切线（2）过 B 作 BG OC，交 OF 于 G。OA=OB,BG OC.AOE BOG.F FO OG GB BC CD DA AE E2 BG=AE,FBG FOC.5FBBG.FB=2FCOC20.解：（1）
26、连接 AO BD=ABAB 弧=BD 弧弧 BAE-弧 AB=弧 BDE-弧 BD弧 AE=弧 DEABF=DBFAB=BDAFO=90AOE=2ABCDAC=2ABCDAC=AOEAOF+OAF=90 OAF+FAC=90 OAC=90 AC 是O 的切线（2）过点 C 作 AB 的垂线，交 BA 的延长线于点 G，OAC=90，OAB+CAG=90CAG+GCA=90，GCA=BAO，OA=OB，BAO=OBA，GCA=OBACGA=BGC，CGABGC，CGGA2，GC GAGB，设GA x，BGGC2222222在 RtACG 内，CG CA AG，GAGB CA AG，x(3 x)(5)x解得x 1或x BC 2 55222（舍去），CG(5)1，CG=2，CG=2，BG=4，BGC=90，2GABOFDEC