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1、25 题汇编1. 如图， AB 是 O 的直径， BC 是O 的切线，切点为B，AD 为弦， OCAD 。（1）求证： DC 是 O 的切线；（2）若 OA=2 ，求OCAD的值。2. 如图，O 是 ABC 的外接圆， B=60，CD 是O 的直径，P 是 CD 延长线上的一点， 且 AP=AC （1）求证：直线AP 是 O 的切线；（2）若 AC=3 ，求 PD 的长。DCBAOPDCBAO名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 20 页 - - - - - -
2、 - - - 3. 如图，已知 AB 是 O 的直径， AM 和 BN 是O 的两条切线， 点 E 是 O 上一点， 点 D 是 AM 上一点，连接DE 并延长交BN 于点 C，连接 OD、BE，且 ODBE。（1）求证： DE 是 O 的切线；（2）若 AD=1 ，BC=4 ，求直径 AB 的长。4. 如图，ABC 内接于 O，弦 AD AB 交 BC 于点 E，过点 B 作 O 的切线交 DA 的延长线于点F，且 ABF= ABC 。（1）求证： AB=AC ；（2）若 EF=4，23tanF，求 DE 的长。MNEDCBAOFEDCBAO名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - -
3、- - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 20 页 - - - - - - - - - 5. 在 ABC 中， AB=AC ，以 AB 为直径作 O，交 BC 于点 D，过点 D 作 DEAC，垂足为E。（1）求证： DE 是 O 的切线；（2）若 AE=1 ，52BD，求 AB 的长。6. 如图， AB 是 O 的直径， C 是 O 上一点， AD 垂直于过点C 的直线，垂足为D，且 AC 平分BAD 。（1）求证： CD 是 O 的切线；（2）若62AC，AD=4 ，求 AB 的长。EDCBAODCBAO名师资
4、料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 20 页 - - - - - - - - - 7. 如图， AB 为 O 的直径， C 为 O 上一点， AD 和过 C 点的切线互相垂直，垂足为点D，AD 交O 于点 E。求证： （ 1）AC 平分 DAB ；（2）若 B=60，32CD，求 AE 的长。8. 如图， O 是 ABC 的外接圆， AC 是 O 的直径，弦BD=BA ，AB=12 ，BC=5 ，BEDC 交 DC的延长线于点E。（1）求证： BE 是 O 的切线；
5、（2）求 DE 的长。EDCBAOOEDCBA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 20 页 - - - - - - - - - 9. 如图，在 RtABC 中， C=90，CB=CA=6 ，半径为 2 的 F与射线 BA 相切于点 G，且 AG=4 ，将 RtABC 绕点 A 顺时针旋转135后得到 RtADE ，点 B、C 的对应点分别是点D、E。（1）求证： DE 为 F 的切线；（2）求出 RtADE 的斜边 AD 被 F 截得的弦 PQ 的长度。10.
6、 O 是等边三角形ABC 的外接圆，点E 在 AB 弧上，点 D 在 AC 弧上，且 AE 弧等于 CD 弧，连接 CE 交 AB 于点 F，连接 BD 交 CE 于点 H，交 AC 于点 G，连接 AD 。（1）求证： AF=CG ；（2）若5:3: BFAF，AC=8 ，求 AD 的长。PQGFEDCBAHGOFEDCBA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 20 页 - - - - - - - - - 11. 如图， O 是 ABC 的外接圆，弦BD 交
7、AC 于点 E，连接 CD，且 AE=DE ，BC=CE。（1）求 ACB 的度数；（2）过点 O 作 OFAC 于点 F，延长 FO 交 BE 于点 G，DE=3 ，EG=2，求 AB 的长。12. 如图，在菱形ABCD 中，P 是对角线 AC 上的一点，且PA=PD， O 为 APD 的外接圆。（1）求证： AB 为 O 的切线；（2）若 O 的半径为455，21tanDAC，求 AC 的长。GFEDCBAOPDCBAO名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共
8、20 页 - - - - - - - - - 13. 如图， AC 弧等于 BC 弧， D、E 分别是半径OA，OB 的中点， CE 的延长线交O 于点 F。（1）求证： CD=CE ；（2）若 CD=2 ，CF=5，求半径 OA 的长。14. 如图， AB 是 O 的直径，点C 在 O 外，连接 OC，OCAB ，弦 BD 交 OC 于点 E，CD=CE 。（1）求证： CD 是 O 的切线；（2）若 AB=13 ，BD=12 ，求 DE 的长。FEDCBAOEDCBAO名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心
9、整理 - - - - - - - 第 7 页，共 20 页 - - - - - - - - - 15. 如图，点 A 在射线 ON 上，半径为5 的 A 与射线 OM 相切于点 B，交射线ON 于点 D （OAOD） ，将射线 OM 沿着射线 ON 翻折，得射线MO。（1）求证：MO为 A 的切线；（2）点 C 在射线 OM 上，连 CD，交 A 于点 E，若90MMO，71tanOCD，求弦 DE的长。16. 如图， ABC=30 ，半径为3的 O 与直线 AB 相切于点E，BE=1，将 ABC 沿着直线BC翻折，得到 DBC 。（1）求证： O 与 BD 相切；（2）点 F 与点 E 关于
10、 O 点对称，过点F 作 GFBC ，交射线 BD 于点 G，求线段GF 的长。GFEDCBAO名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 20 页 - - - - - - - - - 17. 如图，在 ABC 中， AB=10 ，BC=8 ，AC=6 ，将 ABC 沿 AC 翻折，点B 与 D 重合， O 是 CD上一点， OC=3，以 O 为圆心， OC 为半径作 O，交 CD 于另一点 E。（1）求证：直线AD 是 O 的切线；（2）过点 D 作 O 的另一条切
11、线，切点为点M，连接 MC 并延长，交AB 边于点 N，求线段 MN 的长。18. 如图，在 O 中，弦 AB 弦 CD，且 AB、CD 位于圆心O 的两侧， AB=8 ，CD=6 ，AB、CD 之间的距离为7，连接 OA 、OC。（1）求 O 的半径；（2）过点 A 作 O 的切线，交DC 的延长线于点E，求线段 CE 的长。EDCBAODCBAO名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 20 页 - - - - - - - - - 19. 如图， AB 为 O
12、的直径， AC 、BC 为 O 的弦，5AC，55sinABC，将 ABC 沿AC 折叠，得到 ADC ，点 E 在 AD 边上， AE=1 ，连接 CE。（1）求证： CE 是 O 的切线；（2）作射线EO，交射线CB 于点 F，求 BF 的长。20.如图，以 ABC 的 BC 边上一点 O 为圆心的圆经过A,B 两点，点 D 在 O 上，BD=BA, DAC=2ABC,O 交 BC 于点 E,AD 交 BC 于点 F。（1）求证： AC 为 O 的切线。（2）若 AB=3,AC=5,求 BC 长。EDCBAOEFCDBAO名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - -
13、 - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 20 页 - - - - - - - - - 答案：1.解： （1）连接OD AB 是 O 的直径OA=OB=OD BC是 O 的切线， OBC=90 OCAD ， A= COB ，ODA= COD， OA=OD ， A= ODA COD=COB OC=OC， COD COB， ODC=OBC=90 DC 是O 的切线。（2）连接 BD ， AB 是 O 的直径， ADB= OBC=90 ， BOC= A， BAD COB OBADCOBAOBBACOADOA=2 ， BA=2OA=4 ，
14、OB=2 8OBBACOAD2. （1） 连接 AO， 则 AOC=2 B=120602 OA=OC OAC= OCA=302120180又 PA=AC ， P=ACP=30又 AOP=60120180906030180PAOOA AP AP 是 O 的切线。（2） 连 AD ， CD 为直径， DAC=90 ， 33330tantanADACDACAD3AD又 PAD=303060 P=PAD， 3PDAD3. （1）证明：连接OE，在 O 中，OA=OE=OB ， OBE=OEB ， ODBE， AOD= OBE= OEB=EOD 又OA=OE ，OD=OD ， AOD EOD， OAD=
15、 OED AM 是 O 的切线，切点为A， BAAM ， OAD= OED=90 ， OEDE OE 是O 的半径， DE 是 O 的切线。（2）解：过点D 作 BC 的垂线，垂足为H。 BN 切 O 于点 B， ABC=90 =BAD= BHD 四边形 ABHD 是矩形， AD=BH=1 ， AB=DH 314BHBCCHAD 、CB、CD 分别切 O 于点 A、B、E，AD=ED=1 ，BC=CE=4 ， DC=DE+CE=1+4=5 在 RtDHC 中，222CHDHDC，43522DHABDCBAOHMNEDCBAO名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - -
16、- - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 20 页 - - - - - - - - - 4. （1）证明：连接BD，AD AB ， DAB=90 ， BD 为 O 的直径， BF 与 O 切于点 B， OBF=90 ， OBA+ BAF=90 ， DAB=90 ， D+DBA=90 D=ABF D=C， ABC= ABF， C=ABC AB=AC （2） AD AB ， AEB+ ABE= ABF+ F， ABF= ABC ， BEF= F， BE=BF AE=EF ， EF=4， AF=2 ， BAF=90 ，23tanAFABF
17、AB=3 DAB= BAF ABF= D， ABF ADB ABAFADAB323AD29ADAE=2，25AEADDE5. （1）证明：连接OD、AD ， AB 为 O 的直径， ADB=90 ，又 AB=AC ， BD=DC 又 OB=OA ， ODAC ODE= CED=90 ， DEOD DE 是 O 的切线。（2）解： CED= CDA=90 ，又 C=C， CEDCDA CACDCDCECACECD252BDCD，) 1()52(2CECE， CE=4 AB=AC=5 AB=5 FEDCBAOEDCBAO名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - -
18、- - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 20 页 - - - - - - - - - 6. （1）证明：连接OC， OA=OC ， 1=2， AC 平分 BAD ， 1=3， 2=3，OCAD OCD= ADC ， AD DC， ADC=90 ， OCD=90 ，CD 是 O 的切线（2）解：连接BC， AB 是O 的直径， ACB=90 ，又 ADC=90 ， 1=3，cos1=cos3，即ACADABAC，ADACAB2把62AC，AD=4 代入得，得AB=6 7. 证明：（1）如图 1，连接 OC，CD 为 O 的切线， OCCD，
19、 OCD=90 ， AD CD， ADC=90 ， OCD+ ADC=180 ， AD OC， 1=2， OA=OC ， 2=3， 1=3 即 AC 平分 DAB （2）如图 2， AB 为 O 的直径， ACB=90 ，又 B=60， 1=3=30，在 RtACD 中，32CD，342CDAC，在 RtABC 中，34AC，830cos34cosCABACAB，连接 OE， EAO=2 3=60， OA=OE ， AOE 是等边三角形，421ABOAAE321DCBAO321EDCBAO321EDCBAO图1图2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - -
20、 - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 20 页 - - - - - - - - - 8. 解（ 1）连接 OB、OD，在 ABO 和DBO 中，ODOABOBODBAB， ABO DBO， DBO= ABO ABO= OAB= BDC ， DBO= BDC ， OBED， BEDC， BEC=90， EBO=90 ， OBBE，BE 是 O 的切线。（2） AC 是 O 的直径， ABC=90 ， BDE= CAB ， ABC= BED=90 ， BED CBA ，ABDEACBD，BD=BA ，AB=12 ，BC=5 ，1351222A
21、C121312DE，13144DE9. （1）证明：过F 点作 FM DE 于 M，则 FME=90 ，CB=CA ， C=90， BAC=45 ， CAE=135 ， CAE+ BAC=180 ，点 B、A、E 在一条直线上，连接FG， F 与射线 BA 相切于点G，FGAE， FGE=90，又 AED=90 ，四边形 FGEM 为矩形， FM=GE ，AE=AC=6 ，AG=4，GE=2， FM=2 ，ED 是 F 的切线。（2） 解：FG=2，FG=GE， 四边形FGEM 为正方形， 连接 EF 并延长交PQ 于点 N， 四边形FGEM为正方形， EF 平分 AED ， ADE 为等腰直
22、角三角形，ENPQ PN=NQ ，AEN 为等腰直角三角形，连接FP，由勾股定理得22EF， 又 AE=6 ， 23EN2FN，在 RtPFN 中， PF=2，由勾股定理得2PN，22PQOEDCBANPQGFEDCBA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 20 页 - - - - - - - - - 10. （1）证明：弧AE 等于弧 CD， ACF= CBG，等边 ABC ， AB=AC=BC ，ABC= ACB= BAC=60 ， ACF CBG， AF
23、=CG 。（2）过 B 作 BK AC ，垂足为 K， AC=8 ， AC=BC=8 ，5:3: BFAF， AF=CG=3 ，AG=BF=5 BKAC AK=CK=4 ，1CGCKGK，在 RtBCK 中，3422CKBCBK，在 RtBGK 中，722GKBKBG， D=BCG，BGC=AGD ， ADG BGC，BGAGBCAD，758AD，740AD11. （1）证明：在 O 中， A=D， AEB= DEC，AE=DE ， AEB DEC， EB=EC ，又 BC=CE ， BE=CE=BC ， EBC 为等边三角形，ACB=60 。（2）解： OFAC ， AF=CF ， EBC
24、为等边三角形，GEF=60， EGF=30，EG=2， EF=1，又 AE=ED=3 ， CF=AF=4 ，AC=8 ，CE=5， BC=5 ，作 BM AC 于点 M， BCM=60 ， MBC=30 ，25CM，23522CMBCBM211CMACAM，722BMAMABKHGOFEDCBAMGFEDCBAO名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 20 页 - - - - - - - - - 12.（1）连接 OA 、OP、OD，设 OP 与 AD 交于点
25、H， PA=PD，OA=OD ， OP 是线段 AD 的垂直平分线， OPAD ， AHP=90 ，四边形ABCD 是菱形， DAC= BAC ，又 OA=OP， OAP= OPA，在 RtAHP 中 ， DAP+ OPA=90， OAB= OAP+ BAC= OPA+DAP=90 ，即 OA AB，点 A 在 O 上，直线AB 与 O相切。（2）连接 BD 交 AC 于点 E，则 AC BD。设 O 的半径为 r ，设 AC=4a ， AE=2a ，21tanDAC， DE= a ，5ADa ，25AHa ，在 RtAHP 中，45HPa ， （过程详细些，5:2:1不能直接使用） ，在 R
26、tAHO 中，由勾股定理得：222OAOHAH，即222)455()45455()25(aa，解得：0,221aa（舍）AC=8 13. 证明： （ 1）连接 CO， D、E 分别是半径OA，OB 的中点，又 OA=OB ， OD=OE，AC 弧等于 BC 弧， AOC= BOC， OC=OC， DOC EOC， CD=CE 。（2）延长 BO 交 O 于点 G，连接 BC，GF， CBG 与 F 为 CG 弧所对的圆周角， CBG= F， CEB=GEF， CEBGEF，EFEBGECE， CE=CD=2 ，GE=3BE ，2532BEBE，22BE，2BE，22OBOAHPEDCBAOGF
27、EDCBAO名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 20 页 - - - - - - - - - MM NFKECGDHBOADACNMGFOEB14.（1）连接 OD，在 O 中，OB=OD ， B=ODB，CD=CE ， CDE=CED，在 BEO 中，OCAB ， BOE=90， B+OEB=180 90=90， CED=OEB， ODE+ CDE=B+OEB=90， ODCD，CD 是O 的切线。（2）连接 AD ，在 ABD 中， AB 是直径， AD
28、B=90 =BOE，ABDBABDBEOBBcoscos，1312213BE，24169BE，241192416912DE15. .解： （1）连接 AB，过 A 作 AHOM , 垂足为点 H， A 与射线 OM 相切于点 B，AB OM 由翻折知， ON 平分 MOM AH=AB OM 为 A 的切线（2）作 CGON 于点 G，DFOM 于点 F，AKCD 于点 K， MO M = 90 ， MON=45设 OF=a，则 DF= a，tanOCD=17，CF=7a，OD=2a，OC=8a， OG=GC=4 2a， DG=3 2a，tanGDC=GCDG=43在 RtADK 中，设 DK=
29、3b ，则 AK=4b ，由勾股定理得，AD=5b ，5b =5，b=1 DE=2DK=6 16.解： （1）连接 OE， O 与直线 AB 相切于点 E，OEBH 连接 OB，BE=1，OE=3， tanEBO=3 EBO=60 ABC=30 ， ABD=60 ，EDCBAO名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 20 页 - - - - - - - - - NABMDOC OBD=60 ， OBD= OBH=60 作 ONBD 于点 D，则 ON=OE ，B
30、D 与 O 相切（2）连结 OF，点 F 与点 E 关于 O 点中心对称，点E、O、F 在一条直线上，GFBC， BGF= CBD=30 ， EFG=360 -120 -90 -30 =120 ，延长 GF，交 O 于另一点 M，则 OFM=60 连结 OM，则 OM=OF ， OFM 为等边三角形，FOM=60 ， NBE= NBO+ FBO=120 ， EON=60 ， FOM+ FON=EON+FON =180 ，点 M、O、N 也在一条直线上MN=2 3， GM=2MN=4 3FM=OM=3， GF=GM-FM=3 317. 解： （1）过 O 作 OFAD ，垂足为 F，AB=10
31、，BC=8 ，AC=6 ， ABC 是直角三角形 ACD=90 o， OFD=90 ，D=D ACD OFD. OC=3， OD=5， OF=3=OC 直线 AD 是 O 的切线（2）连接 ME, AB DM ， BNC DMC ，CN=CM 由（ 1）可知 DM=DF=4 ，DE=2 ，DC=8，DM2=DEDC， DEM DMC. 21DCDMCMEM- 设 EM=a，则 CM=2a ，EC=6，由勾股定理得CM=5512， MN=552418.解： （1）过点 O 作 OM AB 于点 M，交 CD 于点 N，则 AMO=90 ，AM=21AB，AB CD， AMO+ CNO=180 C
32、NO=90 ， CN=21CD，设 OM=x ，则 ON=7-x ，由勾股定理得：AM2+MO2=AO2，CN2+NO2=CO2，AB=8 ，CD=6 ， AM=4 ，CN=3 ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 20 页 - - - - - - - - - FNEABMDOCGFEODBAC16+ x2=9+(7-x)2，解得： x=3 AO=5 ，（2）在 AOM 与 OCN 中，34CNONMOAM，AMO= ONC=90 ， AOM OCN， AO
33、M= OCN， MAO= NOC， AOM+ CON=90 ， AOC=90 AE 为 O 的切线， OAE=90 ， OAE+ COA=180 ， AECO 延长 CO，交 AB 于点 F，则四边形AECF 为平行四边形，CE=AF AOM+ FOM= OFM+ FOM=90 ， AOM= OFM OAM= FAO， AOM AFO ，AO2=AM AF，AF=425，CE=42519.解： （1）连接 OC。 ADC 是由ABC 折叠得到。 ACD=90. CAD=CAB.AC=5. AD=5. 2ACAE AD CAD= CAD. ACE ADC 。 ACD= AEC=90 ACE+ C
34、AE=90. OA=OC. OAC= OCA OAC= EAC. OCA+ ECA=90. CE 为 O 的切线（2）过 B 作 BGOC，交 OF 于 G。OA=OB, BG OC. AOE BOG. BG=AE, FBG FOC. FBBGFCOC.FB=5220.解： （1）连接 AO BD=AB AB弧=BD弧弧 BAE-弧 AB=弧 BDE-弧 BD 弧 AE= 弧 DE ABF= DBF AB=BD AFO=90 AOE=2 ABC DAC=2 ABC DAC= AOE AOF+ OAF=90 OAF+ FAC=90 OAC=90 AC是 O的切线（2）过点 C作 AB的垂线，交B
35、A的延长线于点G， OAC=90 ， OAB+ CAG=90 CAG+ GCA=90 ， GCA= BAO ，OA=OB ， BAO= OBA ， GCA= OBA CGA= BGC， CGA BGC，GCGABGCG，GBGAGC2，设xGA，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 20 页 - - - - - - - - - 在 RtACG 内，222AGCACG，22AGCAGBGA，22)5()3(xxx解得1x或25x（舍去），2221)5(CG，CG=2，CG=2，BG=4， BGC=90 ，52BCEFCDBAOG名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 20 页 - - - - - - - - -