中考冲刺圆的综合题.pdf

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1、 2018 年中考冲刺-圆的综合题 第 2 页 教学内容 知识精要 一、圆 1、圆的有关概念与性质 圆的概念：圆是到定点的距离等于定长的点的集合。圆的内部：圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合。圆的外部：圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。直径与弧：连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧。优弧劣弧：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫半圆，大于半圆的弧叫优弧；小于半圆的弧叫劣弧。由弦及其所对的弧组成的图形叫弓形。同心圆与等圆等弧：圆心相同，半径不相等的两个圆叫同心圆，能够重合的两个圆叫等圆，同圆或等圆的半径

2、相等，在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。第 3 页 二、过三点的圆 过三点的圆的作法：利用中垂线找圆心 定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆。经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆，外接圆的圆心叫外心，这个三角形叫圆的内接三角形。三、垂直于弦的直径 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推理 1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对两条弧。弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。推理 2：圆两条平行弦所夹的弧相等。四、圆心角、弧、弦

3、、弦心距之间的关系 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。实际上，圆绕圆心旋转任意一个角度，都能 第 4 页 够与原来的图形重合。顶点是圆心的角叫圆心角，从圆心到弦的距离叫弦心距。定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等。推理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。五、圆周角 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角。推理 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。推理 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。推理 3：

4、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。由于以上的定理、推理，所添加辅助线往往是添加能构成直径上的圆周角的辅助线。六、圆的内接四边形 第 5 页 多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫圆内接多边形，这个圆叫这个多边形的外接圆 定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。七、直线和圆的位置关系 1、直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫圆的割线。直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点。直线和圆没有公共点时，叫直线和圆相离。2、若圆的半径为 r，圆心到直线的距离为 d，则：直线和圆相交dr

5、；直线和圆相切dr；直线和圆相离dr。八、切线的判定和性质 切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径 第 6 页 推理 1：经过圆心且垂直干切线的直线必经过切点。推理 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。九、三角形的内切圆 和三角形的三边都相切的圆是三角形的内切圆，其圆心叫内心，三角形叫圆的外切三角形。和多边形各边都相切的圆叫多边形的内切圆，多边形叫圆的外切多边形。十、切线长定理 经过圆外一点可作圆的两条切线。在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫这点到圆的切线长。切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的

6、切线长相等。圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。十一、弦切角 顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角。弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的 第 7 页 圆周角。推理：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。十二、和圆有关的比例线段 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。推理：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。推理：从圆外一点引两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。十三、圆和圆的位置关系 若连心线长

7、为 d，两圆的半径分别为 R，r，则：1、两圆外离d Rr；2、两圆外切d=Rr；3、两圆相交RrdRr（Rr）4、两圆内切d=Rr；（Rr）5、两圆内含dRr。（Rr）第 8 页 定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。十四、两圆的公切线 和两个圆都相切的直线叫两圆的公切线，两圆在公切线同旁时，叫外公切线，在公切线两旁时，叫内公切线，公切线上两个切点的距离叫公切线的长。十五、正多边形和圆 各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形。定理：把圆分成 n（n3）等分：（l）依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形；（2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正

8、 n 边形。定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。正多边形的外接（或内切）圆的圆心叫正多边形的中心。外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距。正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相 第 9 页 等，叫正多边形的中心角。正 n 边形的每个中心角等于n360 正多边形都是轴对称图形，一个正 n 边形共有 n 条对称轴，每条对称轴都通过正 n 边形的中心。若n为偶数，则正n边形又是中心对称图形，它的中心就是对称中心。边数相同的正多边形相似，所以周长的比等于边长的比，面积的比等于边长平方的比。热身练习：1.如图，以 RtABC 的直角边 AB为直径的半圆 O

9、，与斜边 AC 交于D，E 是 BC 边上的中点，连结 DE.(1)DE 与半圆 O 相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由；(2)若 AD、AB 的长是方程 x210 x+24=0 的两个根，求直角边 BC 的长.解：（1）DE 与半圆 O 相切.证明：连结 OD、BD AB 是半圆 O 的直径 BDA=BDC=90 在 RtBDC 中,E 是第 1 题 第 10 页 BC 边上的中点 DE=BEEBDBDE OB=ODOBD=ODB 又ABCOBD+EBD90 ODB+EBD=90DE 与半圆 O 相切.（2）解：在 RtABC 中，BDAC RtABDRtABC ABAC=AD

10、AB 即 AB2=ADAC AC=AB2AD AD、AB 的长是方程 x210 x+24=0 的两个根 解方程 x210 x+24=0 得：x1=4 x2=6 ADAB AD=4 AB=6 AC=9 在 RtABC 中，AB=6 AC=9 BC=AC2-AB2=81-36=3 5 精解名题 1、如图，有一个圆 O 和两个正六 第 11 页 边形1T，2T.1T的 6 个顶点都在圆周上，2T的 6 条边都和圆 O 相切（我们称1T，2T分别为圆 O 的内接正六边形和外切正六边形）.（1）设1T，2T的边长分别为a，b，圆 O 的半径为r，求ar:及br:的值；（2）求正六边形1T，2T的面积比2

11、1:SS的值.答案：（1）连接圆心O和T1的 6 个顶点可得 6个全等的正三角形.所以ra=11;连接圆心O和T2相邻的两个顶点，得以圆 O半径为高的正三角形，所以rb=32;（2）T1T2的 连 长 比 是32，所 以S1S2=4:3):(2ba 2.如图，线段AB与O相切于点C，连结OA，OB，OB交O于点D，已知6OAOB，6 3AB （1）求O的半径；（2）求图中阴影部分的面积 答案：（1）连结OC，AB与O相切于点C 第 2题图 C O A B D 第 12 页 OCAB OAOB，116 33 322ACBCAB 在RtAOC中，22226(3 3)3OCOAAC O的半径为 3

12、（2）在RtAOC中 OC=12OB,B=30o,COD=60o 扇形OCD的面积为 OCDS扇形=260 3360=32 阴影部分的面积为 Rt=OBCOCDSSS阴影扇形=12OC CB32=9 3232 3.如图，四边形 ABCD 内接于O，BD 是O 的直径，AECD 于点 E，DA 平分BDE。（1）求证：AE 是O 的切线。（2）若DBC=30，DE=1 cm，求 BD 的长。答案：DOBCAE第 3 题 第 13 页（1）证明：连结 OA AD 平分BDE ADEADO OA=OD OADADO ADEOAD OACE AECD AEOA AE 是O 的切线 （2）BD 是O 的

13、直径 BCD90 DBC=30 BDE120 AD 平分BDE ADEADO=60 OA=OD OAD 是等边三角形 AD=OD=21BD 在 RtAED 中，DE=1，ADE=60 AD=60cosDE=2 第 14 页 BD=4 方法提炼 巩固练习 1.如 图 4,平 行 四 边 形ABCD 中,以 A 为圆心,AB为半径的圆分别交 AD、BC 于 F、G,延长 BA 交圆于E.求证:EF=FG.证明:连结 AG.A 为圆心,AB=AG.ABG=AGB.四边形 ABCD 为平行四边形.ADBC.AGB=DAG,EAD=ABG.DAG=EAD.EFFG.2.如图,以ACF 的边AC 为弦的圆

14、交 AF、CF 于点 B、E,连 结BC,且 满 足AC2=CECF.求证:ABC为等腰三角形.第 1 题 GFEDCBA第 2 题 FECBA 第 15 页 证明:连结 AE.AC2=CECF,ACCFCEAC 又ACE=FCA.ACEFCA.AEC=FAC.ACBC.AC=BC,ABC 为等腰三角形.3.已知：如图，直径为OA的M与x轴交于点 O、A，点BC、把弧 OA 分为三等分，连结MC并延长交y轴于 D（0，3）.（1）求证：OMDBAO；（2）若直线l：ykxb把M的 面积分为二等分，求证：30kb 答案：证明：（1）连接BM，OA 是直径，且BC、把弧 OA 三等分，1560 ，又OMBM，125302 ，又OA为M直径，90ABO，12ABOAOM，360，13 ，90DOMABO，在OMD和BAO中，13.OMABDOMABO ，OMDBAO（ASA）第 16 页（2）若直线l把M的面积分为二等份，则直线l必过圆心M，(0 3)D，160，在 RtOMD中，33tan603ODOM，(30)M，把(30)M，代入ykxb得：30kb y x C B A M O 4 2 1 3 0 3D，5