东北大学数值分析插值与逼近.ppt

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1、插值方法(fngf),这里主要讨论函数类P是代数多项式,即所谓的多项式插值.ox0yxy=(x)多项式插值,从几何上看就是要求(yoqi)过n+1个点(xk,yk)(k=0,1,n)的n次代数曲线y=pn(x)作为(x)的近似.用Pn表示所有次数不超过n的多项式函数类,若pn(x)Pn,则pn(x)=a0+a1x+anxn是由n+1个系数唯一确定(qudng)的.若pn(x)满足插值条件(6.2),则有x1xny=pn(x)第1页/共66页第一页，共67页。其系数(xsh)行列式为 定理(dngl)6.1 给定n+1个互异节点x0,x1,xn上的函数值y0,y1,yn,则满足插值条件(6.2)

2、的n次插值多项式pn(x)是存在且唯一的.2 Lagrange插值多项式 对n+1个节点x0,x1,xn,构造(guzo)n+1个n次多项式l0(x),l1(x),ln(x),使满足 li(xj)=ij,i,j=0,1,n (6.3)第2页/共66页第二页，共67页。就是(jish)函数(x)满足插值条件(6.2)的n次插值多项式.那么(n me)Ln(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+ln(x)yn 称lk(x)(k=0,1,n)是关于(guny)节点xk(k=0,1,n)的n次Lagrange插值基函数,(6.4)式确定的n次多项式Ln(x)称为n次Lagrange插值多项式.由于lk

3、(x)满足:lk(xj)=0,(j=0,1,k-1,k+1,n),所以可设 lk(x)=c(x-x0)(x-x1)(x-xk-1)(x-xk+1)(x-xn)再由lk(xk)=1确定c,从而有第3页/共66页第三页，共67页。若记n+1(x)=(x-x0)(x-x1)(x-xn),则lk(x)可写成 若取(x)=xk(k=0,1,n),由插值多项式的唯一性有特别(tbi)当k=0时,有例1 求(x)关于(guny)节点x0,x1的线性Lagrange插值多项式 解 对节点(ji din)x0,x1,Lagrange插值基函数为于是有第4页/共66页第四页，共67页。易见,L1(x)就是(jis

4、h)过点(x0,(x0)和点(x1,(x1)的直线.例2 求(x)关于(guny)节点x0,x1,x2的二次Lagrange插值多项式.解 对节点(ji din)x0,x1,x2的Lagrange插值基函数为于是有L2(x)是过点(x0,(x0),(x1,(x1)和(x2,(x2)的抛物线.第5页/共66页第五页，共67页。为了研究插值多项式的近似(jn s)程度,记 Rn(x)=(x)-Ln(x)称为n次Lagrange插值余项.Lagrange插值多项式简单而优雅(yu y),只要取定节点就可写出基函数,进而得到插值多项式.易于计算机上实现.设(n)(x)在a,b连续,(n+1)(x)在(

5、a,b)内存在,在节点(ji din)ax0 x1n时恒等于(dngy)0.其中(qzhng)在k+1个节点之间.给出节点x0,x1,xn和函数(hnsh)值(x0),(x1),(xn),可按如下的差商表顺序逐次计算各阶差商值.(4)若(x)具有k阶连续导数,则xi(xi)一阶差商二阶差商三阶差商n阶差商x0 x1x2x3xn(x0)(x1)(x2)(x3)(xn)x0,x1x1,x2x2,x3xn-1,xnx0,x1,x2x1,x2,x3xn-2,xn-1,xnx0,x1,x2,x3xn-3,xn-2,xn-1,xnx0,x1,xn第13页/共66页第十三页，共67页。例4 给出函数(hns

6、h)y=(x)的函数(hnsh)表 解 差商表如下(rxi)i0123xi-2-112(xi)531721写出函数(hnsh)y=(x)的差商表.ixi(xi)一阶差商二阶差商三阶差商0123-2-112531721-2743-1-1第14页/共66页第十四页，共67页。(x)=(x0)+(x-x0)x0,x 由差商的定义(dngy)可得 所以(suy)有3.2 Newton插值多项式及其余项 x0,x=x0,x1+(x-x1)x0,x1,x x0,x1,x=x0,x1,x2+(x-x2)x0,x1,x2,x x0,x1,xn-1,x=x0,x1,xn +(x-xn)x0,x1,xn,x (x

7、)=(x0)+(x-x0)x0,x1 +(x-x0)(x-x1)x0,x1,x2+(x-x0)(x-x1)(x-xn-1)x0,x1,xn +(x-x0)(x-x1)(x-xn)x0,x1,xn,x第15页/共66页第十五页，共67页。则有而且(r qi)Nn(x)是n次多项式,且满足Nn(xi)=(xi)(i=0,1,n),Rn(x)=(x-x0)(x-x1)(x-xn)x0,x1,xn,x记 称Nn(x)为n次Newton插值多项式,称Rn(x)为n次Newton插值余项.Nn(x)=(x0)+(x-x0)x0,x1 +(x-x0)(x-x1)x0,x1,x2+(x-x0)(x-x1)(x

8、-xn-1)x0,x1,xn (6.8)(x)=Nn(x)+Rn(x)由插值多项式的唯一性有第16页/共66页第十六页，共67页。Nk+1(x)=Nk(x)+k+1(x)x0,x1,xk+1 k=1,2,n-1 由(6.8)式易见 解 由例4的差商表知x0,x1=-2,x0,x1,x2=3,x0,x1,x2,x3=-1,于是(ysh)有 N1(x)=5-2(x+2)=1-2x N2(x)=1-2x+3(x+2)(x+1)=3x2+7x+7 N3(x)=3x2+7x+7-(x+2)(x+1)(x-1)=-x3+x2+8x+9例5 对例4中的(x),求节点(ji din)为x0,x1的一次插值x0

9、,x1,x2的二次插值和x0,x1,x2,x3的三次插值多项式.第17页/共66页第十七页，共67页。对(x)=(1+25x2)-1,在区间-1,1上取等距节点(ji din)xi=-1+ih,i=0,1,10,h=0.2,作(x)关于节点(ji din)xi(i=0,1,10)的10次插值多项式L10(x),如图所示 看下面(xi mian)的例子4 分段(fn dun)插值多项式xyo1-10.511.5y=L10(x)这个现象被称为Runge现象.表明高次插值的不稳定性.实际上,很少采用高于7次的插值多项式.4.1 分段Lagrange插值 取节点ax0 x1xnb,hi=xi-xi-1

10、(i=1,2,n),插值条件yk=(xk),k=0,1,n.第18页/共66页第十八页，共67页。1.分段(fn dun)线性插值 设S1(x)是满足插值条件(tiojin)的分段一次多项式,则有S1(x)是平面(pngmin)上以点(xi,yi)(i=0,1,n)为节点的折线.若(x)C2a,b,则当xxi-1,xi时,有若记 ,对任一xa,b都有可见,当h0时,分段线性插值S1(x)收敛于(x).第19页/共66页第十九页，共67页。2.分段(fn dun)二次插值 在每个小区间(q jin)xi-1，xi内,取半节点若记 补充(bchng)插值条件 (i=1,2,n),设(x)满足插值条

11、件的分段二次插值多项式为S2(x),则有若(x)C3a,b,则当xxi-1,xi时,有 则有第20页/共66页第二十页，共67页。可见,S2(x)是收敛(shulin)的,而且S2(x)在a,b是连续的,但不可导.此时,在小区间xi-1,xi上有四个插值条件,故能构造一个(y)三次多项式 只要(zhyo)令4.2 分段Hermite插值 设在节点ax0 x1xnb,hi=xi-xi-1(i=1,2,n)上给出插值条件yk=(xk),yk=(xk),k=0,1,n.其中,i-1(x),i(x),i-1(x),i(x)都是三次多项式,而且满足第21页/共66页第二十一页，共67页。则,H3(i)(

12、x)就是(jish)满足条件的三次(sn c)多项式.下面(xi mian)来求基函数.i-1(xi-1)=1,i-1(xi)=0,i-1(xi-1)=0,i-1(xi)=0 i(xi-1)=0,i(xi)=1,i(xi-1)=0,i(xi)=0 i-1(xi-1)=0,i-1(xi)=0,i-1(xi-1)=1,i-1(xi)=0 i(xi-1)=0,i(xi)=0,i(xi-1)=0,i(xi)=1 H3(i)(xi-1)=yi-1,H3(i)(xi)=yi,H3(i)(xi-1)=yi-1,H3(i)(xi)=yi i-1(x),i(x),i-1(x),i(x)称为三次Hermite插值

13、基函数.第22页/共66页第二十二页，共67页。因为(yn wi)i-1(xi)=0,i-1(xi)=0,所以可将i-1(x)写成 i-1(x)=(ax+b)(x-xi)2解得 a=2hi-3,b=(xi-3xi-1)hi-3由对称性可得将i-1(xi-1)=1,i-1(xi-1)=0带入可得 (axi-1+b)hi2=1,ahi2-2hi(axi-1+b)=0故得因为(yn wi)i-1(xi-1)=0,i-1(xi)=0,i-1(xi)=0，所以有第23页/共66页第二十三页，共67页。因此(ync)故有 i-1(x)=C(x-xi-1)(x-xi)2将i-1(xi-1)=1带入得 Chi

14、2=1,即 C=hi-2由对称性可得第24页/共66页第二十四页，共67页。满足插值条件H3(xi)=yi,H3(xi)=yi(i=0,1,n)的分段(fn dun)三次多项式H3(x)为 H3(x)=H3(i)(x),xxi-1,xi,i=1,2,n 若(x)C4a,b,则当xxi-1,xi时,有而且(r qi),若(x)C4a,b,记 则有 可见(kjin),H3(x)是收敛的.而且由于H3(xi+0)=H3(xi-0)=yi,知H3(x)在a,b具有一阶连续导数.第25页/共66页第二十五页，共67页。例6 设(x)C40，2，且(0)=1,(1)=0，(2)=3,(1)=0,试求(x)

15、的三次(sn c)插值多项式H3(x),并给出余项.解 法1(基函数(hnsh)法):设 H3(x)=0(x)y0+1(x)y1+2(x)y2+1(x)y1 =0(x)+32(x)所以(suy)则0(x)=c(x-1)2(x-2)=-1/2(x-1)2(x-2)=1/2x(x-1)2 2(x)=cx(x-1)2 H3(x)=-1/2(x-1)2(x-2)+3/2x(x-1)2 =1/2(x-1)2(2-x)+3x =(x-1)2(x+1)法2(待定系数法):设第26页/共66页第二十六页，共67页。由H3(0)=1得:b=1,所以(suy)解得:a=1,b=1.由H3(2)=3得:2a+b=3

16、 H3(x)=(x-1)2(x+1)H3(x)=(x-1)2(ax+b)于是(ysh),R3(x)=C(x)x(x-1)2(x-2)R3(x)=(x)-H3(x)记R3(x)=(x)-H3(x),则R3(0)=R3(1)=R3(2)=R3(1)=0对于(duy)任一x0,2,x0,1,2,构造函数:(t)=(t)-H3(t)-C(x)t(t-1)2(t-2)由于(0)=(1)=(2)=(1)=(x)=0,可得:第27页/共66页第二十七页，共67页。5 三次(sn c)样条插值 给定(i dn)节点a=x0 x1xn=b,及其上的函数值yk=(xk),k=0,1,n.就是给出平面上n+1个点(

17、xi,yi),i=0,1,n.xyo 定义(dngy)6.1 给定节点a=x0 x1xn=b,及其上的函数值yk=(xk),k=0,1,n.如果函数S(x)满足 (1)S(x)是一个分段的三次多项式且S(xk)=yk;(2)S(x)C2a,b.则称S(x)是区间a,b上的三次样条插值函数.第28页/共66页第二十八页，共67页。S(x)在区间(q jin)xi-1,xi上是三次多项式,S(x)=aix3+bix2 +cix+di,有4个待定系数,要确定S(x)共有4n个待定系数.由S(xi)=yi,i=0,1,n,有2n个条件(tiojin).再由S(xi-0)=S(xi+0),i=1,2,n

18、-1,有n-1个条件(tiojin)及S(xi-0)=S(xi+0),i=1,2,n-1,有n-1个条件 共有4n-2个条件.为了得到唯一的三次样条函数,通常可在区间a,b的端点x0=a,xn=b上各加一个条件,称为边界条件.常用的边界条件有 (1)S(x0)=y0,S(xn)=yn;(2)S(x0)=y0,S(xn)=yn;(3)假设(x)是以b-a为周期的周期函数,这时要求第29页/共66页第二十九页，共67页。S(x0+0)=S(xn-0)S(x0+0)=S(xn-0)S(x0+0)=S(xn-0)这样(zhyng)确定的S(x)为周期样条函数.若假设S(xi)=mi,i=0,1,n,利

19、用(lyng)分段Hermite插值多项式,当xxi-1,xi时,有 其中hi=xi-xi-1.为了(wi le)确定S(x),只需确定mi,i=0,1,n.可利用S(xi-0)=S(xi+0)来求出mi.第30页/共66页第三十页，共67页。当xxi-1,xi时,由于(yuy)所以(suy)第31页/共66页第三十一页，共67页。于是(ysh)有由连续性条件(tiojin)S(xi-0)=S(xi+0)可得 两侧(lin c)同除以 3(ixi-1,xi+ixi,xi+1)=gi,则有 imi-1+2mi+imi+1=gi ,i=1,2,n-1.(6.9)第32页/共66页第三十二页，共67

20、页。再结合不同(b tn)的边界条件,可得关于mi的方程.若边界条件为:m0=y0,mn=yn,带入(6.9)式可得 若边界条件为:S(x0)=y0,S(xn)=yn,则有 连同(lintng)(6.9)式一起,可得 第33页/共66页第三十三页，共67页。若边界条件为周期性边界条件，由S(x0+0)=S(xn-0),和S(x0+0)=S(xn-0),有 m0=mn nmn-1+2mn+nm1=gn 和 其中(qzhng)第34页/共66页第三十四页，共67页。于是(ysh)有 对应不同的边界条件，只要求出相应的线性方程组的解，便得到三次(sn c)样条函数在各区间xi-1,xi上的表达式.由

21、于三个方程组的系数矩阵都是严格对角占优矩阵,所以都有唯一(wi y)解,前两个方程组均可用追赶法求解,第三个方程组可用LU分解法或Gauss消元法求解.第35页/共66页第三十五页，共67页。例7 设(0)=1,(1)=0,(2)=-1,(3)=0,(0)=1,(3)=0,试求(x)在区间0,3的三次(sn c)样条插值函数S(x).解 这里h1=h2=h3=1,y0=1,y3=0,计算(j sun)参数有 1=2=1=2=1/2,g1=-3,g2=0 于是(ysh)有 解得 故有 第36页/共66页第三十六页，共67页。三次(sn c)样条函数S(x)也可以利用在节点处的二阶导数为参数来表示

22、,设S(xi)=Mi,i=0,1,n,则对xxi-1,xi有 连续积分两次,并利用(lyng)S(xi-1)=yi-1,S(xi)=yi,确定积分常数,可得 其中hi=xi-xi-1.为了(wi le)确定S(x),只需确定Mi,i=0,1,n.可利用S(xi-0)=S(xi+0)来求出Mi.对上式求导易得:第37页/共66页第三十七页，共67页。于是(ysh)有因此(ync)若记则有第38页/共66页第三十八页，共67页。再结合(jih)不同的边界条件,可得关于Mi的方程.若边界条件为:M0=y0,Mn=yn,可得 若边界条件为:S(x0)=y0,S(xn)=yn,则有 可得 第39页/共6

23、6页第三十九页，共67页。若边界条件为周期性边界条件，由S(x0+0)=S(xn-0),和S(x0+0)=S(xn-0),有 M0=Mn nM1+nMn-1+2Mn=dn 和 其中(qzhng)第40页/共66页第四十页，共67页。于是(ysh)有 而且(r qi)M0=Mn.例8 设(0)=0,(1)=1,(2)=0,(3)=1,(0)=1,(3)=0,试求(x)在区间0,3的三次(sn c)样条插值函数S(x).解 这里h1=h2=h3=1,y0=1,y3=0,计算参数有 1=2=1=2=1/2,d1=-6,d2=6 第41页/共66页第四十一页，共67页。于是(ysh)有 解得 故有 第

24、42页/共66页第四十二页，共67页。利用内积可以定义(dngy)函数的平方模6 正交多项式 记区间a,b上所有连续函数的全体为Ca,b,可以证明(zhngmng)Ca,b是一个线性空间,把所有次数不超过n的多项式全体记为Pn,则Pn是Ca,b的子空间.若(x),g(x)Ca,b,则称 为(x)与g(x)的内积,记为(,g),满足(mnz)(1)(,g)=(g,);(2)(c,g)=c(,g);(3)(1+2,g)=(1,g)+(2,g);若(,g)=0,称(x)与g(x)正交,记为g.第43页/共66页第四十三页，共67页。函数(hnsh)的平方模满足 (1)20,而且(r qi)2=0(x

25、)=0;(2)c2=|c|2;(3)+g22+g2 (4)(,g)2 g2 考虑到(x)在区间a,b上各点的函数值比重不同,常引进(ynjn)加权形式的定义 这里函数(x)是非负连续函数,称为a,b上的权函数.它的物理意义可以解释为密度函数.第44页/共66页第四十四页，共67页。若0(x),1(x),n(x)为Ca,b上的一组线性无关函数(hnsh),则可得到Ca,b上一组两两正交的函数(hnsh)组g0(x),g1(x),gn(x)满足定理(dngl)6.3 (1)gk(x)为0(x),1(x),k(x)的线性组合;(2)k(x)为g0(x),g1(x),gk(x)的线性组合.证 只要按S

26、chemite正交化过程(guchng)构造 g0(x)=0(x),第45页/共66页第四十五页，共67页。再令 g0(x),g1(x),gn(x)两两正交且满足(mnz)(1),(2).称函数(hnsh)组e0(x),e1(x),en(x)为规范正交组.Pn上由线性无关(wgun)函数1,x,x2,xn 经过Schemite正交化过程得到的多项式p0(x),p1(x),pn(x)称为a,b上的正交多项式.例9 求区间-1,1上,权函数(x)=1的正交多项式.解 按Schemite正交化过程有 p0(x)=1,第46页/共66页第四十六页，共67页。第47页/共66页第四十七页，共67页。若p

27、0(x),p1(x),pn(x)是a,b上权函数为(x)的正交多项式,则有下列(xili)性质:(1)pk(x)是首项(shu xin)系数不为零的k次多项式;(2)p0(x),p1(x),pn(x)构成(guchng)Pn上的一组正交基;(3)pn(x)与任一不高于n-1次的多项式正交,pn(x)Pn-1;(4)方程pn(x)=0在a,b上有n个单根;(5)方程pn-1(x)=0的根x1(n-1),x2(n-1),xn-1(n-1),与方程pn(x)=0的根x1(n),x2(n),xn(n)在a,b上交错分布.下面介绍几个常用的正交多项式 1.Legendre多项式第48页/共66页第四十八

28、页，共67页。的正交多项式,且满足(mnz):是区间(q jin)-1,1上权函数(x)=1的正交多项式,且满足:(1)(Lm,Ln)=(2)有三项递推关系(gun x)(n+1)Ln+1(x)=(2n+1)xLn(x)-nLn-1(x),n1 L0(x)=1,L1(x)=x 2.Chebyshev多项式 Tn(x)=cos(narccosx)x-1,1,n=0,1,2,是区间-1,1上权函数(x)=(1)(Tm,Tn)=第49页/共66页第四十九页，共67页。(2)有三项递推关系(gun x)Tn+1(x)=2xTn(x)-Tn-1(x)n=1,2,3,T0(x)=1,T1(x)=x (3)

29、Tn(x)在-1,1上的n个零点(ln din)为 3.Laguere多项式第50页/共66页第五十页，共67页。是区间(q jin)0,+)上权函数(x)=e-x 的正交多项式,且满足:(1)(Lm,Ln)=Ln+1(x)=(2n+1-x)Ln(x)-n2Ln-1(x),n1 L0(x)=1,L1(x)=1-x 4.Hermite多项式是区间(q jin)(-,+)上权函数(x)=的正交多项式,且满足(mnz):(1)(Hm,Hn)=Hn+1(x)=2xHn(x)-2nHn-1(x),n1 H0(x)=1,H1(x)=2x第51页/共66页第五十一页，共67页。7 数据(shj)拟合的最小二

30、乘法 7.1 数据(shj)拟合问题 经常由观察(gunch)或测试可得到y(x)的一组离散数据:xix0 x1x2xmyiy0y1y2ym 需要在给定的函数类上根据这组离散数据作出逼近曲线.要求逼近曲线在xi处与离散数据尽可能接近.对函数(x),要求以(x)在离散点的误差 0=(x0)-y0,1=(x1)-y1,m=(xm)-ym为分量的误差向量=(0,1,m)T,按某一向量范数 达到最小.对不同的范数,构造出不同意义下的拟合函数.第52页/共66页第五十二页，共67页。函数类通常取为:=Span0(x),1(x),n(x),其中函数系0(x),1(x),n(x)在包含节点(ji din)x

31、i的区间a,b上线性无关.(x)=a00(x)+a11(x)+ann(x)中任一函数(x)可以(ky)表示为 常用的函数(hnsh)系有幂函数(hnsh)系xj,三角函数(hnsh)系sinjx,cosjx,指数函数(hnsh)系 正交函数系等.最常用的是幂函数系xj,即取=Pn=Span1,x,x2,xn,这时求得的拟合曲线称为多项式拟合曲线.7.2 数据拟合的最小二乘法 为了便于计算,在求误差向量 的范数时,宜采用向量的2-范数,这时对应的曲线拟合方法称为最小二乘法.第53页/共66页第五十三页，共67页。就是在函数类=Span0(x),1(x),n(x)中找一个函数y=*(x),使误差向

32、量(xingling)*的2-范数达到最小值,即 在实际问题中,考虑到数据的比重不同,常采用误差(wch)向量的加权范数形式其中(qzhng)(x)0,是在a,b上的权函数.由于 G(a0,a1,an)第54页/共66页第五十四页，共67页。寻求拟合曲线问题就转换(zhunhun)为求多元函数G(a0,a1,an)的最小值问题.令得到(d do)关于a0,a1,an的线性方程组:引进(ynjn)向量 j=(j(x0),j(x1),j(xm)T ,j=0,1,2,n =(y0,y1,ym)T 且记向量内积第55页/共66页第五十五页，共67页。于是(ysh)有其矩阵(j zhn)形式为称为(ch

33、n wi)(由最小二乘法导出的)正则方程组或法方程组.如果向量组 0,1,n线性无关,则正则方程组的系数矩阵是对称正定矩阵,可由平方根法或SOR法求得唯一解a0*,a1*,an*,于是得到拟合函数:*(x)=pn*(x)=a0*0(x)+a1*1(x)+an*n(x)第56页/共66页第五十六页，共67页。若取函数(hnsh)类=Pn=Span1,x,x2,xn,正则方程组为 其中(qzhng)i=(xi),.此时(c sh)拟合曲线为 *(x)=pn*(x)=a0*+a1*x+an*xn 若取0(x),1(x),n(x)为正交函数系,即(i,j)=0,(ij),则正则方程组的系数矩阵为对角矩

34、阵,易得 ak*=(,k)/(k,k),k=0,1,2,n第57页/共66页第五十七页，共67页。xyo4-314例10 给出如下离散(lsn)数据xi-3-2-101234yi -3.2-2.1-1.20.10.92.13.34试求y(x)的拟合(n h)曲线.-3 解 绘草图(cot)故求线性拟合曲线,0(x)=1,1(x)=x.权函数(x)=1,记0=(1,1,1,1,1,1,1,1)T,1=(-3,-2,-1,0,1,2,3,4)T,=(-3.2,-2.1,-1.2,0.1,0.9,2.1,3.3,4)T.正则方程组为 8a0+4a1=3.9 4a0+44a1=46 解得第58页/共6

35、6页第五十八页，共67页。所求拟合(n h)曲线为 y=1.048810 x-0.036905此时,拟合曲线(qxin)的均方误差为|*20.329666例11 对下列(xili)数据求形如y=aebx的拟合曲线xi12345678yi15.320.527.436.649.165.687.8117.6 解 设z=lny,则 z=A+bx,其中A=lna,由zi=lnyi 得zi2.727853.020423.310543.600053.893864.183584.475064.76729对z(x)作线性拟合曲线,取 0(x)=1,1(x)=x.权函数(x)=1,则 0=(1,1,1,1,1,1

36、,1,1)T,1=(1,2,3,4,5,6,7,8)T,z=(2.72785,3.02042,3.31054,3.60005,3.89386,4.18358,4.47506,4.76729)T,得正则方程组第59页/共66页第五十九页，共67页。8A+36b=29.97865 36A+204b=147.13503解得 A*=2.43686,b*=0.29122,于是有a*=eA*=11.43707,拟合(n h)曲线为:(x)=11.43707e0.29122x例12 用最小二乘法(chngf)求方程组 3x-2y=1 2x+y=2 x-4y=-1 3x+2y=-3的近似(jn s)解.解 记

37、 G(x,y)=(3x-2y-1)2+(2x+y-2)2+(x-4y+1)2+(3x+2y+3)2第60页/共66页第六十页，共67页。令则有 6(3x-2y-1)+4(2x+y-2)+2(x-4y+1)+6(3x+2y+3)=0 -4(3x-2y-1)+2(2x+y-2)-8(x-4y+1)+4(3x+2y+3)=0即 23x-2y=-3 -2x+25y=-2解得:x=-0.138354,y=-0.091068第61页/共66页第六十一页，共67页。练习题练习题第第180页页 习题习题(xt)66-1,6-2,6-3,6-4,6-5 第62页/共66页第六十二页，共67页。练习题练习题第第1

38、80页页 习题习题(xt)66-8,6-9,6-10,6-12,6-13,第63页/共66页第六十三页，共67页。练习题练习题第第180页页 习题习题(xt)66-15,6-19,6-20,6-22第64页/共66页第六十四页，共67页。课间休息课间休息第65页/共66页第六十五页，共67页。谢谢您的观看(gunkn)！第66页/共66页第六十六页，共67页。内容(nirng)总结插值方法,这里主要讨论(toln)函数类P是代数多项式,即所谓的多项式插值.。即,(t)在a,b至少有n+2个零点.。由Rolle定理可知(t)在a,b至少有n+1个零点,。设在节点ax0 x1。法2(待定系数法):设。给定节点a=x0 x1。,n(x)在包含节点xi的区间a,b上线性无关.。其中(x)0,是在a,b上的权函数.。其中i=(xi),。谢谢您的观看第六十七页，共67页。