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1、会计学1二次曲面习题课二次曲面习题课第一页，共54页。Chap.4 二次曲面二次曲面(quadric surfaces)(quadric surfaces)空间解析几何的两个基本(jbn)问题：一、给定曲面，建立方程；二、给定方程,研究它的图形及其几何性质。第1页/共54页第二页，共54页。1 1、柱面、柱面 (cylinder)定义：一直线定义：一直线L沿一已知曲线沿一已知曲线C平行移动而得的曲面平行移动而得的曲面(qmin)称为称为柱面。柱面。C准线准线(directrix)，L母线母线(ruling)直柱面：第2页/共54页第三页，共54页。射影射影(shyng)柱面柱面依次消去一个变元
2、射影(shyng)柱面柱面的参数柱面的参数(cnsh)方程方程(parametric equation)（P147 ex4）第3页/共54页第四页，共54页。圆锥面圆锥面直线直线l1绕另一条与绕另一条与l1相交于相交于O的直线的直线l2旋转一周旋转一周所得所得(sud)旋转曲面称为圆锥面旋转曲面称为圆锥面.O顶点顶点(vertex)两直线的夹角两直线的夹角半顶角半顶角锥面锥面一直线通过定点一直线通过定点O，且沿空间中一条定曲线，且沿空间中一条定曲线C移动所产生的曲面称为锥面移动所产生的曲面称为锥面.O顶点顶点C准线（不唯一准线（不唯一）动直线动直线母线（不唯一母线（不唯一）2 2、锥、锥 面面
3、 (conical surface)(conical surface)第4页/共54页第五页，共54页。锥面的参数锥面的参数(cnsh)方程（方程（P152 ex6）第5页/共54页第六页，共54页。3、旋转(xunzhun)曲面(surface of revolution)定义：曲线定义：曲线C绕定直线绕定直线l旋转一周所生成旋转一周所生成(shnchn)的曲面称为旋的曲面称为旋转转曲面。曲面。l旋转轴旋转轴，C母线母线旋转旋转(xunzhun)曲面的参数方程（曲面的参数方程（P158 ex3）第6页/共54页第七页，共54页。4 4、椭、椭 球球 面面 (ellipsoid)(ellips
4、oid)（1 1）椭球面的方程）椭球面的方程(fngchng)(fngchng)（2 2）椭球面的性质）椭球面的性质(xngzh)(xngzh)（1）关于(guny)坐标原点、坐标轴、坐标面都对称。（2）并有六个顶点 第7页/共54页第八页，共54页。（3 3）形状）形状(xngzhun)(xngzhun)（与三个坐标面的交线）：（与三个坐标面的交线）：(1)是一个(y)椭圆(2)(ellipse)(2)是一个(y)椭圆(3)是一个椭圆 第8页/共54页第九页，共54页。（4 4）椭球面的参数）椭球面的参数(cnsh)(cnsh)方程方程（广义(gungy)球坐标系）第9页/共54页第十页，共
5、54页。5 5、双曲面、双曲面 (hyperboloid)(hyperboloid)I I 单叶双曲面单叶双曲面 (hyperboloid of one sheet)(hyperboloid of one sheet)方程方程(fngchng)(fngchng)：性质性质(xngzh)(xngzh)：（1）关于(guny)坐标原点、坐标轴、坐标面都对称。（2）有四个顶点（3）形状：（1）是一个椭圆 （腰椭圆）第10页/共54页第十一页，共54页。（2）是双曲线 (hyperbola)（3）是双曲线（4）是一个(y)椭圆=+=+hzchbyax2222221第11页/共54页第十二页，共54页。
6、IIII双叶双曲面双叶双曲面 (hyperboloid of two sheets)方程(fngchng)：性质(xngzh)：（1）关于(guny)坐标原点、坐标轴、坐标面都对称。（2）有两个顶点（3）形状：（6）是双曲线（7）是双曲线 第12页/共54页第十三页，共54页。参数(cnsh)方程 (P168 ex.7)(1)单叶双曲面(2)双叶双曲面第13页/共54页第十四页，共54页。6 6、抛、抛 物物 面面 (paraboloid)(paraboloid)I I椭圆椭圆(tuyun)(tuyun)抛物面抛物面(elliptic paraboloid)(elliptic parabolo
7、id)方程方程(fngchng)(fngchng)：性质性质(xngzh)(xngzh)：（1）椭圆抛物面对称于XOZ与YOZ坐标面，对称于z轴，无对称中心。（2）与对称轴交于原点（0，0，0），叫做椭圆抛物面的顶点。第14页/共54页第十五页，共54页。（3）形状(xngzhun)：（1）是抛物线 (parabola)（2）是抛物线 主主抛抛物物线线（3）是一个(y)椭圆 容易(rngy)知道图形（3）的两对顶点分别在主抛物线（1）与（2）上。=+hzhbyhax2222122第15页/共54页第十六页，共54页。（4）是抛物线=-=tybtzax)2(22222第16页/共54页第十七页，
8、共54页。IIII双曲抛物面双曲抛物面 (hyperbolic paraboloid)(hyperbolic paraboloid)方程方程(fngchng)(fngchng)：性质性质(xngzh)(xngzh)：（1）椭圆(tuyun)抛物面对称于XOZ与YOZ坐标面，对称于z轴，无对称中心。（2）形状：（5）是一对相交于原点的直线第17页/共54页第十八页，共54页。（6）是抛物线（7）是抛物线 主主抛抛物物线线（8）是双曲线(hyperbola)=-hzhbyhax2222122（9）是抛物线第18页/共54页第十九页，共54页。、单叶双曲面与双曲抛物面的直母线、单叶双曲面与双曲抛物面
9、的直母线(mxin)(mxin)定义：由一族(y z)直线生成的曲面称为直纹面(ruled surface)这族直线称为曲面的一族(y z)直母线。第19页/共54页第二十页，共54页。、单叶双曲面、单叶双曲面u 族直母线v 族直母线&对于(duy)单叶双曲面上的每个点，两族直母线中各有一条&直母线经过该点第20页/共54页第二十一页，共54页。、双曲抛物面、双曲抛物面&对于双曲抛物面上的每个点，两族直母线中&各有一条(y tio)直母线经过该点直母线(mxin)：第21页/共54页第二十二页，共54页。定理单叶双曲面上异族的任意定理单叶双曲面上异族的任意(rny)两直母线必共面，两直母线必共
10、面，而双曲抛物面上异族的任意而双曲抛物面上异族的任意(rny)两直母线必相交。两直母线必相交。定理单叶双曲面或双曲抛物面上同族的任意两直母线定理单叶双曲面或双曲抛物面上同族的任意两直母线总是总是(zn sh)异面直线，而且双曲抛物面上同族的全体直异面直线，而且双曲抛物面上同族的全体直母线平行于同一平面。母线平行于同一平面。第22页/共54页第二十三页，共54页。例例 题题第23页/共54页第二十四页，共54页。例例例例1.1.1.1.研究研究研究研究(ynji)(ynji)(ynji)(ynji)方程方程方程方程解解:配方配方(pi fng)(pi fng)得得此方程(fngchng)表示:说
11、明说明:如下形式的三元二次方程(A 0)都可通过配方研究它的图形.其图形可能是的曲面.表示怎样半径为的球面.球心为 一个球面球面,或点点,或虚轨迹虚轨迹.第24页/共54页第二十五页，共54页。例例例例 2.2.试试试试建建建建立立立立顶顶顶顶点点点点(d(d ngdingdi n)n)在在在在原原原原点点点点,旋旋旋旋转转转转轴轴轴轴为为为为z z 轴轴轴轴,半半半半顶顶顶顶角为角为角为角为的圆锥(yunzhu)面方程.解解:在在yozyoz面上面上(min shn)(min shn)直线直线L L 的方程为的方程为绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为两边平方第25页/共54页第二十六页，共54页
12、。例例例例3.3.求求求求坐坐坐坐标标标标(zubio)(zubio)面面面面 xoz xoz 上上上上的的的的双双双双曲曲曲曲线线线线分别(fnbi)绕 x轴和 z 轴旋转一周(y zhu)所生成的旋转曲面方程.解解:绕 x 轴旋转绕 z 轴旋转这两种曲面都叫做旋转双曲面旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为第26页/共54页第二十七页，共54页。例 4、求准线(zhn xin)是 ，母线方向为 的柱面方程。解：准线(zhn xin)可改写为所求柱面方程(fngchng)为消去参数 u,v 得第27页/共54页第二十八页，共54页。例 5、求半径(bnjng)为2，对称轴为 的圆柱面方程。
13、解：在所求圆柱面上任(shng rn)取一点 ，由得第28页/共54页第二十九页，共54页。例 6、求准线(zhn xin)是 ，顶点为原点的锥面方程。解：准线(zhn xin)方程为所求锥面方程(fngchng)为消去参数 u,v 得第29页/共54页第三十页，共54页。例7、由椭球面 的中心(zhngxn)，引三条两两 互相垂直的射线，分别交曲面于 ，设 ，试证：（课本(kbn)P162,ex4）解：设 的单位向量分别(fnbi)为P1的坐标为 ，代入椭球面方程，得 第30页/共54页第三十一页，共54页。同理可得 由于 两两垂直(chuzh)，知 是正交的矩阵，于是(ysh)有所以(su
14、y)第31页/共54页第三十二页，共54页。例 8、试求单叶双曲面 上互相垂直的两 直母线交点的轨迹(guj)方程。（课本(kbn)P182,ex8）解：过单叶双曲面上所求轨迹(guj)上一点 的两条直母线分别为L1和L2当 时，当 时，第32页/共54页第三十三页，共54页。L1和L2的方向(fngxing)向量分别为当 时，当 时，第33页/共54页第三十四页，共54页。由 垂直(chuzh)，得 分别在 和 的情况(qngkung)下，计算上式各项，再整理得所求轨迹均为 第34页/共54页第三十五页，共54页。例例例例9.9.9.9.将下列曲线化为参数将下列曲线化为参数将下列曲线化为参数
15、将下列曲线化为参数(cnsh)(cnsh)(cnsh)(cnsh)方程方程方程方程表示表示表示表示:解解:(1)根据第一(dy)方程引入参数,(2)将第二方程(fngchng)变形为故所求为得所求为第35页/共54页第三十六页，共54页。绕 z 轴旋转(xunzhun)所得旋转(xunzhun)曲面方程为 消去 t 和 ,得旋转曲面(qmin)方程为例例例例10.10.10.10.求空间求空间求空间求空间(kngjin)(kngjin)(kngjin)(kngjin)曲线曲线曲线曲线 :第36页/共54页第三十七页，共54页。例例例例11.11.11.11.直线直线直线直线(zhxin)(zh
16、xin)(zhxin)(zhxin)绕 z 轴旋转(xunzhun)一周,求此旋转(xunzhun)转曲面(qmin)的方程.解解:在 L 上任取一点旋转轨迹上任一点,则有得旋转曲面方程第37页/共54页第三十八页，共54页。例例例例12 12 12 12 求求求求在在xoy xoy 面上的投影面上的投影(tuyng)(tuyng)曲线方曲线方程。程。第38页/共54页第三十九页，共54页。例例例例13 13 13 13 求求求求所围的立体在 xoy 面上的投影(tuyng)区域。上半球面和锥面在 xoy 面上(min shn)的投影曲线二者交线所围圆域:第39页/共54页第四十页，共54页。
17、例例例例14141414求曲线(qxin)绕 z 轴旋转的曲面(qmin)与平面 的交线在 xoy 平面的投影(tuyng)曲线方程.解：解：旋转曲面方程为交线为此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为 此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为,它与所给平面的第40页/共54页第四十一页，共54页。作作 图图 练练 习习第41页/共54页第四十二页，共54页。(2)(1)1、画图(hu t):第42页/共54页第四十三页，共54页。(3)第43页/共54页第四十四页，共54页。(4)第44页/共54页第四十五页，共54页。思考思考(sko(sko):):交线情况(qngkung)如何?交线情况(qn
18、gkung)如何?(5)(5)第45页/共54页第四十六页，共54页。例2、画出下列(xili)各曲面所围图形:第46页/共54页第四十七页，共54页。第47页/共54页第四十八页，共54页。第48页/共54页第四十九页，共54页。1.解解yxzo得得交线交线L：由由第49页/共54页第五十页，共54页。z=0.1yxzo解解L得得交线交线L：.投影投影(tuyng)柱面柱面由由2第50页/共54页第五十一页，共54页。aaxzy0作图练习作图练习(linx)(linx)第51页/共54页第五十二页，共54页。z=0y=0 x=0aaxzy0作图练习作图练习(linx)(linx).第52页/共54页第五十三页，共54页。aaxzy0学画草图学画草图学画草图学画草图(cot)(cot).a作图练习作图练习(linx)(linx)第53页/共54页第五十四页，共54页。