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1、数学数学(shxu)有限元基础有限元基础第一页，共73页。2 2一、有限元简介1.概况2.有限元方法历史3.有限元分析的作用1.有限元分析的目的和概念2.一维阶梯杆结构问题的求解3.有限元分析的基本流程(lichng)4.有限元分析的特点目录(ml)二、有限元分析(fnx)过程概要第1页/共73页第二页，共73页。3 31.1概况(gikung)有限元方法(finite element method)或有限元分析(finite element analysis)是求取复杂微分方程近似解的一种非常有效的工具，是现代数字化科技的一种重要基础性原理(yunl)。严格来说，有限元分析必须包含三个方面：
2、(1)有限元方法的基本数学力学原理(yunl)，(2)基于原理(yunl)所形成的实用软件，(3)使用时的计算机硬件。第2页/共73页第三页，共73页。4 4随着现代计算机技术的发展，一般的个人计算机就能满足第(3)方面的要求；因此，本课程的重点将在以上的第(1)和第(2)方面，将通过一些典型的实例来深入浅出地系统阐述有限元分析的基本原理，并强调原理的工程背景和物理(wl)概念通过ANSYS分析平台来展示具体应用有限元方法的建模过程。第3页/共73页第四页，共73页。5 51.2有限元方法(fngf)的历史有限元方法的思想最早可以追溯到古人的“化整为零”、“化圆为直”的作法，如“曹冲称象”的典
3、故，我国古代(gdi)数学家刘徽采用割圆法来对圆周长进行计算；这些实际上都体现了离散逼近的思想，即采用大量的简单小物体来“冲填”出复杂的大物体。第4页/共73页第五页，共73页。6 61870年，英国科学家Rayleigh就采用假想的“试函数”来求解复杂的微分方程，1909年Ritz将其发展成为完善的数值近似方法，为现代有限元方法打下坚实基础。1960年Clough在处理平面弹性问题(wnt)，第一次提出并使用“有限元方法”(finite element method)的名称6；1955年德国的Argyris出版了第一本关于第5页/共73页第六页，共73页。7 7结构分析中的能量原理和矩阵方法
4、的书7，为后续的有限元研究奠定了重要的基础，1967年Zienkiewicz和Cheung出版了第一本有关有限元分析的专著；1970年以后，有限元方法开始应用(yngyng)于处理非线性和大变形问题。第6页/共73页第七页，共73页。8 8；目前，专业(zhuny)的著名有限元分析软件公司有几十家，国际上著名的通用有限元分析软件有ANSYS，ABAQUS，MSC/NASTRAN，MSC/MARC，ADINA，ALGOR，PRO/MECHANICA，IDEAS，还有一些专门的有限元分析软件，如LS-DYNA，DEFORM，PAM-STAMP,AUTOFORM，SUPER-FORGE等；第7页/共
5、73页第八页，共73页。9 9国际上著名的主要有限元分析软件状况(zhungkung)见表1-1。有关有限元分析的学术论文，每年也不计其数，学术活动非常活跃，表1-2 列出的是刊登有限元分析论文的常见学术期刊。第8页/共73页第九页，共73页。1010第9页/共73页第十页，共73页。1111第10页/共73页第十一页，共73页。12121.3有限元分析(fnx)的作用据有关资料，一个新产品的问题有60以上可以在设计阶段消除，甚至有的结构的施工过程也需要进行精细的设计，要做到这一点(y din)，就需要类似有限元分析这样的分析手段。下面举出几个涉及土木工程、车辆工程、航空工程以及生物工程的实例
6、。第11页/共73页第十二页，共73页。1313北京奥运场馆的鸟巢由纵横交错的钢铁枝蔓组成，它是鸟巢设计中最华彩的部分，见图1，也是鸟巢建设中最艰难的。看似轻灵的枝蔓总重达42000吨，其中(qzhng)，顶盖以及周边悬空部位重量为14000吨，在施工时，采用了78根支柱进行支撑，也就是产生了78个受力区域，在钢结构焊接完成后，需要将其缓慢而又平稳地卸去，让鸟巢变成完全靠自身结构支撑；因而，支撑塔架的卸载，实际上就是对整个钢结构的加载，第12页/共73页第十三页，共73页。1414如何卸载？需要进行非常详细的数值化分析，以确定出最佳(zu ji)的卸载方案。2006年9月17日成功地完成了整体
7、钢结构施工的最后卸载。（图1）第13页/共73页第十四页，共73页。1515图2 列车车厢(chxing)整体结构的有限元模型第14页/共73页第十五页，共73页。1616图3空客A350后机身第19框的设计与有限元分析(fnx)过程第15页/共73页第十六页，共73页。1717图4人体(rnt)肩部区域的骨胳有限元分析模型及计算结果 第16页/共73页第十七页，共73页。1818二、有限元分析过程(guchng)的概要本章先通过一个简单的实例，采用直接的推导方法，逐步展示有限元分析的基本流程，从中可以了解有限元方法的思路形成过程，以及如何由具体的求解步骤(bzhu)归纳出一种通用的标准求解方
8、法。第17页/共73页第十八页，共73页。19192.1有限元分析(fnx)的目的和概念任何具有一定使用功能的构件(称为变形体(deformed body)都是由满足要求的材料所制造的，在设计阶段，就需要对该构件在可能的外力作用下的内部(nib)状态进行分析，以便核对所使用材料是否安全可靠，以避免造成重大安全事故。描述可承力构件的力学信息一般有三类：第18页/共73页第十九页，共73页。2020(1)构件中因承载在任意位置上所引起的移动(称为位移(displacement)；(2)构件中因承载在任意位置上所引起的变形(bin xng)状态(称为应变(strain)；(3)构件中因承载在任意位置
9、上所引起的受力状态(称为应力(stress)；第19页/共73页第二十页，共73页。2121有限元分析的目的：针对具有任意复杂几何形状变形体，完整获取在复杂外力作用下它内部的准确力学信息(xnx)，即求取该变形体的三类力学信息(xnx)(位移、应变、应力)。在准确进行力学分析的基础上，设计师就可以对所设计对象进行强度(strength)、刚度(stiffness)等方面的评判，以便对不合理的第20页/共73页第二十一页，共73页。2222设计参数进行修改，以得到较优化的设计方案；然后，再次进行方案修改后的有限元分析，以进行最后的力学评判和校核，确定出最后的设计方案。有限元方法是基于“离散逼近(
10、discretized approximation)”的基本(jbn)策略，可以采用较多数量的简单函数的组合来“近似”代替非常复杂的原函数。第21页/共73页第二十二页，共73页。2323一个复杂的函数，可以通过一系列的基底函数(base function)的组合来“近似”，也就是函数逼近，其中有两种典型(dinxng)的方法：(1)基于全域的展开(如采用傅立叶级数展开)，以及(2)基于子域(sub-domain)的分段函数(pieces function)组合(如采用分段线性函数的连接)；下面，仅以一个一维函数的展开为例说明全域逼近与分段逼近的特点。第22页/共73页第二十三页，共73页。2
11、424典型例题1 一个(y)一维函数的两种展开方式的比较设有一个一维函数f（x)，xx0，xl分析它的展开与逼近形式。首先考虑基于(jy)全域的展开形式，如采用傅立叶级数(Fourier series)展开，则有：f(x）c0.0（xx0，xl）+c1.1（xx0，xl）+.其中i（xx0，xl）为所采用的基底函数，它的定义域在全域x0，xl上，c0，c1，c2为展开的系数。第23页/共73页第二十四页，共73页。2525第二种是基于子域xi,xi+1上的分段展开形式(xngsh)，若采用线性函数，其 中 是基底(j d)函数 第24页/共73页第二十五页，共73页。这两种函数(hnsh)的展
12、开如下图所示：第25页/共73页第二十六页，共73页。对第二种的函数逼近方式，就是现代力学分析中的有限元方法的思想，其中对第二种的函数逼近方式，就是现代力学分析中的有限元方法的思想，其中的分段就是的分段就是“单元单元”的概念。的概念。基于分段的函数描述具有非常明显的优势：基于分段的函数描述具有非常明显的优势：(1)(1)可以将原函数的复杂性可以将原函数的复杂性“化繁化繁为简为简”，使得描述和求解成为可能，使得描述和求解成为可能，(2)(2)所采用的简单函数可以人工所采用的简单函数可以人工(rngng)(rngng)选取，因此，可取最简单的线性函数，或取从低阶到高阶的多项式选取，因此，可取最简单
13、的线性函数，或取从低阶到高阶的多项式函数，函数，(3)(3)可以将原始的微分求解变为线性代数方程。但分段的做法可能会带可以将原始的微分求解变为线性代数方程。但分段的做法可能会带来的问题有：来的问题有：(1)(1)因采用了因采用了“化繁为简化繁为简”，所采用简单函数的描述的能力和效，所采用简单函数的描述的能力和效率都较低，率都较低，(2)(2)由于简单函数的描述能力较低，必然使用数量众多的分段来进由于简单函数的描述能力较低，必然使用数量众多的分段来进行弥补，因此带来较多的工作量。行弥补，因此带来较多的工作量。第26页/共73页第二十七页，共73页。综合综合(zngh)(zngh)分段函数描述的优
14、势和问题，只要采用功能完善的软件以及能分段函数描述的优势和问题，只要采用功能完善的软件以及能够进行高速处理的计算机，就可以完全发挥够进行高速处理的计算机，就可以完全发挥“化繁为简化繁为简”策略的优势，有限策略的优势，有限元分析的概念就在于此。元分析的概念就在于此。第27页/共73页第二十八页，共73页。一维阶梯杆结构问题一维阶梯杆结构问题(wnt)(wnt)的求解的求解第28页/共73页第二十九页，共73页。例题2 1D阶梯杆结构(jigu)问题的材料力学求解如上图所示为一个阶梯杆结构，已知相应的弹性模量和结构尺寸为：E1=E2=2107Pa，A1=2A2=2cm2,l1=l2=10cm，F=
15、10N。用材料力学(l xu)的方法求解。解：首先对右端的杆件进行力学(l xu)分析，见图第29页/共73页第三十页，共73页。go第30页/共73页第三十一页，共73页。将两个杆件进行分解，并标出每一个关联节点处的受力状况(zhungkung)，由于在C点处受有外力F，则由杆件的平衡关系可知，有第31页/共73页第三十二页，共73页。由于由于IB1IB1和和IB2IB2是一对是一对(y du)(y du)内力所以内力所以杆件杆件的应力为：的应力为：第32页/共73页第三十三页，共73页。杆件的应力(yngl)2为：由于材料是弹性的，由虎克定律(Hooke law)有第33页/共73页第三十
16、四页，共73页。其中(qzhng)1和2为杆件和的应变，则有第34页/共73页第三十五页，共73页。由应变的定义可知，它为杆件的相对伸长量，即=L/L，因此，L=.L，具体对杆件和，有由于(yuy)左端A为固定，则该点沿x方向的位移为零，记为uA=0，而B点的位移则为杆件的伸长量L1，即back第35页/共73页第三十六页，共73页。C C点的位移为杆件点的位移为杆件和和的总伸长量，即的总伸长量，即则归纳以上结果完整则归纳以上结果完整(wnzhng)(wnzhng)的解答为的解答为第36页/共73页第三十七页，共73页。讨论：讨论：1.1.以上完全按照材料力学的方法，将对象进行分解来获得问题的
17、解答以上完全按照材料力学的方法，将对象进行分解来获得问题的解答(jid)(jid)，它所求解的基本力学变量是力（或应力），由于以上问题非常简单，它所求解的基本力学变量是力（或应力），由于以上问题非常简单，而且是静定问题，所以可以直接求出，但对于静不定问题，则需要变形协调而且是静定问题，所以可以直接求出，但对于静不定问题，则需要变形协调方程方程(compatibility equation)(compatibility equation)，才能求解出应力变量，在构建问题的变形协，才能求解出应力变量，在构建问题的变形协调方程时，则需要一定的技巧；调方程时，则需要一定的技巧；2.2.若采用位移作为首
18、先求解的基本变量，则若采用位移作为首先求解的基本变量，则可以使问题的求解变得更规范一些，下面就基于可以使问题的求解变得更规范一些，下面就基于A A、B B、C C三个点的位移来进三个点的位移来进行以上问题的求解。行以上问题的求解。第37页/共73页第三十八页，共73页。例2.2 1D阶梯(jit)杆结构的节点位移求解及平衡关系所处理的对象上例相同，要求分别针对每个连接节点，基于节点的位移来构建相应的平衡关系，然后再进行(jnxng)求解。解：分离受力第38页/共73页第三十九页，共73页。第39页/共73页第四十页，共73页。首先分析图2-6(c)中杆内部的受力及变形状况，它的绝对伸长量为，则
19、相应(xingyng)伸长量为（uB-uA)则相应(xingyng)的伸长量1为:由虎克定律，它的应力1为:第40页/共73页第四十一页，共73页。杆的内力(nil)IB1为：对于杆进行同样的分析和计算，有它的内力(nil)IB2为：第41页/共73页第四十二页，共73页。对于节点C代入将节点A、B、C的平衡(pnghng)关系写成一个方程组，有第42页/共73页第四十三页，共73页。对于节点(ji din)A，有平衡关系：代入对于节点(ji din)B代入第43页/共73页第四十四页，共73页。第44页/共73页第四十五页，共73页。写成矩阵(j zhn)形式第45页/共73页第四十六页，共
20、73页。将材料(cilio)弹性模量和结构尺寸代入方程中，有以下方程（采用国际单位）由于左端固定，即uA=0,该方程的未知量为 求解方程 第46页/共73页第四十七页，共73页。代入：第47页/共73页第四十八页，共73页。例2.3 1D阶梯杆结构基于位移求解(qi ji)的通用形式将方程改写(gixi)成再将其分解为两个杆件之和，即写成第48页/共73页第四十九页，共73页。左端第一项实质(shzh)上是第49页/共73页第五十页，共73页。左端的(dund)第2项实质为左端第2项的实质(shzh)为go第50页/共73页第五十一页，共73页。可以看出：方程的左端就是杆件的内力表达和杆件的内
21、力表达之和，这样就将原来(yunli)的基于节点的平衡关系，变为通过每一个杆件的平衡关系来进行叠加。这里就自然引入单元的概念，即将原整体结构进行“分段”，以划分出较小的“构件”(component)，每一个“构件”上具有节点，还可以基于节点位移写出该“构件”的内力表达关系，这样的第51页/共73页第五十二页，共73页。“构件”就叫做单元(element)，它意味着在几何形状上、节点描述上都有一定普遍性(generalization)和标准性(standardization)，只要根据实际情况将单元表达式中的参数（如材料常数、几何参数）作相应的代换，它就可以广泛应用于这一类构件(单元)的描述。从
22、式可以看出(kn ch)，虽然它们分别用来描述杆件和杆件的，但它们的表达形式完全相同，因此本质上是一样，实际上，它们都是杆单元(bar element）back第52页/共73页第五十三页，共73页。可以将杆单元表达为如图所示的标准(biozhn)形式将单元(dnyun)节点的位移写成将单元节点(ji din)外力写成第53页/共73页第五十四页，共73页。因此该单元节点(ji din)内力为它将与单元(dnyun)的节点外力pe相平衡，则有 因此，该方程可以写成第54页/共73页第五十五页，共73页。进一步表达(biod)成其中(qzhng)Ke 叫做单元K11的刚度矩阵(j zhn)，K1
23、1、K12、K21、K22叫做刚度矩阵(j zhn)中的刚度系数第55页/共73页第五十六页，共73页。2.3有限元分析的基本(jbn)流程下面以一个1D三连杆结构为例，展现(zhnxin)有限元分析的全部过程第56页/共73页第五十七页，共73页。例1D三连杆结构的有限元分析(fnx)过程采用杆单元的方法，求解如图所示结构的所有力学(l xu)参量。相关的材料参量和尺寸为：第57页/共73页第五十八页，共73页。：所谓基于单元的分析方法，就是将原整体结构按几何形状的变化性质划分节点并进行编号，然后将其分解为一个个小的构件（即：单元），基于节点位移，建立每一个单元的节点平衡关系（叫做(jioz
24、u)单元刚度方程），对于杆单元来说就是式 下 下 一步就是将各个单元进行组合和集成，以得到该结构的整体平衡方程。第58页/共73页第五十九页，共73页。按实际情况对方程中一些节点位移(wiy)和节点力给定相应的值（叫做处理边界条件），就可以求解出所有的节点位移(wiy)和支反力，最后在得到所有的节点位移(wiy)后，就可以计算每一个单元的其它力学参量（如应变、应力）第59页/共73页第六十页，共73页。具体步骤1.节点(ji din)编号和划分单元的刚度(n d)方程为 单元(dnyun)的刚度方程为 单元的刚度方程为 2.计算各单元的单元刚度方程第60页/共73页第六十一页，共73页。3.组
25、装各单元(dnyun)刚度方程式中就是(jish)节点1、2、3、4上的合成节点力即第61页/共73页第六十二页，共73页。代入数值(shz)第62页/共73页第六十三页，共73页。4.处理(chl)边界条件并求解：已知的边界条件是U4=0代入第63页/共73页第六十四页，共73页。由于u4=0，则划掉上述刚度(n d)矩阵的第4列和第4行，则有第64页/共73页第六十五页，共73页。5.求支反力在求得所有(suyu)节点位移后求P4求各个单元的其他力学量（应变(yngbin)应力）第65页/共73页第六十六页，共73页。第66页/共73页第六十七页，共73页。这样可以得到一种直观的有限元分析
26、(fnx)思路，就是将复杂的几何和受力对象划分为一个一个形状比较简单的标准“构件”，称为单元，然后给出单元节点的位移和受力描述，构建起单元的刚度方程，再通过单元与单元之间的节点连接关系进行单元的组装，可以得到结构的整体刚度方程，进而根据位移约束和受力状态，处理边界条件，并进行求解，基本流程的示意见图第67页/共73页第六十八页，共73页。第68页/共73页第六十九页，共73页。2.4有限元分析(fnx)的特点有限元分析的最大特点就是标准化和规范化，这种特点使得大规模分析和计算成为可能(knng)，当采用了现代化的计算机以及所编制的软件作为实现平台时，则复杂工程问题的大规模分析就变为了现实。第69页/共73页第七十页，共73页。图常用的一些(yxi)典型的单元（ANSYS平台中）第70页/共73页第七十一页，共73页。有限元分析的最主要内容，就是研究单元，即首先给出单元的节点位移和节点力，然后基于单元节点位移与节点力的相互(xingh)关系第71页/共73页第七十二页，共73页。2.5本章(bn zhn)要点第72页/共73页第七十三页，共73页。