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1、第六章 平面向量及其应用 综合训练一、选择题1. 在ABC中，若AD=12(AB+AC)，则下列关系式正确的是()ABD=2CDBBD=CDCBD=3CDDCD=2BD2. 已知点 A1,3，B4,1，则与向量 AB 同方向的单位向量为 A35,45B45,35C35,45D45,353. 根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是Aa=8，b=16，A=30，有两解Bb=18，c=20，B=60，有唯一解Ca=5，b=2，A=90，无解Da=30，b=25，A=150，有唯一解4. 已知向量 a，b 满足 a=1，b=2，aba，则 a 与 b 的夹角为 A 6 B 4 C 3 D 23
2、 5. 在 ABC 中，若 b=2，A=120，三角形的面积 S=3，则三角形外接圆的半径为 A3B2C23D46. 在 ABC 中，B=120，AB=2，角 A 的平分线交 BC 于 D 点，且 AD=3，则 AC= A 6 B 2 C 62 D 22 7. 定义：ab=absin，其中 为向量 a 与 b 的夹角，若 a=2，b=5，ab=6，则 ab 等于 A 6 B 8 或 8 C 8 D 8 8. 已知两个不相等的非零向量 a，b，两组向量 x1，x2，x3，x4，x5 和 y1，y2，y3，y4，y5 均由 2 个 a 和 3 个 b 排列而成，记 S=x1y1+x2y2+x3y3
3、+x4y4+x5y5，Smin 表示 S 所有可能取值中的最小值，Smax 表示 S 所有可能取值中的最大值，下列说法中正确的个数是 S 有 5 个不同的值；若 ab，且 a=b=1，则 Smax=5；若 b4a，则 Smin0；若 b=2a，Smin=8a2，则 a 与 b 的夹角为 3A 1 B 2 C 3 D 4 二、多选题9. 设 a，b，c 是任意的非零向量，则下列结论不正确的是 A 0a=0 B abc=abc C ab=0ab D a+bab=a2b2 10. 在 ABC 中，AB=AC，BC=4，D 为 BC 的中点，则以下结论正确的是 A BDAD=AB B AD=12AB+
4、AC C BABC=8 D AB+AC=ABAC 11. 已知在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 A=60，b=2，c=3+1，则下列说法正确的是 A C=75 或 C=105 B B=45 C a=6 D该三角形的面积为 3+12 12. 在 ABC 中，BC=2，BC 边上的中线 AD=2，则下列说法正确的有 A ABAC 为定值B AC2+AB2=10 C 45cosA1 D BAD 的最大值为 30 三、填空题13. 已知向量 m，n 的夹角为 60，且 m=1，mn=3，则 n= 14. 如图，设 A，B 两点在河的两岸，一测量者在 A 的同侧，在所在的河
5、岸边选定一点 C，测出 AC 的距离为 50m，ACB=45，CAB=105 后，就可以计算出 A，B 两点的距离为 m15. OA=1，OB=3，OAOB=0，点 C 在 AOB 内，且 AOC=60，设 OC=mOA+nOBm,nR，则 nm= 16. 已知非零向量 OP，OQ 不共线，设 OM=1m+1OP+mm+1OQ，定义点集 A=FFPFMFP=FQFMFQ，若对于任意的 m3，当 F1,F2A 且不在直线 PQ 上时，不等式 F1F2kPQ 恒成立，则实数 k 的最小值为 四、解答题17. 如图所示，O 为正方形 ABCD 对角线的交点，四边形 OAED，OCFB 都是正方形，根
6、据图中所标出的向量回答下列问题(1) 分别写出与 AO，BO 相等的向量；(2) 写出与 AO 共线的向量.18. 已知 a=1,2，b=3,2(1) 当 k 为何值时，ka+b 与 a3b 垂直？(2) 当 k 为何值时，ka+b 与 a3b 平行？19. 已知向量 a，b 为非零向量，且 a+b=ab (1) 求证：ab (2) 若 a=2，b=1，求 a2b 与 b 的夹角 20. 在锐角 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且 2asinB=3b(1) 求角 A 的大小；(2) 若 a=8，b+c=10，求 ABC 的面积21. 已知 ABC 的内角 A，B，C
7、的对边分别为 a，b，c，若 c=2a，bsinBasinA=12asinC(1) 求 sinB 的值；(2) 求 sin2B+3 的值22. 已知 O 为坐标原点，对于函数 fx=asinx+bcosx，称向量 OM=a,b 为函数 fx 的伴随向量，同时称函数 fx 为向量 OM 的伴随函数(1) 设函数 gx=3sin+xsin32x，试求 gx 的伴随向量 OM；(2) 记向量 ON=1,3 的伴随函数为 fx，当 fx=85，且 x3,6 时，求 sinx 的值；(3) 将（1）中函数 gx 的图象的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），再把整个图象向右平移 23 个单位长度得到 x 的图象，已知 A2,3，B2,6，问在 y=x 的图象上是否存在一点 P，使得 APBP？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，说明理由