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1、特征值与特征向量第1页，本讲稿共16页特征值和特征向量的基本概念特征值和特征向量的基本概念定义5.1 设A是复数域C上的n阶矩阵，如果存在数 C和非零n维向量x，使得 A x=x 则称 为A的特征值,x为A的属(对应)于特征值 的特征向量。如何求特征值和特征向量:特征向量x是齐次线性方程组(I A)x=0的非零解。应满足|I A|=0即 是多项式 det(I A)的零点。第2页，本讲稿共16页定义定义5.15.1 设n阶矩阵A=(aij),则称为 A的特征多项式.(I A)称为A的特征矩阵,|I A|=0 称为A的特征方程.n 阶矩阵A的特征多项式在复数域上的 n 个根都是矩阵A的特征值，其k
2、重根叫做 k 重特征值。第3页，本讲稿共16页如何求特征值及特征向量如何求特征值及特征向量?(1)计算特征多项式(2)求出 的全部根(3)对于每个 ,求 的全部非零解。例例 求矩阵 的特征值及特征向量。例例 n 阶对角矩阵A，上(下)三角形矩阵B的特征值 都是它们的n个主对角元 a11,a22,ann。解解：A的特征方程为A的特征值为:1=0,2,3=2。第4页，本讲稿共16页对于 1=0，求解(0I A)x=0，即得基础解系：x1=(1,1,1)T。k x1(k 0为任意常数)是A的属于 1的全部特征向量。对于 2,3=2,求解(-2I A)x=0,即得基础解系：x2=(1,1,0)T,x3
3、=(1,0,1)T。k2x2+k3x3（k2,k3是不全为零的任意常数）是A关于 2,3的全部的特征向量。第5页，本讲稿共16页例 设向量 ,都是方阵 对应于特征值 的 特征向量，又向量 ，求解:第6页，本讲稿共16页定理5.1 若x1,x2 是A属于 0的两个的特征向量，则k1x1+k2x2也是A属于 0的特征向量 (其中 k1,k2是任意常数，但 k1x1+k2x2 0).(I A)x=0的解空间称为A的关于 的特征子空间，记作V 。dim V=n r(I A)=k1x1+k2x2|x2=(1,1,0)T,x3=(1,0,1)T,k1,k2 R=L(1,1,0)T,(1,0,1)T)特征值
4、和特征向量的性质特征值和特征向量的性质如例中，=kx|x=(1,1,1)T,k R=L(1,1,1)T);第7页，本讲稿共16页定理5.2 若n 阶矩阵A=(aij)的n个特征值为 1,2,n，则称A的主对角元的和为A的迹，记作 tr(A)。性质1 若 是A的特征值,x 是A的属于 的特征向量。则(1)k 是kA的特征值（k为任意常数）；(2)m是Am的特征值;(3)若A可逆，则 1为A 1的一个特征值，而x 仍然是矩阵kA,Am和A 1的分别对应于特征值 k,m 和 1的特征向量。证明证明性质2 矩阵A和AT的特征值相同。第8页，本讲稿共16页 例3 设 解(1)A的特征值为:1，2=0 3
5、=2。(1)求A的特征值和特征向量；(2)求可逆矩阵P,使P 1AP为对角阵。对于 1,2=0，求解(1I A)x=0，即得基础解系：x1=(1,1,0)T,x2=(1,0,1)T,则k1x1+k2x2(k1,k2不全为0)是A的属于 1的全部特征向量。第11页，本讲稿共16页则 AP=P,且|P|0,所以，P 1AP=为对角矩阵。A的属于 2的全部特征向量为 k3 x(k3 0为任意常数)。对于 3=2，求解(2I A)x=0,即得基础解系：x3=(1,2,1)T(2)将 A xi=i xi(i=1,2,3)排成矩阵第12页，本讲稿共16页1、设3阶矩阵 的特征值为1，-1，2，求 。2、设
6、矩阵 满足方程 ，证明 矩阵 可逆。方阵方阵A的多项式的特征值的多项式的特征值已知 f(x)=amxm+am-1xm-1+a1x+a0是个多项式。则 f(A)=amAm+am-1Am-1+a1A+a0I 称为方阵A的多项式。若A的特征值是，则f(A)的特征值是f()。见P250/28。第13页，本讲稿共16页相似矩阵及其性质相似矩阵及其性质定义5.3 对于矩阵A,B，若存在可逆矩阵P，使 P 1AP=B,则称A相似于B，记作A B。矩阵的相似关系是一种等价关系，具有以下性质：自反性；对称性；传递性。相似矩阵还有以下性质：(1)C 1(kA+t B)C=k C 1 AC+t C 1 B C(k,t F);(2)C 1(AB)C=(C 1 AC)(C 1 B C);(3)若A B，则Am Bm（m为正整数）；(4)若A B，则f(A)f(B)，其中 f(x)=amxm+am-1xm-1+a1x+a0是个多项式。f(A)=amAm+am-1Am-1+a1A+a0I (ai F,i=0,1,m)，f(B)=amBm+am-1Bm-1+a1B+a0I。第14页，本讲稿共16页定理5.4 若矩阵A与B相似，则它们的特征多项式相等，即 I A=I B 从而A,B有相等的特征值。注意：此定理的逆命题不成立。例如：若A与对角阵相似呢？第15页，本讲稿共16页第16页，本讲稿共16页