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1、特征值及特征向量特征值及特征向量第1页，本讲稿共43页怎么理解怎么理解线性线性Ax+b代数代数在数域中研究问题在数域中研究问题2第2页，本讲稿共43页 代数学的一个分支，主要处理线性关系问题。线性代数学的一个分支，主要处理线性关系问题。线性关系即数学对象之间的关系是以一次形式来表达的。关系即数学对象之间的关系是以一次形式来表达的。例如，在解析几何里，平面上直线的方程是二元例如，在解析几何里，平面上直线的方程是二元一次方程；空间平面的方程是三元一次方程，而空间一次方程；空间平面的方程是三元一次方程，而空间直线视为两个平面相交，由两个三元一次方程所组成直线视为两个平面相交，由两个三元一次方程所组成
2、的方程组来表示。含有的方程组来表示。含有n个未知量的一次方程称为线性个未知量的一次方程称为线性方程。关于变量是一次的函数称为线性函数。方程。关于变量是一次的函数称为线性函数。线性关系问题简称线性问题。解线性方程组是最线性关系问题简称线性问题。解线性方程组是最简单的线性问题。简单的线性问题。3第3页，本讲稿共43页 线性代数作为独立的分支直到线性代数作为独立的分支直到2020世纪才形成，然世纪才形成，然而它的历史却非常久远。而它的历史却非常久远。最古老的线性问题是线性方程组的解法，在中最古老的线性问题是线性方程组的解法，在中国古代的数学著作九章算术国古代的数学著作九章算术方程章中，已经方程章中，
3、已经作了比较完整的叙述，其中所述方法实质上相当于作了比较完整的叙述，其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵的行施行初等变换，消现代的对方程组的增广矩阵的行施行初等变换，消去未知量的方法。去未知量的方法。随着研究线性方程组和变量的线性变换问题的深随着研究线性方程组和变量的线性变换问题的深入，行列式和矩阵在入，行列式和矩阵在1819世纪期间先后产生，为处世纪期间先后产生，为处理线性问题提供了有力的工具，从而推动了线性代数理线性问题提供了有力的工具，从而推动了线性代数的发展。的发展。4第4页，本讲稿共43页 向量概念的引入，形成了向量空间的概念。凡是向量概念的引入，形成了向量空间的概念。凡
4、是线性问题都可以用向量空间的观点加以讨论。因此，线性问题都可以用向量空间的观点加以讨论。因此，向量空间及其线性变换，以及与此相联系的矩阵理论，向量空间及其线性变换，以及与此相联系的矩阵理论，构成了线性代数的中心内容。构成了线性代数的中心内容。线性代数的含义随数学的发展而不断扩大。线性线性代数的含义随数学的发展而不断扩大。线性代数的理论和方法已经渗透到数学的许多分支。比如，代数的理论和方法已经渗透到数学的许多分支。比如，“以直代曲以直代曲”是人们处理很多数学问题时一个很自然是人们处理很多数学问题时一个很自然的思想。很多实际问题的处理，最后往往归结为线性的思想。很多实际问题的处理，最后往往归结为线
5、性问题，它比较容易处理。同时也是理论物理和理论化问题，它比较容易处理。同时也是理论物理和理论化学所不可缺少的代数基础知识。学所不可缺少的代数基础知识。5第5页，本讲稿共43页 因此，线性代数在工程技术和国民经济的许多领因此，线性代数在工程技术和国民经济的许多领域都有着广泛的应用，是一门基本的和重要的学科。域都有着广泛的应用，是一门基本的和重要的学科。线性代数的计算方法是计算数学里一个很重要的内容。线性代数的计算方法是计算数学里一个很重要的内容。应用真的那么广泛吗？应用真的那么广泛吗？证据之一：证据之一：The Matrix6第6页，本讲稿共43页快速处理问题快速处理问题把教四把教四A楼的人员分
6、布楼的人员分布把教四把教四A楼的每一层的人员总数楼的每一层的人员总数教四教四A楼的楼的AX01房间的人数总数房间的人数总数用计算机怎么算用计算机怎么算7第7页，本讲稿共43页本课程本课程线索：线性方程组线索：线性方程组核心概念：矩阵核心概念：矩阵8第8页，本讲稿共43页Matlab矩阵处理比较容易矩阵处理比较容易如果有时间的话，可以在课堂演示给大家如果有时间的话，可以在课堂演示给大家9第9页，本讲稿共43页1.1 1.1 若干典型问题若干典型问题若干典型问题若干典型问题1.2 1.2 矩阵及其初等变换矩阵及其初等变换矩阵及其初等变换矩阵及其初等变换1.3 1.3 解线性方程组的消元法解线性方程
7、组的消元法解线性方程组的消元法解线性方程组的消元法第一章解线性方程组的消元法 与矩阵的初等变换10第10页，本讲稿共43页1 若干典型问题若干典型问题线性方程组线性方程组它的解取决于系数它的解取决于系数和常数项和常数项故对线性方程组的故对线性方程组的研究可转化为对这研究可转化为对这张表的研究。张表的研究。引例111第11页，本讲稿共43页引例引例2 某航空公司在某航空公司在A,B,C,D四城四城市之间开辟了若干航线市之间开辟了若干航线,如图所示如图所示的四城市间的航班图的四城市间的航班图,如果从如果从A到到B有航班有航班,则用带箭头的线连接则用带箭头的线连接 A 与与B。四城市间的航班图情况常
8、用以下表格来表示四城市间的航班图情况常用以下表格来表示:0010D1001C0101B0110ADCBA 到站 发站1表示有航班,0表示没有航班12第12页，本讲稿共43页线性代数研究对象线性代数研究对象线性方程组线性方程组线性代数研究工具线性代数研究工具矩阵矩阵线性代数研究方法线性代数研究方法矩阵的初等变换矩阵的初等变换13第13页，本讲稿共43页1.1 1.1 若干典型问题若干典型问题若干典型问题若干典型问题1.2 1.2 矩阵及其初等变换矩阵及其初等变换矩阵及其初等变换矩阵及其初等变换1.3 1.3 解线性方程组的消元法解线性方程组的消元法解线性方程组的消元法解线性方程组的消元法第一章解
9、线性方程组的消元法 与矩阵的初等变换14第14页，本讲稿共43页 矩阵诞生于矩阵诞生于矩阵诞生于矩阵诞生于19191919世纪，晚于行列式约一百年。从表世纪，晚于行列式约一百年。从表世纪，晚于行列式约一百年。从表世纪，晚于行列式约一百年。从表面上看，矩阵与行列式不过是一种数学语言和书记符面上看，矩阵与行列式不过是一种数学语言和书记符面上看，矩阵与行列式不过是一种数学语言和书记符面上看，矩阵与行列式不过是一种数学语言和书记符号；但是，正是这种号；但是，正是这种号；但是，正是这种号；但是，正是这种“结构好的语言的好处，它的简结构好的语言的好处，它的简结构好的语言的好处，它的简结构好的语言的好处，它
10、的简洁的记法常常是深奥理论的源泉。洁的记法常常是深奥理论的源泉。洁的记法常常是深奥理论的源泉。洁的记法常常是深奥理论的源泉。”(P.S.Laplace)”(P.S.Laplace)”(P.S.Laplace)”(P.S.Laplace)进入进入进入进入20202020世纪，线性代数的发展曾一度被认为相当世纪，线性代数的发展曾一度被认为相当世纪，线性代数的发展曾一度被认为相当世纪，线性代数的发展曾一度被认为相当成熟，作为研究课题已寿终正寝。成熟，作为研究课题已寿终正寝。成熟，作为研究课题已寿终正寝。成熟，作为研究课题已寿终正寝。随着电子计算机的随着电子计算机的随着电子计算机的随着电子计算机的发展
11、，各种快速算法相继涌现，矩阵数值分析快速发发展，各种快速算法相继涌现，矩阵数值分析快速发发展，各种快速算法相继涌现，矩阵数值分析快速发发展，各种快速算法相继涌现，矩阵数值分析快速发展，矩阵理论研究进入一个新的发展阶段。展，矩阵理论研究进入一个新的发展阶段。展，矩阵理论研究进入一个新的发展阶段。展，矩阵理论研究进入一个新的发展阶段。同学们可以理解矩阵为：同学们可以理解矩阵为：“简洁而不简单简洁而不简单”2 矩阵及其初等变换矩阵及其初等变换15第15页，本讲稿共43页 为表示它是一个为表示它是一个整体，总是加一个括号，并用大写字母记之。整体，总是加一个括号，并用大写字母记之。定义定义定义定义16第
12、16页，本讲稿共43页(1)11的矩阵就是一个数。的矩阵就是一个数。(2)行数与列数都等于行数与列数都等于 n 的矩阵的矩阵 A，称为，称为 n 阶方阶方阵或阵或 n 阶矩阵。阶矩阵。(3)只有一行的矩阵只有一行的矩阵称为行矩阵或称为行矩阵或 n 维行向量。维行向量。ai 称为称为A的第的第 i 个分量。个分量。称为列矩阵或称为列矩阵或 m 维列向量。维列向量。ai 称为称为A的第的第 i 个分量。个分量。(4)只有一列的矩阵只有一列的矩阵17第17页，本讲稿共43页(5)元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为O。(6)矩阵矩阵(约定未写出元素全为零约定未写出元素全为零)称为单位矩阵。称为单位矩阵。
13、(7)矩阵矩阵称为对角矩阵。记作称为对角矩阵。记作18第18页，本讲稿共43页定义定义定义定义设 ，如果(此时称此时称A与与B是是同型矩阵同型矩阵同型矩阵同型矩阵)且且则称则称 A A 与与与与 B B 相等相等相等相等，记作，记作 A=B。问：与 相等吗？19第19页，本讲稿共43页 称矩阵的下面三种变换为称矩阵的下面三种变换为初等行变换初等行变换初等行变换初等行变换(1)交换矩阵的某两行，记为(2)以不等于的数乘矩阵的某一行，记为(3)把矩阵的某一行乘上一个数加到另一行上，记为类似定义三种类似定义三种初等列变换初等列变换初等列变换初等列变换以上六种变换统称为矩阵的以上六种变换统称为矩阵的初
14、等变换初等变换初等变换初等变换定义定义定义定义20第20页，本讲稿共43页初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同且变换类型相同且变换类型相同且变换类型相同初等列变换也有类似的结果初等列变换也有类似的结果逆变换逆变换逆变换21第21页，本讲稿共43页定义定义定义定义行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵及及行最简行最简行最简行最简(阶梯阶梯阶梯阶梯)形矩阵形矩阵形矩阵形矩阵(行最简行最简形就是所谓的最简单的形就是所谓的最简单的“代表代表”)书书P5 定义定义4行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵22第22页，
15、本讲稿共43页行最简阶梯形矩阵行最简阶梯形矩阵（1）台阶左下方元素全为零；（2）每个台阶上只有一行；（3）每个台阶上第一个元素不为零。行阶梯形矩阵：行最简阶梯形行最简阶梯形(1)(2)(3)+(4)台阶上的第一个元素为台阶上的第一个元素为1,且其所在列其它元素全为零。且其所在列其它元素全为零。23第23页，本讲稿共43页 只用初等行变换必能将矩阵化为行阶梯形，只用初等行变换必能将矩阵化为行阶梯形，只用初等行变换必能将矩阵化为行阶梯形，只用初等行变换必能将矩阵化为行阶梯形，从而再化为行最简形。行阶梯形不唯一，行最简形唯一。从而再化为行最简形。行阶梯形不唯一，行最简形唯一。从而再化为行最简形。行阶
16、梯形不唯一，行最简形唯一。从而再化为行最简形。行阶梯形不唯一，行最简形唯一。书书P6 定理定理1.1.1定理定理定理定理 例1为什么这样做24第24页，本讲稿共43页化阶梯形：从上到下，从左到右化阶梯形：从上到下，从左到右化阶梯形：从上到下，从左到右化阶梯形：从上到下，从左到右,化最简形：从下向上，从右到左。化最简形：从下向上，从右到左。化最简形：从下向上，从右到左。化最简形：从下向上，从右到左。25第25页，本讲稿共43页(等价关系)定义定义定义定义 如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵A与B等价，记作 。等价满足：(1)自反性：(2)对称性：(3)传递性：26第26页，本讲稿共
17、43页作业作业P7 4,527第27页，本讲稿共43页1.1 1.1 若干典型问题若干典型问题若干典型问题若干典型问题1.2 1.2 矩阵及其初等变换矩阵及其初等变换矩阵及其初等变换矩阵及其初等变换1.3 1.3 解线性方程组的消元法解线性方程组的消元法解线性方程组的消元法解线性方程组的消元法第一章解线性方程组的消元法 与矩阵的初等变换28第28页，本讲稿共43页3 解线性方程组的消元法解线性方程组的消元法讨论有n个未知数m个方程的线性方程组 是否有解？是否有解？若有解，解是否唯一？若有解，解是否唯一？如何求出所有的解？如何求出所有的解？29第29页，本讲稿共43页若若B=(b1,b2,bm)
18、TO，则称则称(1)为为非齐次线性方程组非齐次线性方程组若若B=(b1,b2,，bm)TO，即：即：则称则称(2)为为(1)对应的对应的齐次线性方程组齐次线性方程组（或（或(1)的导出组的导出组）30第30页，本讲稿共43页系数矩阵系数矩阵增广矩阵增广矩阵31第31页，本讲稿共43页解线性方程组解线性方程组解解互换互换(1)与与(2)的的位置得位置得 例132第32页，本讲稿共43页(2)-(1)2,(3)-(1)4(3)-(2)33第33页，本讲稿共43页(3)(-1/2)消元过程结束，以下过程称为以下过程称为“回代过程回代过程回代过程回代过程”。34第34页，本讲稿共43页(2)(-1/3
19、)(1)-(3)2，(2)+(3)235第35页，本讲稿共43页所以，消元法所以，消元法增广矩阵的初等行变换增广矩阵的初等行变换消元过程就是增广矩阵化为行阶梯形矩阵，消元过程就是增广矩阵化为行阶梯形矩阵，回代过程就是继续化成行最简阶梯形的过程。回代过程就是继续化成行最简阶梯形的过程。(1)(2)原方程组的解为：原方程组的解为：36第36页，本讲稿共43页解线性方程组解线性方程组解：解：增广矩阵增广矩阵 例237第37页，本讲稿共43页即即则原方程组的解为则原方程组的解为有何特点？有何特点？38第38页，本讲稿共43页解：解：同解方程组最后一个方程同解方程组最后一个方程0=-2是矛盾方程，是矛盾
20、方程，所以方程组无解。所以方程组无解。例3特点特点39第39页，本讲稿共43页 例4求解齐次线性方程组解解解解 对系数矩阵对系数矩阵A施行初等行变换化为最简阶梯形施行初等行变换化为最简阶梯形:40第40页，本讲稿共43页写出等价方程组并移项写出等价方程组并移项:有何特点？有何特点？41第41页，本讲稿共43页令写出参数形式的通解写出参数形式的通解通解其中为任意实数。我们已经初步掌握了线性方程组的求解过程，比较上我们已经初步掌握了线性方程组的求解过程，比较上述三个例题，可得线性方程组解的简要判别，述三个例题，可得线性方程组解的简要判别，书书P12-15，我们将在后面的章节中学习。，我们将在后面的章节中学习。42第42页，本讲稿共43页作业作业P16 1(2),2(2)43第43页，本讲稿共43页