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5.2特征值与特征向量,定义7,设A为n阶方阵,若存在数和非零的n维列向量x,使得,Ax=x(5.5),则称数为矩阵A的特征值,称x为矩阵A对应于特征值的特征向量.,设x是对应于特征值的特征向量,由于,A(kx)=k(Ax)=k(x)=(kx)k0,所以,kx也是A的对应于特征值的特征向量.这说明特征向量不是被特征值唯一决定的.但是,特征值是被特征向量唯一决定的.因此一个特征向量只属于一个特征值.,(5.5)也可以写成,(A-I)x=0(5.6),这是一个含n个未知量的齐次线性方程组.根据定义7,A的特征值就是使(5.6)有非零解的,而方程(5.6)有非零解的充要条件是,|A-I|=0(5.7),方程(5.7)的右端|A-I|为的多项式,因此A的特征值就是该多项式的根.此多项式称为A的特征多项式.,0是方阵A的特征值,则由,(A-0I)x=0,可求得非零解x=P0,P0就是A的对应于特征值0的一个特征向量.,综上所述,求矩阵A的特征值及特征向量的步骤如下:,第一步计算特征多项式|A-I|;,第二步求出特征多项式|A-I|的的全部根,即A的全部特征值.,第三步对于A的每个特征值0,求出齐次线性方程组(A-0I)x=0的一个基础解系.,定理3,(2)由于,推论,n阶方阵A可逆的充要条件是A的n个特征值非零.,注:,例11设A是奇数阶实矩阵，,证,思考题：,