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1、线性代数课件 特征值与特征向量1第1页，本讲稿共34页一、特征值与特征向量的概念一、特征值与特征向量的概念第第二二节节 方方阵阵的的特特征征值值与与特特征征向向量量定义 设 是 阶矩阵，如果数 和 维非零列向量 使关系式成立，成立，那么这样的数 称为方阵 的特征值；非零向量 称为方阵 的对应于特征值 的特征向量.注意：注意：关系式 是特征值与特征向量满足的条 件式，由此可知 必须为方阵.零向量显然满足关系式 ，但零向量不 是特征向量.特征向量是非零向量特征向量是非零向量.2第2页，本讲稿共34页二、特征值与特征向量的求法二、特征值与特征向量的求法1.结论的引入结论的引入若 是 的特征值，是 的
2、对应于 的特征向量，则有方程 有非零解，且 是它的一个非零解 是代数方程 的根.3第3页，本讲稿共34页以 为未知数的一元 次方程称为方阵 的特征方程.以 为变元的 次多项式 ，即称为方阵 的特征多项式.4第4页，本讲稿共34页2.结论结论 矩阵矩阵 的特征方程的特征方程 的根就是的根就是 的的特征值特征值.在复数范围内在复数范围内 阶矩阵有阶矩阵有 个特征值个特征值(重重根按重数计算根按重数计算).设设 是方阵是方阵 的一个特征值，则齐次方程的一个特征值，则齐次方程的全体非零解就是 的对应于特征值 的全部特征向量；齐次方程 的基础解系就是对应于特征值 的全体特征向量的最大无关组.5第5页，本
3、讲稿共34页例1 求矩阵 的特征值和特征向量.解解 析：这是一道非常简单的求特征值和特征向析：这是一道非常简单的求特征值和特征向量的题目，意在熟悉特征值和特征向量的求法和量的题目，意在熟悉特征值和特征向量的求法和步骤步骤.的特征多项式所以 的特征值为6第6页，本讲稿共34页当 时，对应的特征向量应满足即解得得基础解系所以对应于 的全部特征向量为7第7页，本讲稿共34页当 时，对应的特征向量应满足即解得得基础解系所以对应于 的全部特征向量为8第8页，本讲稿共34页例2 求矩阵的特征值和特征向量.解解 的特征多项式所以 的特征值为9第9页，本讲稿共34页当 时，解齐次方程 ，得基础解系得基础解系所
4、以对应于 的全部特征向量为10第10页，本讲稿共34页得基础解系得基础解系当 时，解齐次方程 ，所以对应于 的全部特征向量为11第11页，本讲稿共34页例3 求矩阵的特征值和特征向量.解解 的特征多项式所以 的特征值为12第12页，本讲稿共34页当 时，解齐次方程 ，得基础解系得基础解系所以对应于 的全部特征向量为13第13页，本讲稿共34页得基础解系得基础解系当 时，解齐次方程 ，所以对应于 的全部特征向量为(不同时为0).14第14页，本讲稿共34页说明例2和例3属于同一类型，解题方法和步骤也完全一致.但是，要注意它们的区别，在例2中，对应于2重特征值 仅有一个线性无关特征向量；在例3中，
5、对应于2重特征值 有两个线性无关特征向量.15第15页，本讲稿共34页三、特征值与特征向量的性质三、特征值与特征向量的性质 设设 阶矩阵阶矩阵 的的 个个(在复数范围内在复数范围内)特征值为特征值为 则则(的迹 )1.特征值的性质特征值的性质 若若 是是 的特征值，且的特征值，且 ，则，则 是矩阵是矩阵的特征值的特征值.证明举例证明举例16第16页，本讲稿共34页 若若 是是 的特征值，则的特征值，则 是矩阵是矩阵 的的特征值特征值.一般地，若 是 的特征值，且则 是矩阵 的特征值.说明说明 如果 ，则上述结论中的幂指数可取任意实数.证明证明 若若 是是 的特征值，且的特征值，且 ，则，则 是
6、是 的的特征值特征值.证明证明特特征征值值的的性性质质17第17页，本讲稿共34页 若若 阶矩阵阶矩阵 的秩为的秩为 ，则，则 0 一定一定是的特征值是的特征值.但是必须注意但是必须注意 0 不一定不一定 是重特是重特征值征值.证明证明 设设 为为 阶矩阵，则阶矩阵，则 与与 的特征值相同的特征值相同.证明证明特特征征值值的的性性质质18第18页，本讲稿共34页 若若 是是 的对应于的对应于 的特征向量，则的特征向量，则 也是也是 的对应于的对应于 的特征向量的特征向量.若若 是是 的对应于的对应于 的特征向量，则的特征向量，则 也是也是 的对应于的对应于 的特征向量的特征向量.2.特征向量的
7、性质特征向量的性质 设设 是方阵是方阵 的的 个特征值，个特征值，依次是与之对应的特征向量，依次是与之对应的特征向量，如果 互不相等，则 线性无关.证明举例19第19页，本讲稿共34页例4 设3阶矩阵 的特征值 为求解 析：此例的目的是熟悉特征值的性质(1)(2)(3),根据性质(1)知，求得 的全部特征值，就可求得 .此方法提供了求行列式的一个方法，即方阵 的行列式=的全部特征值之积.因为的特征值为 ，全不为0，所以 可逆，且则有故 的特征值为20第20页，本讲稿共34页因此因此21第21页，本讲稿共34页例5 设 和 是矩阵 的两个不同的特征向量，对应的特征向量依次为 和 ，证证 根据题设
8、，有根据题设，有析：要证明一个向量不是特征向量，通常用析：要证明一个向量不是特征向量，通常用反证法反证法.用反证法，假设 是 的特征向量，则存在数 ，使 证明 不是 的特征向量.22第22页，本讲稿共34页因为 ，所以 线性无关，故即有与题设矛盾与题设矛盾.因此 不是 的特征向量.23第23页，本讲稿共34页四、小结四、小结v设 是 阶矩阵，若有数 和非零列向量 ，使则称 是 的特征值，为 的对应于 的特征向量.v矩阵 的特征值是特征方程 的根.v矩阵 的对应于特征值 的特征向量是齐次方程的非零解的非零解.v特征值和特征向量的性质特征值和特征向量的性质.24第24页，本讲稿共34页特特征征值值
9、的的性性质质的的证证明明 证证 因为 是 的 个特征向量，则有即即令 ，即得另一方面，根据行列式的定义知，上述行列式的另一方面，根据行列式的定义知，上述行列式的展开式中，只有对角元之积含有展开式中，只有对角元之积含有25第25页，本讲稿共34页这些项中不含比较两端的 的系数，可得即证毕证毕特特征征值值的的性性质质的的证证明明26第26页，本讲稿共34页特特征征值值的的性性质质的的证证明明因为 是 的特征值，证证所以存在非零向量 使又由 知，可逆，且 ，所以这表明 是矩阵 的特征向量.证毕证毕27第27页，本讲稿共34页特特征征值值的的性性质质的的证证明明 证证因为 是 的特征值，所以存在非零向
10、量 使用 左乘上式两端得这表明 是矩阵 的特征向量.类似地，可以证 是矩阵 的特征向量.证毕证毕28第28页，本讲稿共34页特特征征值值的的性性质质的的证证明明 证证因为 是 的特征值，所以存在非零向量 使又因为 ，所以这表明 是矩阵 的特征向量.证毕证毕29第29页，本讲稿共34页特特征征值值的的性性质质的的证证明明 证证因为所以 而有非零解因此存在非零向量 ，使这表明 0 是 的特征值.证毕证毕30第30页，本讲稿共34页特特征征值值的的性性质质的的证证明明 证证 根据特征值满足的条件：是特征方程 的根，所以要证 与 的特征值相同，只需证它们的特征方程相同，也即只需证它们的只需证它们的特征
11、方程相同，也即只需证它们的特征多项式相同特征多项式相同.因为因为所以 与 的特征多项式相同，从而 与 的特征值相同.证毕证毕31第31页，本讲稿共34页特特征征向向量量的的性性质质的的证证明明证 设存在 使是方阵 的特征值，依次是与之对应的特征向量，即有依次是与之对应的特征向量，即有因为因为所以所以即即(1)(2)(3)32第32页，本讲稿共34页类推下去有(m)把以上 个等式合写成矩阵等式，得上式左端的第二个矩阵的行列式是范德蒙德行上式左端的第二个矩阵的行列式是范德蒙德行列式，列式，当 互不相等时，该行列式不等于0，从而该矩阵可逆.于是有特特征征向向量量的的性性质质的的证证明明33第33页，本讲稿共34页即又因此必有所以 向量组线性无关.证毕证毕特特征征向向量量的的性性质质的的证证明明34第34页，本讲稿共34页