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1、特征值与特征向量的概念第1页，本讲稿共18页成立，那么，这样的数成立，那么，这样的数 称为方阵称为方阵A 的的特征值特征值，非零，非零向量向量 x 称为称为A 的对应于特征值的对应于特征值 的的特征向量特征向量。(A E)x=0 (2)这是这是 n 个未知数、个未知数、n 个方程的齐次线性方程组。它有个方程的齐次线性方程组。它有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零，即非零解的充分必要条件是系数行列式等于零，即 特征值与特征向量的概念特征值与特征向量的概念 定义定义6 设设A是是 n 阶方阵，如果数阶方阵，如果数 和和 n 维非零维非零列向量列向量 x 使关系式使关系式A x=x (1)(1)
2、式也可以写成如下形式：式也可以写成如下形式：|A E|=0 (3)上页下页返回第2页，本讲稿共18页上式是以上式是以特征方程特征方程。由由(2)式和式和(3)式可知式可知 (i).A 的特征值就是特征方程的解；的特征值就是特征方程的解；(ii).特征方程在复数范围内一定有特征方程在复数范围内一定有 n 个根（重根个根（重根按重数计算）。因此，按重数计算）。因此，n 阶方阵阶方阵A有有 n 个特征值。个特征值。为未知数的一元为未知数的一元 n 次方程，称为方阵次方程，称为方阵A 的的其左端其左端称为称为A 的的特征多项式特征多项式。上页下页返回第3页，本讲稿共18页 注意注意:(1).实矩阵的特
3、征值不一定是实数，复数特征实矩阵的特征值不一定是实数，复数特征值是共轭成对出现的；值是共轭成对出现的；(2).特征向量必为非零向量。特征向量必为非零向量。上页下页返回第4页，本讲稿共18页特征值与特征向量的步骤特征值与特征向量的步骤上页下页返回第5页，本讲稿共18页解解例例5A 的特征多项式是：的特征多项式是：上页下页返回第6页，本讲稿共18页所以特征向量可取：所以特征向量可取：上页下页返回第7页，本讲稿共18页解得解得 x1=x2,所以特征向量可取为：所以特征向量可取为：上页下页返回第8页，本讲稿共18页的特征值和特征向量。的特征值和特征向量。例例6 6解解所以所以 A 的特征值是的特征值是
4、求矩阵求矩阵A 的特征多项式是的特征多项式是上页下页返回第9页，本讲稿共18页上页下页返回第10页，本讲稿共18页上页下页返回第11页，本讲稿共18页例例7解解求矩阵求矩阵上页下页返回第12页，本讲稿共18页上页下页返回第13页，本讲稿共18页上页下页返回第14页，本讲稿共18页例例8 8证证 上页下页返回第15页，本讲稿共18页定理定理2 2证证上页下页返回第16页，本讲稿共18页把上列各式写成矩阵的形式，得把上列各式写成矩阵的形式，得上式等号左端第二个矩阵的行列式为范德蒙行列式，上式等号左端第二个矩阵的行列式为范德蒙行列式，各不相等时，该各不相等时，该 行列式不等于行列式不等于 0，从而该矩阵，从而该矩阵可逆。可逆。于是有于是有上页下页返回第17页，本讲稿共18页Ex.6证证上页返回第18页，本讲稿共18页