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1、特征值与特征向量二次型第1页，本讲稿共18页特征值定义相似求法实对称阵隐含的信息性质特征值定义特征多项式特征向量不同特征值的特征向量线性无关k重特征值至多有k个线性无关的特征向量概念矩阵对角化应用第2页，本讲稿共18页 显然，如果矩阵显然，如果矩阵A可逆，则可逆，则A的特征值不等于的特征值不等于0.一、特征值与特征向量一、特征值与特征向量第3页，本讲稿共18页4.对角阵5.属于不同特征值的特征向量是线性无关的第4页，本讲稿共18页一、矩阵的相似一、矩阵的相似3 3、若 阶方阵A与对角阵 相似，第5页，本讲稿共18页三、方阵对角化三、方阵对角化3 3、如果如果n阶矩阵阶矩阵A的的n个特征值互不相
2、等，则个特征值互不相等，则A与对角阵相似与对角阵相似4、如果如果A的特征方程有的特征方程有r重根重根，而，而没有没有r个线性无关的特征向量，个线性无关的特征向量，则矩阵则矩阵A不能对角化不能对角化.5、实对称阵一定能对角化实对称阵一定能对角化.第6页，本讲稿共18页一、正交矩阵一、正交矩阵定义定义14、A为正交矩阵的充要条件是A的行、列向量组都是两两正交的单位向量第7页，本讲稿共18页二、向量的内积二、向量的内积定义定义1 1内积定义定义2 2正交正交正交向量组：非零向量组中的向量两两正交。第8页，本讲稿共18页（1）正交化正交化，取取 ，三、三、SchmidtSchmidt正交化规范化过程正
3、交化规范化过程第9页，本讲稿共18页（2）单位化单位化，取，取施密特正交化过程施密特正交化过程第10页，本讲稿共18页（2 2）n阶实对称矩阵有阶实对称矩阵有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.四、实对称矩阵隐含的信息四、实对称矩阵隐含的信息（3）实对称矩阵属于不同特征值的特征向量一定正交实对称矩阵属于不同特征值的特征向量一定正交.（4）n阶实对称矩阵有阶实对称矩阵有n个两两正交的单位特征向量个两两正交的单位特征向量.（5 5）对于）对于n阶实对称矩阵阶实对称矩阵A A，一定有正交阵，一定有正交阵T T，对角阵，对角阵D D，使得，使得其中对角阵其中对角阵D D对角线上的元素是对角线上
4、的元素是T T的各列所对应的特征值。的各列所对应的特征值。第11页，本讲稿共18页根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为对角矩阵，其具体步骤为：为：将特征向量正交化将特征向量正交化;3.将特征向量单位化将特征向量单位化.4.2.1.构造正交阵构造正交阵T.5.第12页，本讲稿共18页二次型与它的矩阵是一一对应的n n元二次型元二次型 A与与B合同合同合同合同：，其中C可逆。可逆。A与与B合同合同.二次型二次型XAX可经非退化线性替换化为二次型可经非退化线性替换化为二次型YBY定理定理第13页，本讲稿共18页正交变换法化二次型为标准形
5、正交变换法化二次型为标准形第一步第一步 写出写出f 的矩阵的矩阵A A第二步第二步 求求A A的特征值的特征值第三步第三步 并将属于并将属于i i的特征向量正交化的特征向量正交化第四步第四步 将特征向量单位化将特征向量单位化第五步第五步 得到正交变换得到正交变换X=TY第14页，本讲稿共18页定义定义正定二次型第15页，本讲稿共18页正定性的相关结论正定性的相关结论正定性的相关结论正定性的相关结论1)实二次型实二次型 正定正定 3）非退化线性替换不改变二次型的正定性非退化线性替换不改变二次型的正定性.秩秩 n （的正惯性指数）的正惯性指数）.2）(定理定理定理定理2 2)n元实二次型元实二次型
6、 正定正定规范形为规范形为 4）正定二次型正定二次型 的标准形为的标准形为 等价描述等价描述：实对称矩阵实对称矩阵A A正定正定 A A与单位矩阵与单位矩阵E E合同合同.第16页，本讲稿共18页5）实二次型实二次型XAXXAX正定的正定的充分必要条件充分必要条件是实对称阵是实对称阵A A的的特征值都是正数特征值都是正数。6）正定矩阵正定矩阵A A的行列式大于的行列式大于0.0.7）二次型二次型 是正定的是正定的充分充分必要条件必要条件是是实对实对称矩称矩阵阵 的各的各阶顺阶顺序主子序主子式都大于式都大于0。8）二次型二次型 是是负负定的定的充分必要条件充分必要条件是实对称矩阵是实对称矩阵 的奇数阶顺序主子式都小的奇数阶顺序主子式都小于于0 0，而偶，而偶数阶顺序主子式都大于数阶顺序主子式都大于0。第17页，本讲稿共18页解解第18页，本讲稿共18页