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1、一、特征值与特征向量的概念定义：定义：设设A A 是是n n阶矩阵，如果数阶矩阵，如果数 与与n n维维非零非零列向量列向量 x x使得使得称称 为为A A的一个的一个特征值特征值，x x 为对应于特征值为对应于特征值 的的特征向量特征向量。注：注：1.1.特征值向量特征值向量 x x 0,0,特征值问题是对特征值问题是对方阵方阵而言的而言的.2.n 2.n 阶方阵阶方阵A A 的特征值，就是使齐次线性方程组的特征值，就是使齐次线性方程组有有非零解非零解的值的值 ，3.3.是是A A 的特征值，则的特征值，则4.4.的特征向量的全体加的特征向量的全体加 零向量零向量 构成构成 R Rn n 的
2、线性的线性 子空间，记子空间，记 V V ,其其维数维数为为 n n-r r(E E-A)A)第1页/共65页这是一个这是一个n n 次方程，称为矩阵次方程，称为矩阵A A的的特征方程特征方程记记它是一个它是一个n n次多项式，次多项式，称为称为A A 的的特征多项式特征多项式。注：注：在在复数域复数域中，特征值有中，特征值有n n个个（包括重数）（包括重数）在一般数域中不然。在一般数域中不然。第2页/共65页求矩阵特征值与特征向量的步骤：1.1.计算计算A A的特征多项式的特征多项式3.3.对特征值对特征值 求齐次线性方程组求齐次线性方程组的非零解，就是对应于的非零解，就是对应于 的的特征向
3、量特征向量。2.2.求求A A的特征方程的特征方程的全部根，的全部根，即即A A的特征值的特征值第3页/共65页解例1 所得所对应的特征向量为:当当 时时 ,由由 第4页/共65页当当 时时 ,由由 第5页/共65页例 解当当 时时 ,由由 即即解得解得基础解系：基础解系：第6页/共65页当当 时时 ,由由 而而解得解得基础解系：基础解系：第7页/共65页例 证明：若 是矩阵A的特征值，是A的属于 的特征向量，则证明再继续施行上述步骤 次，就得是特征值的性质是特征值的性质第8页/共65页二、特征值和特征向量的性质二、特征值和特征向量的性质二、特征值和特征向量的性质二、特征值和特征向量的性质1.
4、1.设设n n 阶方阵阶方阵A A的特征值为：的特征值为：则则2.2.A A 与其转置矩阵与其转置矩阵A AT T 有相同的特征值，事实上有相同的特征值，事实上 有相同的特征多项式。有相同的特征多项式。称为矩阵的迹称为矩阵的迹第10页/共65页3.3.若若 是矩阵是矩阵A A的特征值的特征值,x x 是是A A的属于的属于 的的 特征向量，则特征向量，则(2).(2).mm 是矩阵是矩阵A Amm的特征值的特征值(1).k(1).k 是矩阵是矩阵 k kA A 的特征值的特征值(4).(4).当当A A可逆时，可逆时，是矩阵是矩阵 的特征值的特征值则则 g g()是矩阵是矩阵 g g(A A)
5、的特征值的特征值为为A A的伴随矩阵的伴随矩阵A*A*的特征值的特征值(3).(3).设设 第11页/共65页证明则则即即类推之，有类推之，有定理定理设设是方阵是方阵A A的特征值，的特征值，是与之对应的特征向量，如果是与之对应的特征向量，如果各不相等，证明各不相等，证明 线性无关。线性无关。第12页/共65页把上列各式合写成矩阵形式，得把上列各式合写成矩阵形式，得第13页/共65页推论推论线性无关。线性无关。定理定理 是是n n 阶方阵阶方阵A A的的k k 重特征值重特征值 ，V V 是其对应的是其对应的 特征子空间，则特征子空间的维数特征子空间，则特征子空间的维数 dimdim(V(V)
6、k k,即即几何重数不超过代数重数几何重数不超过代数重数。设设是是n n 阶方阵阶方阵A A的不同的特征值，的不同的特征值，是是A A对应于对应于 的线性无关的线性无关的特征向量，则向量组的特征向量，则向量组第14页/共65页注意.属于不同特征值的特征向量是线性无关的属于不同特征值的特征向量是线性无关的.属于同一特征值的特征向量的非零线性属于同一特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量组合仍是属于这个特征值的特征向量.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值 而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个
7、特征向量不能属于不同的特征值一个特征向量不能属于不同的特征值3 3的说明的说明第16页/共65页思考题第17页/共65页矩矩 阵阵 的的 对对 角角 化化第19页/共65页相似矩阵的定义相相似似矩矩阵阵的的性性质质定义定义1 1易得易得:若若 A A与与 B B 相似相似，则，则 A Am m 与与 B Bmm 相似相似,kA kA 与与 kB kB 相似相似，g(A)g(A)与与 g(B)g(B)相似相似.矩阵矩阵A,B A,B 都是都是n n阶方阵，若有可逆矩阵阶方阵，若有可逆矩阵P P，使，使 P P-1-1AP=BAP=B则称则称B B是是A A的相似矩阵，或说矩阵的相似矩阵，或说矩阵
8、A A与与B B相似，相似，记记 ABAB第20页/共65页3.3.若若n n 阶矩阵阶矩阵A A与与B B 相似相似，它们有相同的特征多项式，它们有相同的特征多项式，因而因而 有相同的有相同的特征值特征值，相同的，相同的行列式行列式，相同的，相同的迹迹。即即A A的迹的迹B B的的迹迹4.若n阶方阵A与对角阵则则 是是A A的特征值的特征值相相似似矩矩阵阵的的性性质质第21页/共65页利用对角矩阵计算矩阵多项式k个第22页/共65页利用上述结论可以利用上述结论可以很方便地计算矩阵很方便地计算矩阵A A 的多项式的多项式 .第23页/共65页定理证明：二、矩阵相似于对角阵的条件对对n n阶方阵
9、阶方阵A A，若可找到可逆矩阵，若可找到可逆矩阵P P，使得，使得为对角阵，称为把矩阵为对角阵，称为把矩阵A A对角化对角化。推论推论 若若A A有有n n个不同的特征值，则个不同的特征值，则 A A 可对角化。可对角化。定理定理 n n阶方阵阶方阵A A与对角阵相似（即与对角阵相似（即A A能对角化）能对角化）的充要条件是的充要条件是A A 有有n n个线性无关的特征向量。个线性无关的特征向量。第24页/共65页例例1 1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？判断下列实矩阵能否化为对角阵？解第28页/共65页解之得解之得基础解系基础解系由由当当 时，时，求得基础解系求得基础解系由由 当当 时，时，
10、显然显然 线性无关线性无关即即 A A 有有3 3个线性无关的特征向量，所以个线性无关的特征向量，所以A A可对交化。可对交化。第29页/共65页解之得基础解系解之得基础解系故故 不能化为对角矩阵不能化为对角矩阵.由由第30页/共65页解例例 判断判断能否对角化？若能对角化，求出矩阵能否对角化？若能对角化，求出矩阵P P，使，使为对角阵，并求为对角阵，并求 A An n第31页/共65页解之得基础解系由由当当 时，时，同理当同理当 时，时，可解得其特征向量：可解得其特征向量：所以 可对角化.令令则则第32页/共65页注意即矩阵即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置的列向量和对角矩阵中特征值的
11、位置要相互对应要相互对应第33页/共65页例例 设矩阵设矩阵问问a,b,ca,b,c为何值时为何值时A A 相似于对角阵？相似于对角阵？并求出它相似的对角阵并求出它相似的对角阵解解 显然显然A A的特征值为的特征值为1 1，2 2 并且都是并且都是2 2重特征值重特征值 ，因此，因此对应于对应于=1=1，与，与=2=2都应有两个线性无关的特征向量。都应有两个线性无关的特征向量。所以所以 E E-A A 与与2 2E E-A A 的秩都应为的秩都应为2 2第34页/共65页显然显然显然显然所以所以 a=c=0a=c=0，b b 任意，并且任意，并且第35页/共65页习题习题阶矩阵满足阶矩阵满足
12、证明证明：能相似于对角矩阵。：能相似于对角矩阵。第36页/共65页实对称矩阵的对角化第37页/共65页正交矩阵定义：正交矩阵的性质：正交矩阵的性质：(2)(2)正交矩阵的行向量与列向量都是正交矩阵的行向量与列向量都是 标准标准正交向量正交向量组组(3)(3)若若 A A、B B 都是正交矩阵，都是正交矩阵，则则A AT T,A,A-1-1,AB,AB 也是正交矩阵也是正交矩阵(4)(4)若若 A A 是正交矩阵是正交矩阵,则则 证明见下页证明见下页(5)(5)正交矩阵正交矩阵的特征值的特征值只能为只能为 第38页/共65页把矩阵把矩阵A A按行分块按行分块下面给出列向量两两正交的证明下面给出列
13、向量两两正交的证明第39页/共65页例例 判别下列矩阵是否为正交阵判别下列矩阵是否为正交阵解所以它所以它不是不是正交矩阵正交矩阵(1)(1)考察矩阵的第一列和第二列，考察矩阵的第一列和第二列，由于由于第40页/共65页所以它是正交矩阵由于(2)(2)第41页/共65页定理1实对称矩阵的特征值为实数.证明说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均指明，均指实对称矩阵实对称矩阵1.1.对称矩阵的性质对称矩阵的性质对称矩阵的对角化对称矩阵的对角化第43页/共65页证明于是第46页/共65页定理定理3 3 设设A A 为实对称矩阵，为实对称矩阵，则存在正交矩阵则存在
14、正交矩阵QQ，使得使得A A对角化，即对角化，即其中其中为为A A的特征值的特征值第47页/共65页有标准正交化过程知，必能找到个维向量，有标准正交化过程知，必能找到个维向量，为两两正交的单位向量组，为两两正交的单位向量组，则则为正交矩阵，且为正交矩阵，且证证:对的阶数用数学归纳法。对的阶数用数学归纳法。当时，结论显然成立。当时，结论显然成立。假设当假设当-1-1是时，结论成立，是时，结论成立，设为看设为看k k 阶实对称矩阵，因为的特征根全为实数，所以至少有一个实阶实对称矩阵，因为的特征根全为实数，所以至少有一个实特征向量，不妨设为特征向量，不妨设为 为的实特征向量，且为单位向量，为的实特征
15、向量，且为单位向量，为对应的特为对应的特征值，征值，第48页/共65页其中其中为阶实对称矩阵，有归纳假设，存在阶为阶实对称矩阵，有归纳假设，存在阶正交矩阵使得，正交矩阵使得，第49页/共65页显然为正交阵，且显然为正交阵，且显然为正交矩阵，且显然为正交矩阵，且此定理说明，阶实对称矩阵一定有个线性无关的特征向量此定理说明，阶实对称矩阵一定有个线性无关的特征向量第50页/共65页推论推论设为阶对称矩阵，则其代数重数设为阶对称矩阵，则其代数重数与几何重数相等。与几何重数相等。即，设为阶对称矩阵，即，设为阶对称矩阵，是的特征方程的是的特征方程的重根，则恰有个线性无关的特征向量。重根，则恰有个线性无关的
16、特征向量。即即齐次线性方程组齐次线性方程组的基础解系含有个解向量。的基础解系含有个解向量。第51页/共65页根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：将特征向量正交化;3.将特征向量单位化.4.2.1.二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法第52页/共65页解例 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ，使 为对角阵.(1)第一步 求 的特征值第53页/共65页解之得基础解系 解之得基础解系第二步求出的特征向量第二步求出的特征向量当当 时，时，当当 时，时，第54页/共65页解之得基础解系第三步 将特征向量正交化第四步 将特征向量单位化
17、当当 时，时，第55页/共65页第56页/共65页（2 2）解：）解：求求出出A A 的特征值的特征值得特征向量得特征向量当当 =8=8时时单位化单位化求出的特征向量求出的特征向量第57页/共65页得得 特征向量特征向量 当当 =5=5时，时，正交化正交化得得单位化单位化得得第58页/共65页取取 正交矩阵正交矩阵得得 第59页/共65页思考题第60页/共65页1.n1.n阶是实对称矩阵阶是实对称矩阵A A满足满足且且A A的秩为的秩为 r r，求行列式求行列式的值的值2.n2.n阶方阵阶方阵A A满足以上条件，结论如何？满足以上条件，结论如何？思考题思考题第63页/共65页65感谢您的观看！第65页/共65页