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1、第四章第四章 矩阵的特征值矩阵的特征值第一节第一节 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量一一.特征值与特征向量的基本概念特征值与特征向量的基本概念 1.定义定义:设设A为为n阶阶方阵方阵，如存在一个数，如存在一个数以及一个以及一个非零非零n维列维列向量向量X，使得，使得 AXX (1)则称则称是是A的特征值的特征值,向量向量X称为称为A的属于的属于的特征向量的特征向量.X AX I X AX =(I A)X (1)式等价于方程组式等价于方程组 (I A)X=0 (2)所以所以 是特征值是特征值,即方程组即方程组(2)有非有非0解解,即有即有|I A|=0 (3)(3)式称为式称为A的的
2、特征方程特征方程,方程组方程组(2)的非的非0解向量是特征向量解向量是特征向量.求求n n 阶矩阵阶矩阵A A 的特征值、特征向量的步骤的特征值、特征向量的步骤：(1)(1)解特征方程解特征方程|IIA|A|0 0，得特征值，得特征值 1 1,2 2,s s (2)(2)对于每个对于每个求方程组（求方程组（IIA A）X X0 0的非零解的非零解 x,x,可得每可得每个特征值个特征值对应的特征向量对应的特征向量.例例1 1:求矩阵求矩阵A A的特征值和特征向量的特征值和特征向量,即两个特征值即两个特征值1=1,2=-5,当当=1时时,方程组方程组 (IA)X0为为 基础解系为基础解系为 则则1
3、的特征向量为：的特征向量为：k11 (k1为实数为实数,且且k10)解解:特征方程为特征方程为:当当=-5=-5 时方程组（时方程组（IIA A）X X0 0为为:基础解系为基础解系为 则则1的特征向量为：的特征向量为：k22 (k2为实数为实数,且且k20)例例2 求矩阵求矩阵A的特征值和特征向量的特征值和特征向量,解解:特征方程为特征方程为:因此特征值因此特征值12 24 当当2 时方程组（时方程组（IA）X0为为 其基础解系为其基础解系为:则则2 的特征向量为：的特征向量为：k11(k10)当当=4 时方程组（时方程组（IA）X0为为 其基础解系为其基础解系为:则则2 的特征向量为：的特
4、征向量为：k22 (k20)解解：特征方程为：特征方程为：因此特征值因此特征值1 11 1 2 2-2 -2 当当1 1时方程组（时方程组（IIA A）X X0 0为为 其基础解系为：其基础解系为：例例3 3：求矩阵：求矩阵A A的特征值和特征向量的特征值和特征向量其基础解系为：其基础解系为：则则2 2的特征向量为：的特征向量为：k k3 3v v3 3(k(k3 30)0)则则1 1的特征向量为：的特征向量为：k k1 1v v1 1+k+k2 2v v2 2 (k (k1 1,k,k2 2不同时为零不同时为零)当当2 2时，方程组（时，方程组（A A）X X0 0为为 二、特征值与特征向量
5、的基本性质二、特征值与特征向量的基本性质 性质性质1 1 对于任一对于任一n n阶矩阵阶矩阵A A必有必有n n个特征值（包括重根、个特征值（包括重根、复数根）。复数根）。因为特征方程因为特征方程|IIA|A|0 0为为n n次多项式方程，它必然有次多项式方程，它必然有n n个复数根（包括重根）。个复数根（包括重根）。性质性质2 2 设设x x1 1,x,x2 2,x xs s 是是A A的属于特征值的属于特征值的的s s个特征向个特征向量，则量，则x x1 1,x,x2 2,x xs s的线性组合形成的非零向量也是的线性组合形成的非零向量也是的特征的特征向量向量.证明：证明：x x1 1,x
6、,x2 2,x xs s是是A A的特征值的特征值的的s s个特征向量个特征向量 AxAxi i=XXi i (i=1,2,(i=1,2,)可得可得 A(kA(k1 1X X1 1+k+k2 2X X2 2+k ks sX Xs s)=k =k1 1X X1 1+k+k2 2X X2 2+k ks sX Xs s =(k =(k1 1X X1 1+k+k2 2X X2 2+k ks sX Xs s)k k1 1X X1 1+k+k2 2X X2 2+ksXsksXs 是是A A的属于的属于的特征向量的特征向量.性质性质3 3 设设X X同时为特征值同时为特征值1 1,2 2的特征向量，则必有的
7、特征向量，则必有1 12 2 证明：由题意得证明：由题意得 AX=AX=1 1X AX=X AX=2 2X X 因此有因此有 1 1X X2 2X X 可得可得 （1 12 2）X X0 0 又又X X是非零向量，所以必有是非零向量，所以必有 1 12 2 性质性质4 4 A A的转置矩阵的转置矩阵A AT T与与A A有相同的特征值。有相同的特征值。证明：因为证明：因为|IIA|A|（IIA A）T T|IIA AT T|即即是是A AT T与与A A有有相相同同的的特特征征方方程程，因因此此，A AT T与与A A有有相相同同的特征值的特征值 .性性质质5 5 n n阶阶矩矩阵阵A A的的
8、互互不不相相同同的的特特征征值值1 1,2 2,s s所所对对应应的的特征向量特征向量X X1 1,X,X2 2,X,Xs s线性无关。线性无关。证明：用数学归纳法证明：用数学归纳法 （i i）当）当s=1s=1时时,x,x1 1是非零向量是非零向量,所以所以x x1 1线性无关线性无关.命题成立命题成立.（ii)ii)假假设设对对s-1s-1命命题题成成立立，即即x x1 1,x,x2 2,x,xs-1s-1线线性性无无关关。下下证证对对s s命题也成立命题也成立,即是即是 x x1 1,x,x2 2,x xs s 线性无关。线性无关。设设 k k1 1x x1 1 +k+k2 2x x2
9、2 +k ks sx xs s =0 (1)=0 (1)(1)(1)式两边左乘式两边左乘A A，再利用，再利用AxAxi i=xxi i 得得 k k1 11 1x x1 1+k+k2 22 2x x2 2+k ks ss sx xs s=0 (2)=0 (2)(1)(1)乘乘s s（2 2）得）得 k k1 1(s s-1 1)x)x1 1+k+k2 2(s s-2 2)x)x2 2+k+ks-1s-1(s s-s-1s-1)x)xs-1s-1=0=0 又又x x1 1,x,x2 2,x,xs-1s-1线性无关，则有线性无关，则有 k ki i(s s-i i)=0(i=1,2,)=0(i=
10、1,2,s-1),s-1)由于由于s si i（i=1,2,i=1,2,s-1,s-1）则有则有 k ki i=0(i=1,2,=0(i=1,2,s-1),s-1),代入代入(1)(1)得得 ksxs=0,则则可得可得 ks=0(因为因为xs为非零向量为非零向量)即有即有k1=k2=ks=0 因此因此x1,x2,xs线性无关线性无关.由（由（i）、（）、（ii）命题成立）命题成立 性质性质6 假定 是n阶矩阵 的n个特征值,则（1）（2）这是一个关于这是一个关于 的多项式。特别地，它含有此项：的多项式。特别地，它含有此项：=n-（a11+ann）n-1+（-1）n a11 ann（-a11）（
11、-ann）注意：此行列式的其他展开项中不会再包含注意：此行列式的其他展开项中不会再包含 的的n和和n-1次次项。故此行列式是项。故此行列式是n次多项式，且注意到次多项式，且注意到=0时，为时，为|-A|，设，设此多项式为此多项式为 f()比较得：分析：例例4：设：设是是n阶矩阵阶矩阵A的一个特征值，证明：的一个特征值，证明：a2+b+c是是aA2+bA+cI的一个特征值。的一个特征值。证明证明：因为：因为是是A的特征值，所以存在非零的特征值，所以存在非零n维向量维向量X有有 AXX 令令B aA2+bA+cI,则则 BX（aA2+bA+cI）X aAX+bX+cX a2X+bX+cX （a2+
12、b+c）X 所以所以 a2+b+c 是是 BaA2+bA+cI 的特征值的特征值.（3）当）当|A|0 时，时，A与与A-1的特征值互为倒数。的特征值互为倒数。（4）当）当 是是A的特征值时，的特征值时，2，3，k就分别是就分别是A2，A3，Ak的特征值。的特征值。（5）A与与AT的特征值相同。的特征值相同。例例5 5（补充）（补充）设三阶矩阵设三阶矩阵 A 的特征值为的特征值为设矩阵设矩阵试求试求:(1)(1)B 的特征值的特征值;(2)(2)|B|.答案答案：(1)(1)f(A)=B=A3-5A2,f(1)=-4(1)=-4,f(-1)=-6(-1)=-6,f(2)=-12(2)=-12
13、(2)(2)|B|=-288例例6 6：如：如A AT TA AI I，证明：则，证明：则A A的特征值的绝对值为的特征值的绝对值为1 1。证明证明：设：设是是A A的一个特征值，则存在非零向量的一个特征值，则存在非零向量X X有有 AXAXXX 所以所以 （AXAX）T T（XX）T T 有有 （AXAX）T TAXAX（XX）T TXX 可得可得 X XT TA AT TAXAX2 2X XT TX X 又由又由A AT TA AI I可推出可推出 （2 21 1）X XT TX X0 0 对于非零向量对于非零向量X X，必有，必有X XT TX0X0，则则2 21 1 即即 1 1 例例
14、7.已知已知 有三个线性无关的特征向量有三个线性无关的特征向量,求求x解解:特征方程为特征方程为 因此因此,A有三个特征值有三个特征值1=2=1,3=-1,因此因此,x的选值必须使的选值必须使特征值为重根特征值为重根1的时候对应的齐次方程有两个自由变量的时候对应的齐次方程有两个自由变量,才才能够得到两个线性无关的特征向量能够得到两个线性无关的特征向量.因为待定数为因为待定数为x x，因此齐次方程就用，因此齐次方程就用y y1 1,y y2 2,y y3 3来作变元，来作变元，则特征值为则特征值为1 1对应的齐次方程组（对应的齐次方程组（A A）Y Y0 0为为 对系数矩阵行初等变换对系数矩阵行
15、初等变换 如要方程有两个自由变元，必须如要方程有两个自由变元，必须x x=0=0。例例8 8:已知已知A A为为n n阶方阵且阶方阵且A A2 2=A,=A,求求A A的特征值的特征值.解解:设设A A的一个特征值为的一个特征值为,对应的特征向量为对应的特征向量为X,X,则有则有AX=AX=XX 又将题意中的条件又将题意中的条件A A2 2=A=A代入此式代入此式,得得 A A2 2X=X=XX,但但 A A2 2X=A(AX)=X=A(AX)=A(XA(X)=)=AXAX=2 2X,X,XX=2 2X X 即即2 2X-X=(X-X=(2 2-)X=O-)X=O 又又X X为特征向量则必不为零向量为特征向量则必不为零向量 因此只能有因此只能有2 2-=0 -=0 即即(-1)=0(-1)=0 A A的特征值只能取的特征值只能取0 0或者或者1 1值值.1、求下列矩阵的特征值和特征向量:(1)(2)练习题练习题2、设 是三阶可逆矩阵A的特征值,求 的特征值.结结 束束