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1、第六章第六章第六章第六章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移第一节第一节 概述概述第二节第二节 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分第三节第三节 叠加法求梁的位移叠加法求梁的位移第四节第四节 梁的刚度校核梁的刚度校核 提高梁的刚度措施提高梁的刚度措施第五节第五节 梁内的弯曲应变能梁内的弯曲应变能1.梁的梁的挠曲线挠曲线：梁轴线变形后所形成的光滑连续的曲线梁轴线变形后所形成的光滑连续的曲线。第一节第一节 概述概述梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移B1Fxq qq qvyx 2.梁位移的度量：梁位移的度量：挠度挠度：梁横截面形心的竖向位移：梁横截面形心的竖向
2、位移v，向下的挠度为正，向下的挠度为正转角转角：梁横截面绕中性轴转动的角度：梁横截面绕中性轴转动的角度q q，顺时针转动为正，顺时针转动为正挠曲线方程挠曲线方程：挠度作为轴线坐标的函数：挠度作为轴线坐标的函数 v=f(x)转角方程转角方程(小变形下小变形下)：转角与挠度的关系：转角与挠度的关系3.计算位移的目的：计算位移的目的：刚度校核、解超静定梁、适当施工措施刚度校核、解超静定梁、适当施工措施一、挠曲线近似微分方程一、挠曲线近似微分方程1.力学关系力学关系：2.几何关系几何关系：3.挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程：梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移第二节第二节 梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲
3、线近似微分方程及其积分及其积分yxyx二、积分法求梁的挠曲线二、积分法求梁的挠曲线 2.支承条件与连续条件支承条件与连续条件:1.式中式中C1、C2为积分常数，由梁边界、连续条件确定。为积分常数，由梁边界、连续条件确定。1)支承条件：支承条件：2)连续条件：连续条件：挠曲线是光滑连续唯一的挠曲线是光滑连续唯一的梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移l lFABq qmaxfmax解：建立坐标系如图解：建立坐标系如图x处弯矩方程为：处弯矩方程为：梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 例例一一 图示图示B端作用集中力端作用集中力P的悬臂梁，求的悬臂梁，求其挠曲线方程。其挠曲线方程。yxFx例例二二 求图示梁受集中力
4、求图示梁受集中力F作用时的挠曲线方程。作用时的挠曲线方程。FabClABFAFB解：解：1、求支反力、求支反力梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 几几个个荷荷载载共共同同作作用用下下梁梁任任意意横横截截面面上上的的位位移移，等等于于每每个个荷载单独作用时该截面的位移的叠加。荷载单独作用时该截面的位移的叠加。第三节第三节 叠加法求梁的位移叠加法求梁的位移梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移例三例三 如图所示悬臂梁，其抗弯刚度如图所示悬臂梁，其抗弯刚度EIEI为常数，求为常数，求B点转角和挠度。点转角和挠度。FqvBqvCqq qBFvBPFq1.在在F作用下：作用下：2.在在q作用下：作用下：3.在在F和和q
5、共共 同作用下：同作用下：一、梁的刚度校核一、梁的刚度校核 除满足强度条件外，梁的位移也需加以控制，从而保证其除满足强度条件外，梁的位移也需加以控制，从而保证其正常工作。正常工作。在在土建工程中，通常土建工程中，通常对梁的对梁的挠度挠度加以控制，例加以控制，例如：如：梁的梁的刚度条件刚度条件为：为：通常情况通常情况下，强度条件满足，刚度条件一般也满足。下，强度条件满足，刚度条件一般也满足。但是，但是，当位移限制很严，或按强度条件所选截面过于单薄当位移限制很严，或按强度条件所选截面过于单薄时，刚度条件也起控制作用。时，刚度条件也起控制作用。第四节第四节 梁的刚度校核梁的刚度校核 提高梁的刚度措施
6、提高梁的刚度措施梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 例四例四 一简支梁受载如图示，已知许用应力一简支梁受载如图示，已知许用应力160 MPa，许用挠度，许用挠度=l/500，弹性模量，弹性模量E=200GPa，试选择工字钢型号。，试选择工字钢型号。解：解：1、作出梁的弯矩图、作出梁的弯矩图2、根据弯曲正应力强度条件，要求、根据弯曲正应力强度条件，要求3、梁的刚度条件为：、梁的刚度条件为：由此得由此得 由型钢表中查得，由型钢表中查得，NO.22a工字钢的抗弯截面系数工字钢的抗弯截面系数Wz3.09xl0-4m3，惯，惯性矩性矩Iz=3.40 x10-5m4，可见选择，可见选择NO.22a工字钢作梁将同
7、时满足强度和刚度工字钢作梁将同时满足强度和刚度要求。要求。梁弯曲时的变形梁弯曲时的变形F=35kN2mAB2ml=4mM二、提高梁的刚度措施二、提高梁的刚度措施 2.调整跨长和改变结构；调整跨长和改变结构；缩短跨长：缩短跨长：如如将简支梁改为外伸将简支梁改为外伸梁；或增加支座等。梁；或增加支座等。1.增大梁的抗弯刚度增大梁的抗弯刚度 EI；主要增大主要增大I值，在截面面积不变值，在截面面积不变的情况下，采用适当形状，尽量使面积分布在距中性轴较远的的情况下，采用适当形状，尽量使面积分布在距中性轴较远的地方。地方。例如例如：工字形、箱形等。工字形、箱形等。梁弯曲时的变形梁弯曲时的变形qlABqlABqAB纯纯弯曲时梁的弯曲时梁的弯曲应变能弯曲应变能为：为：横力横力弯曲时梁的弯曲时梁的弯曲应变能弯曲应变能为：为：梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移第五节第五节 梁内的弯曲应变能梁内的弯曲应变能F 例五例五 计算图示悬臂梁的弯曲应变能，并计算计算图示悬臂梁的弯曲应变能，并计算B点的挠度点的挠度vB，已知梁的，已知梁的弯曲刚度为弯曲刚度为EI。解：解：1、梁任一截面的弯矩为：、梁任一截面的弯矩为：2、弯曲应变能为：、弯曲应变能为：3、计算、计算B点的挠度点的挠度vB