第9章_弯曲刚度问题.ppt

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1、材料力学材料力学（MaterialsofMechanics）第九章第九章 弯曲刚度问题弯曲刚度问题1材料力学材料力学（MaterialsofMechanics）9-1 9-1 引言引言9-29-2 挠曲轴近似微分方程挠曲轴近似微分方程9-4 9-4 计算梁的位移的叠加法计算梁的位移的叠加法9-3 9-3 计算梁位移的积分法计算梁位移的积分法第九章第九章 弯曲刚度问题弯曲刚度问题2材料力学材料力学（MaterialsofMechanics）一、基本要求一、基本要求一、基本要求一、基本要求1 1）会用积分法求挠曲线微分方程；由边界条件和连续条会用积分法求挠曲线微分方程；由边界条件和连续条会用积分法

2、求挠曲线微分方程；由边界条件和连续条会用积分法求挠曲线微分方程；由边界条件和连续条件求待定积分常数。件求待定积分常数。件求待定积分常数。件求待定积分常数。2 2）熟练用叠加法求梁的位移；熟练用叠加法求梁的位移；熟练用叠加法求梁的位移；熟练用叠加法求梁的位移；3)3)梁的刚度条件进行和简单超静定梁的求解；梁的刚度条件进行和简单超静定梁的求解；梁的刚度条件进行和简单超静定梁的求解；梁的刚度条件进行和简单超静定梁的求解；二、授课重点、难点二、授课重点、难点二、授课重点、难点二、授课重点、难点 重点：用叠加法解静定梁的变形；重点：用叠加法解静定梁的变形；重点：用叠加法解静定梁的变形；重点：用叠加法解静

3、定梁的变形；难难难难点点点点：积积积积分分分分法法法法求求求求梁梁梁梁的的的的变变变变形形形形，用用用用边边边边界界界界条条条条件件件件和和和和连连连连续续续续条条条条件件件件求求求求积积积积分分分分常常常常数。数。数。数。第九章第九章 梁的变形梁的变形3材料力学材料力学（MaterialsofMechanics）9-1 9-1 引言引言一一、工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题机加工车间机加工车间的行车大梁的行车大梁4材料力学材料力学（MaterialsofMechanics）9-1 9-1 引言引言5材料力学材料力学（MaterialsofMechanics）二、研究弯曲变形的目的二、

4、研究弯曲变形的目的限制和利用梁的变形；限制和利用梁的变形；进行梁的刚度计算，分析静不定梁；进行梁的刚度计算，分析静不定梁；为研究压杆稳定问题提供理论基础。为研究压杆稳定问题提供理论基础。9-1 9-1 引言引言6材料力学材料力学（MaterialsofMechanics）三、梁变形的度量三、梁变形的度量1 1、挠曲线的概念、挠曲线的概念 受力产生弯曲变形的梁，受力产生弯曲变形的梁，其轴线将由原来的水平直其轴线将由原来的水平直线变成一条平面曲线，称线变成一条平面曲线，称为梁的挠曲线为梁的挠曲线 (deflection curve)。挠曲线挠曲线F9-1 9-1 引言引言7材料力学材料力学（Mat

5、erialsofMechanics）2、挠度与转角挠度与转角挠度挠度截面形心沿垂直与截面形心沿垂直与梁轴线发生的线位移，用梁轴线发生的线位移，用w表示表示。xxFABw ccB挠曲方程：挠曲方程：w=f(x)正负号：正负号：规定向下为正规定向下为正三、梁变形的度量三、梁变形的度量w9-1 9-1 引言引言8材料力学材料力学（MaterialsofMechanics）转角：转角：每一横截面绕其中性轴转每一横截面绕其中性轴转过的角度。（横截面对其原来位过的角度。（横截面对其原来位置的角位移置的角位移）表示表示 =f2(x)顺时针为正顺时针为正3 3、转角、转角(angle of rotation)

6、xxFABy ccB三、梁变形的度量三、梁变形的度量（）9-1 9-1 引言引言9材料力学材料力学（MaterialsofMechanics）4 4、挠度和转角的关系、挠度和转角的关系 xxFABw cc 挠曲线挠曲线 w=f(x)上任意点的上任意点的切线斜率为切线斜率为：tan 由于由于挠曲线是一条极其平坦的弹性曲线挠曲线是一条极其平坦的弹性曲线 所以所以 很小很小转角方程转角方程：结论：结论：梁截面的转角等于该截面的挠度梁截面的转角等于该截面的挠度w对于位置坐标对于位置坐标x 的一阶导数。的一阶导数。=dw/dx9-1 9-1 引言引言10材料力学材料力学（MaterialsofMecha

7、nics）2）几何关系：几何关系：（高等数学）（高等数学）返回1 1）物理物理关系：关系：9-2 挠曲轴近似微分方程挠曲轴近似微分方程挠挠曲线的近似微分方程式曲线的近似微分方程式一、挠曲线的近似微分方程一、挠曲线的近似微分方程11材料力学材料力学（MaterialsofMechanics）一、挠曲线的近似微分方程一、挠曲线的近似微分方程 9-2 挠曲轴近似微分方程挠曲轴近似微分方程12材料力学材料力学（MaterialsofMechanics）1、基本方程：基本方程：9-3 计算梁位移计算梁位移的的积分法积分法2 2、积分一次求转角：积分一次求转角：3 3、积分二次求挠曲线方程：、积分二次求挠

8、曲线方程：C、D积分常数，由边界条件与挠曲线的光滑连积分常数，由边界条件与挠曲线的光滑连续条件确定。续条件确定。13材料力学材料力学（MaterialsofMechanics）（1）边界条件（边界条件（boundary conditions）-梁横截面的已知梁横截面的已知位移或约束条件位移或约束条件 简支梁支座简支梁支座处处x=0;=0,w=0 x=0;wA=0;4 4、积分常数的确定、积分常数的确定 悬臂梁固定端悬臂梁固定端x=a+b;wB=09-3 计算梁位移计算梁位移的的积分法积分法14材料力学材料力学（MaterialsofMechanics）（2）连续光滑条件连续光滑条件(conti

9、nuity condition)-)-梁的分段处，梁的分段处，其挠曲线所应满足的连续、光滑条件。其挠曲线所应满足的连续、光滑条件。ABlaCMABabxCx=a 时，时，如：中间铰处如：中间铰处9-3 计算梁位移计算梁位移的的积分法积分法15材料力学材料力学（MaterialsofMechanics）1 1、外伸梁，其边界条件和连续条件？、外伸梁，其边界条件和连续条件？x=0，wA=0；课堂练习课堂练习x=4；wB=0；wB左左=wB右右 B左左=B右右16材料力学材料力学（MaterialsofMechanics）2、用积分法计算图示梁的挠度，其边界条件和连续条件为：用积分法计算图示梁的挠度

10、，其边界条件和连续条件为：(A)(B)(C)(D)正确答案是（正确答案是（）xalOwq课堂练习课堂练习17材料力学材料力学（MaterialsofMechanics）课堂练习课堂练习3、用积分法计算图示梁的挠度，其边界条件和连续条件、用积分法计算图示梁的挠度，其边界条件和连续条件为为：(A)(A)(B)(C)(D)xy18材料力学材料力学（MaterialsofMechanics）例例1 1：已知梁长：已知梁长L，EI，求求wB和和B。求约束反力求约束反力 FAy=F，mA=FL弯矩方程：弯矩方程：M(x)=Fx-FLxFxAB举例应用举例应用列梁的挠曲线近似微分方程列梁的挠曲线近似微分方程

11、19材料力学材料力学（MaterialsofMechanics）求位移方程求位移方程FxxABw=(FLx-Fx2/2)+C/EI w=(FLx2/2-Fx3/6+Cx+D)/EI举例应用举例应用 确定积分常数确定积分常数 x=0，wA=0，D=0 x=0 A=0 ，C=0w=(FLx-x2/2)/EI w=(FLx2/2-Fx3/6)/EI 求求B截面转角和位截面转角和位移移，将将 x=L 代入代入20材料力学材料力学（MaterialsofMechanics）试求图示等截面悬臂梁在所示坐标系中的挠曲试求图示等截面悬臂梁在所示坐标系中的挠曲线方程和转角方程。积分常数线方程和转角方程。积分常数

12、C和和D等于零吗？等于零吗？思思 考考21材料力学材料力学（MaterialsofMechanics）9-49-4 计算梁的位移的叠加法计算梁的位移的叠加法 在小变形和线弹性范围内，梁上几种载荷共同作在小变形和线弹性范围内，梁上几种载荷共同作用所产生的效果（内力、应力和变形），等于每种用所产生的效果（内力、应力和变形），等于每种载荷单独时所产生的效果之和载荷单独时所产生的效果之和叠加原理。叠加原理。用叠加原理求梁变形的方法用叠加原理求梁变形的方法叠加法叠加法（1 1）载载荷荷叠叠加加法法 用用于于等等截截面面直直梁梁同同时时受受几几个个载载荷作用所引起的梁的变形的叠加。荷作用所引起的梁的变形的

13、叠加。一、叠加法一、叠加法22材料力学材料力学（MaterialsofMechanics）ABCFWc1ABCWc 2mBAL L/2/2L/2CFm例例2：如图所示梁，求：如图所示梁，求：A、B和中点挠度。和中点挠度。解：解：将梁分为将梁分为力力F和力偶和力偶m单独作用的情况：单独作用的情况：举举 例例 应应 用用23材料力学材料力学（MaterialsofMechanics）A2=mL/6EI F：A1、B1、yc1m：A2、B2、yc2ABCFyc1ABCyc 2mwc1=FL3/48EI A1=-B1=FL2/16EI B2=-mL/3EI wc2=mL2/16EI举举 例例 应应 用

14、用24材料力学材料力学（MaterialsofMechanics）4 A=A1+A2=FL2/16EI+mL/6EI4 B=B1+B2=-FL2/16EI-mL/3EI 4wc=wc1+wc2=FL3/48EI+mL2/16EI举举 例例 应应 用用AL L/2/2L/2CFm25材料力学材料力学（MaterialsofMechanics）例例3：计算悬臂梁的挠度计算悬臂梁的挠度yc。ACBaayB Byc解：解：1、将梁将梁AB看作悬臂梁，在均布荷载看作悬臂梁，在均布荷载q的作用下：的作用下：查表：查表：yB=qa4/8EI B=qa3/6EI举举 例例 应应 用用26材料力学材料力学（Ma

15、terialsofMechanics）2、把把 梁梁BC看作梁看作梁AB的延伸部分的延伸部分，由于由于BC段未受段未受力的作用，所以这段梁虽有位移，但无变形，仍为力的作用，所以这段梁虽有位移，但无变形，仍为直线。直线。由于小变形：由于小变形：yC=yB+B ayB BycACBaayc=qa4/8EI+qa4/6EI=7qa4/24EI（）举举 例例 应应 用用27材料力学材料力学（MaterialsofMechanics）例例4：求求C截面挠度和转角。截面挠度和转角。（1）yc1=-7qa4/24EI()，c1=-qa3/6EI=+BaaACq解：解：原图可以看成以下两种情况的叠加原图可以看

16、成以下两种情况的叠加BaaACqq（1）q（2）举举 例例 应应 用用28材料力学材料力学（MaterialsofMechanics）（2）yc2=q（2a）4/8EI()=+BaaACqq（1）q（2）（3）yc=yc1+yc2=41qa4/24EI()c2=q（2a）3/6EI=8qa3/6EI（顺时针顺时针）c=c1+c2=-qa3/6EI+q(2a)3/6EI=7qa3/6EI （顺时针顺时针）举举 例例 应应 用用29材料力学材料力学（MaterialsofMechanics）BCAqa2/2qaa 课课 堂堂 练练 习习用叠加法求图示梁用叠加法求图示梁 C 截面的挠度截面的挠度（E

17、I=常数常数）30材料力学材料力学（MaterialsofMechanics）例例5：外伸梁外伸梁ABC受载荷如图，求悬臂点受载荷如图，求悬臂点A的挠度。的挠度。解解：原题可看成是一简支梁和悬臂梁的叠加。原题可看成是一简支梁和悬臂梁的叠加。qaqa2/2+qABabCq举举 例例 应应 用用31材料力学材料力学（MaterialsofMechanics）yA1=B1 a=qa3 b/6EI 转角：转角：B1=-(b/3EI)(qa2/2)1）考虑考虑BC段即为简支梁，则段即为简支梁，则AB段视为刚体段视为刚体 位移：位移：截面截面B的转动，带动的转动，带动AB段一起做段一起做刚体转动，从而使刚

18、体转动，从而使A端产生位移端产生位移 yA1。yA1 B1qaqa2/2ABC举举 例例 应应 用用32材料力学材料力学（MaterialsofMechanics）yA22）考虑考虑 AB段即为悬臂梁段即为悬臂梁所以总位移：所以总位移：查表查表 yA2=qa 4/8EIqAByA1 B1qaqa2/2ABCyA1=B a=qa3 b/6EIyA=yA1+yA2 yA=qa3(4b+3a)/24EI举举 例例 应应 用用33材料力学材料力学（MaterialsofMechanics）9-69-6 梁的刚度校核梁的刚度校核梁的刚度校核梁的刚度校核一、梁的刚度校核一、梁的刚度校核 1、对梁的挠度，其

19、容许值通常用梁的挠度与跨长的对梁的挠度，其容许值通常用梁的挠度与跨长的比值比值f/L作为标准。作为标准。4 2、f/L的取值：的取值：1/2501/400043、刚度条件：刚度条件：ymax/L f/L4 4、刚度条件的应用刚度条件的应用：4刚度校核、设计截面、确定许用荷载。刚度校核、设计截面、确定许用荷载。34材料力学材料力学（MaterialsofMechanics）二、提高梁刚度的措施二、提高梁刚度的措施以承受均布载荷的简支梁为例：以承受均布载荷的简支梁为例：影响因素：影响因素：载荷、支撑情况、材料、截面和跨长载荷、支撑情况、材料、截面和跨长9-6 9-6 梁的刚度校核梁的刚度校核梁的刚

20、度校核梁的刚度校核35材料力学材料力学（MaterialsofMechanics）增大抗弯刚度增大抗弯刚度 EI。由于不同牌号的钢材其弹性模量由于不同牌号的钢材其弹性模量E大致相同大致相同(E210 GPa)，故从增大梁的弯曲刚度来说采用高强度钢并无明显好处。故从增大梁的弯曲刚度来说采用高强度钢并无明显好处。为增大为增大钢梁的弯曲刚度，增大截面对于中性轴的惯性矩钢梁的弯曲刚度，增大截面对于中性轴的惯性矩Iz，例如工字形例如工字形截面和箱形截面。截面和箱形截面。9-6 9-6 梁的刚度校核梁的刚度校核梁的刚度校核梁的刚度校核36材料力学材料力学（MaterialsofMechanics）如果将两

21、个铰支座往内移一个距离如果将两个铰支座往内移一个距离a而成为如图而成为如图a所示的外伸所示的外伸梁，且梁，且a=0.207l，则不仅最大弯矩减小为则不仅最大弯矩减小为而且跨中挠度减小为而且跨中挠度减小为(a)调整跨长调整跨长 9-6 9-6 梁的刚度校核梁的刚度校核梁的刚度校核梁的刚度校核37材料力学材料力学（MaterialsofMechanics）将静定梁改为超静定梁（增加支撑）将静定梁改为超静定梁（增加支撑）所以：提高梁的刚度措施所以：提高梁的刚度措施1 1、合理选择截面形状与材料、合理选择截面形状与材料提高抗弯刚度提高抗弯刚度EI2 2、合理调整梁的加载方式、合理调整梁的加载方式降低降

22、低Mmax3 3、合理安排梁的跨度与约束、合理安排梁的跨度与约束增加约束、减少梁增加约束、减少梁 的跨长。的跨长。9-6 9-6 梁的刚度校核梁的刚度校核梁的刚度校核梁的刚度校核38材料力学材料力学（MaterialsofMechanics）本章小结本章小结4（1）积分法求梁的位移积分法求梁的位移(会写边界条件会写边界条件和连续条件和连续条件)4（2）叠加法求梁的位移（重点掌握）叠加法求梁的位移（重点掌握）4 巧用表中的公式巧用表中的公式39材料力学材料力学（MaterialsofMechanics）作 业4第一次作业：第一次作业：1-(1),(4),24第二次作业第二次作业:5,6,7,10,13,144第三次作业第三次作业:21,2340