第9章弯曲强度与.ppt

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1、第第9章弯曲强度与刚度章弯曲强度与刚度9.1梁弯曲时横截面上的正应力梁弯曲时横截面上的正应力9.2梁弯曲时正应力强度计算梁弯曲时正应力强度计算9.3弯曲切应力简介弯曲切应力简介9.4梁的弯曲变形与刚度梁的弯曲变形与刚度9.5提高梁的强度和刚度的措施提高梁的强度和刚度的措施小结小结 9.1梁弯曲梁弯曲时时横截面上的正横截面上的正应应力力 9.1.1纯纯弯曲弯曲变变形形 一一般般情情况况下下，梁梁横横截截面面上上既既有有弯弯矩矩又又有有剪剪力力对对于于横横截截面面上上的的某某点点而而言言，则则既既有有正正应应力力又又有有切切应应力力但但是是，梁梁的的强强度度主主要要决决定定于于横横截截面面上上的的

2、正正应应力力，切切应应力力居居次次要要地地位位所所以以本本节节将将讨讨论论梁梁在在纯纯弯弯曲曲(截截面面上上没没有有剪力剪力)时时横截面上的正横截面上的正应应力力 一一矩矩形形截截面面等等直直梁梁如如图图9-1(a)9-1(a)所所示示梁梁上上作作用用着着两两个个对对称称的的集集中中力力F，该该梁的剪力梁的剪力图图和弯矩和弯矩图图如如图图9-1(b),(c)9-1(b),(c)所示，在梁所示，在梁的的CD段段上一页上一页 下一页下一页 返回返回1 9.1梁弯曲梁弯曲时时横截面上的正横截面上的正应应力力 内内，横横截截面面上上只只有有弯弯矩矩没没有有剪剪力力，且且全全段段内内弯弯矩矩为为一一常常

3、数数，这这种种弯弯曲曲称称为纯为纯弯曲弯曲 将将图图9-1(a)9-1(a)中中梁梁受受纯纯弯弯曲曲的的CD段段作作为为研研究究对对象象变变形形之之前前在在表表面面ICI些些平平行行于于梁梁轴轴线线的的纵纵线线ab,cd和和垂垂直直于于梁梁轴轴线线的的横横线线1-1,2-2图图9-9-2(a)2(a)然然后后在在梁梁的的纵纵向向对对称称面面内内施施加加一一对对大大小小相相等等、方方向向相相反反的的力力偶偶M，使梁，使梁产产生生纯纯弯曲弯曲变变形形图图9-2(b)9-2(b)这时这时可可观观察到下列察到下列变变形形现现象象 (1)(1)横横向向线线1-1和和2-2仍仍为为直直线线，且且仍仍与与梁

4、梁轴轴线线正正交交，但但两两线线不不再再平平行，相行，相对对倾倾斜角度斜角度 (2)(2)纵纵向向线线变变为为弧弧线线，轴轴线线以以上上的的纵纵向向线线缩缩短短(如如ab),轴轴线线以以下下的的纵纵向向线线伸伸长长(如如cd)(3)(3)在在纵纵向向线线的的缩缩短区，梁的短区，梁的宽宽度增大度增大;在在纵纵向向线线的伸的伸长长区，梁的区，梁的上一页上一页 下一页下一页 返回返回2 9.1梁弯曲梁弯曲时时横截面上的正横截面上的正应应力力 宽宽度减小情况与度减小情况与轴轴向拉伸、向拉伸、压缩时压缩时的的变变形相似形相似 根据上述根据上述现现象，可象，可对对梁的梁的变变形提出如下假形提出如下假设设

5、(1)(1)平平面面假假设设:梁梁弯弯曲曲变变形形时时，其其横横截截面面仍仍保保持持平平面面，且且绕绕某某轴轴转转过过了一个微小的角度了一个微小的角度 (2)(2)单单向向受受力力假假设设:设设梁梁由由无无数数纵纵向向纤纤维维组组成成，则则这这些些纤纤维维处处于于单单向向受拉或受拉或单单向受向受压压状状态态由此可以判断由此可以判断纯纯弯曲梁横截面。弯曲梁横截面。由由于于变变形形的的连连续续性性，伸伸长长和和缩缩短短的的长长度度是是逐逐渐渐变变化化的的。从从伸伸长长区区过过渡渡到到缩缩短短区区，中中间间必必有有一一层层纤纤维维既既不不伸伸长长也也不不缩缩短短，这这层层纤纤维维称称为为中中性性层层

6、图图9-2(c)9-2(c)，中中性性层层与与横横截截面面的的交交线线称称为为中中性性轴轴:梁梁弯弯曲曲变变形形时时，所有横截面均所有横截面均绕绕各自的中性各自的中性轴轴同同转转上一页上一页 下一页下一页 返回返回3 9.1梁弯曲梁弯曲时时横截面上的正横截面上的正应应力力 9.1.2正正应应力分布力分布规规律律 根据平面假根据平面假设设可得出矩形截面梁在可得出矩形截面梁在纯纯弯曲弯曲时时的正的正应应力分布力分布规规律律 (1)(1)中性中性轴轴上的上的线应变为线应变为零，所以其正零，所以其正应应力亦力亦为为零零 (2)(2)距距中中性性轴轴距距离离相相等等的的各各点点，其其线线应应变变相相等等

7、，根根据据胡胡克克定定律律，它它们们的正的正应应力也相等力也相等 (3)(3)横横截截面面上上的的正正应应力力沿沿横横截截面面y y轴轴线线性性分分布布，即即 或或 K为为待定常数，如待定常数，如图图9-39-3所示所示 上一页上一页 下一页下一页 返回返回4 9.1梁弯曲梁弯曲时时横截面上的正横截面上的正应应力力 9.1.3弯曲正弯曲正应应力的力的计计算算 在在纯纯弯弯曲曲梁梁的的横横截截面面上上任任取取一一微微面面积积dA(图图9-49-4)，微微面面积积上上的的微微内内力力为为 由由于于横横截截面面上上的的内内力力只只有有弯弯矩矩M，所所以以由由横横截截面面上上的的微微内内力力构构成成的

8、的合合力力必必为为零零，而而梁梁横横截截面面上上的的微微内内力力对对中中胜胜轴轴z的的合合力力矩矩就就是是弯矩弯矩M,将将 代入以上两式，得代入以上两式，得 式式(9.1)(9.1)中，中，为截面对为截面对z轴的静矩，轴的静矩，显显然，横截面面然，横截面面积积 ，只有，只有yc=0，说说明中性明中性轴轴z轴轴通通过过截面形心截面形心上一页上一页 下一页下一页 返回返回5 9.1梁弯曲梁弯曲时时横截面上的正横截面上的正应应力力 式式(9.2)(9.2)中中，为为截截面面对对z轴轴的的惯惯性性矩矩，记记作作IzIz，单单位位为为m4或或mm4 将将 代入式代入式(9.3)(9.3)，得，得 式式(

9、9.4)(9.4)即为梁的正应力计算公式即为梁的正应力计算公式 由公式由公式(9.4)(9.4)可以看出可以看出:中性轴上中性轴上 最大正应力产生在离中性轴最远的边缘上，即最大正应力产生在离中性轴最远的边缘上，即 上一页上一页 下一页下一页 返回返回6 9.1梁弯曲梁弯曲时时横截面上的正横截面上的正应应力力 式中，式中，Wz称称为为抗弯截面系数，抗弯截面系数，m3或用或用mm3表示表示 I Iz,Wz都都是是与与截截面面有有关关的的几几何何量量有有关关型型钢钢的的I Iz和和Wz可可在在有有关关的的工工程手册中程手册中查查到到 上一页上一页 下一页下一页 返回返回7 9.1梁弯曲梁弯曲时时横截

10、面上的正横截面上的正应应力力 公公式式(9.4)(9.4)和和式式(9.6)(9.6)是是由由纯纯弯弯曲曲梁梁变变形形推推导导出出，但但只只要要梁梁具具有有纵纵向向对对称称面面，且且载载荷荷作作用用在在对对称称面面内内，则则当当梁梁的的跨跨度度较较大大时时，对对梁梁横横截截面面上上既既有有弯弯矩矩又又有有剪剪力力，也也可可应应用用式式(9.6)(9.6)计计算算最最大大正正应应力力当当梁梁横横截截面面上上的最大的最大应应力大于比例极限力大于比例极限时时，此式不再适用，此式不再适用9.1.4常用截面的常用截面的惯惯性矩的性矩的计计算算 为为了了应应用公式用公式(9.4)(9.4)，必，必须须解决

11、解决惯惯性矩性矩IzIz的的计计算算问题问题根据根据 即可即可导导出梁的截面出梁的截面为为各种形状各种形状时时的的IzIz的的计计算公式算公式 1.1.矩形截面的矩形截面的惯惯性矩性矩IzIz 上一页上一页 下一页下一页 返回返回8 9.1梁弯曲梁弯曲时时横截面上的正横截面上的正应应力力 图图9-59-5矩矩形形截截面面，其其高高度度为为h,宽宽度度为为b，通通过过形形心心O的的轴轴为为z和和y为为了了计计算算该该截截面面对对:轴轴的的惯惯性性矩矩Iz可可取取平平行行于于z轴轴的的狭狭长长条条为为微微面面积积，即即dA=bdy，这样这样矩形截面矩形截面对对z轴轴的的惯惯性矩即性矩即为为 相应地

12、，抗弯截面系数为相应地，抗弯截面系数为 2.2.圆形截面的惯性矩圆形截面的惯性矩IzIz 下下面面我我们们直直接接给给出出圆圆形形截截面面的的和和圆圆环环形形截截对对中中性性轴轴的的惯惯性性矩矩IzIz计计算公式。算公式。上一页上一页 下一页下一页 返回返回9 9.1梁弯曲梁弯曲时时横截面上的正横截面上的正应应力力 (1)(1)圆形截面圆形截面(图图9-69-6)的惯性矩的惯性矩 其抗弯截面系数为其抗弯截面系数为 (2)(2)圆环形截面圆环形截面(图图9-79-7)的的惯性矩惯性矩 其抗弯截面系数为其抗弯截面系数为 上一页上一页 下一页下一页 返回返回10 9.1梁弯曲梁弯曲时时横截面上的正横

13、截面上的正应应力力 式式中中，D，d分分别别为为圆圆环环形形截截面面外外圆圆和和内内圆圆的的直直径径，a为为内内外外径径的的比比值值 3.3.组组合截面的合截面的惯惯性矩性矩IzIz 有有一一些些梁梁的的截截面面是是由由几几个个简简单单图图形形组组合合而而成成，在在求求这这种种组组合合图图形形的截面的截面惯惯性矩性矩时时，就需要用下面的平行移，就需要用下面的平行移轴轴公式公式 设设有有一一平平面面图图形形，通通过过形形心心C点点的的轴轴线线zC与与相相互互平平行行的的z轴轴的的距距离离为为d，若若图图形形面面积积为为A，对对于于zc轴轴的的惯惯性性矩矩为为I Izczc，则则此此图图形形对对于

14、于z轴轴的的惯惯性矩性矩 即截面即截面对对任一任一轴轴:的的惯惯性矩，等于它性矩，等于它对对平行于平行于该轴该轴的形心的形心轴轴上一页上一页 下一页下一页 返回返回11 9.1梁弯曲梁弯曲时时横截面上的正横截面上的正应应力力 z z的的惯惯性性矩矩，加加上上截截面面面面积积与与两两平平行行轴轴距距离离平平方方之之积积式式(9.9)(9.9)称称为为惯惯性性矩的平行移矩的平行移轴轴公式下面用例公式下面用例题题来来说说明具体的明具体的计计算方法算方法 例例9.19.1T形形截截面面的的尺尺寸寸如如图图9-89-8所所示示，求求其其对对通通过过其其形形心心且且与与底底边边平行的平行的zc c轴轴的的

15、惯惯性矩性矩 解解:建立建立图图示坐示坐标标系系yOz (1)(1)确定截面形心的位置确定截面形心的位置 上一页上一页 下一页下一页 返回返回12 9.1梁弯曲梁弯曲时时横截面上的正横截面上的正应应力力 (2)(2)计计算两矩形截面算两矩形截面对对T形截面形截面对对zc的的惯惯性矩性矩 在在应应用用平平行行移移轴轴公公式式时时应应注注意意，只只能能从从各各截截面面的的形形心心轴轴平平行行地地移移到另一到另一轴轴，反之，反之则则不可不可显显而易而易见见，过过形心形心轴惯轴惯性矩性矩值值最小最小 上一页上一页 返回返回139.2梁弯曲梁弯曲时时正正应应力力强强度度计计算算 为为了了保保证证梁梁在在

16、载载荷荷作作用用下下能能够够正正常常工工作作，必必须须使使梁梁具具备备足足够够的的强强度度也也就就是是说说，梁梁的的最最大大正正应应力力值值不不得得超超过过梁梁材材料料在在单单向向受受力力状状态态(轴轴向向拉拉压压情况情况)下的下的许许用用应应力力值值 ，即，即 式式(9.10)(9.10)就就是是梁梁弯弯曲曲时时的的正正应应力力强强度度条条件件需需要要指指出出的的是是，式式(9.(9.10)10)只只适适用用于于许许用用拉拉应应力力 和和许许用用压压应应力力 相相等等的的材材料料如如果果两两者者不不相相等等(例例如如铸铸铁铁等等脆脆性性材材料料)，为为保保证证梁梁的的受受拉拉部部分分和和受受

17、压压部部分分都都能能正正常工作，常工作，应该应该按拉伸和按拉伸和压缩压缩分分别别建立建立强强度条件，即度条件，即 上一页上一页 下一页下一页 返回返回149.2梁弯曲梁弯曲时时正正应应力力强强度度计计算算 运运用用梁梁弯弯曲曲时时的的正正应应力力强强度度条条件件，可可对对梁梁进进行行强强度度校校核核、截截面面设设计计和确定梁的和确定梁的许许用用载载荷等三荷等三类类强强度度问题计问题计算算 例例9.29.2设设矩矩形形截截面面外外伸伸梁梁ABC图图9-9(a)9-9(a)在在C C端端受受集集中中力力F=5.4 kN作用，其作用，其许许用用应应力力 =90 MPa,试试分析分析:(1)(1)梁是

18、否梁是否满满足足强强度条件度条件?(2)(2)若若选选用用No.12.6号号工字工字钢钢，梁是否，梁是否满满足足强强度条件度条件?(3)(3)求求No.12.6工工字字钢钢与矩形截面与矩形截面积积之比之比 解解:(1):(1)校核矩形截面梁的校核矩形截面梁的强强度度 作弯矩作弯矩图图如如图图9-9(b)9-9(b)所示所示 梁梁ABC为为等等截截面面直直梁梁，最最大大弯弯曲曲正正应应力力发发生生在在弯弯矩矩最最大大的的截截面面上上，所以截面所以截面B为为危危险险截面截面上一页上一页 下一页下一页 返回返回159.2梁弯曲梁弯曲时时正正应应力力强强度度计计算算 由式由式(9.10)(9.10)得

19、得 故故该该矩形截面梁不矩形截面梁不满满足足强强度条件度条件 (2)(2)校核校核No.12.6号号工字工字钢钢截面梁的截面梁的强强度度 查查附附录录得得No.12.6号工字号工字钢钢的抗弯截面系数的抗弯截面系数Wz=7.529cm3 由由强强度条件得度条件得 故故选选用用No.12.6号工字号工字钢钢，梁，梁满满足足强强度要求度要求 上一页上一页 下一页下一页 返回返回169.2梁弯曲梁弯曲时时正正应应力力强强度度计计算算 计计算算 查查附附录录得得No.12.6号工字号工字钢钢的截面的截面积积 例例9.39.3图图9-10(a)9-10(a)为为齿齿轮轮轴轴简简图图已已知知齿齿轮轮C C受

20、受径径向向力力F1=3 kN,齿齿轮轮D受受径径向向力力F2=6kN，材材料料的的许许用用应应力力 =100 MPa试试确确定定轴轴的的肖肖径径(设设暂暂不考不考虑齿轮虑齿轮上所受的上所受的圆圆周力周力)上一页上一页 下一页下一页 返回返回179.2梁弯曲梁弯曲时时正正应应力力强强度度计计算算 解解:(1(1)绘绘制制轴轴的的简简图图将将齿齿轮轮轴轴简简化化成成受受二二集集中中力力作作用用的的简简支支梁梁AB图图9-10(b)9-10(b)(2)(2)由静力学平衡方程求出梁的支座由静力学平衡方程求出梁的支座约约束力束力为为 (3)(3)绘绘弯弯矩矩图图如如图图9-10(c)9-10(c)所所示

21、示最最大大弯弯矩矩在在截截面面D D处处.MD=750 Nm (4)(4)根根据据强强度度条条件件确确定定轴轴的的直直径径设设轴轴的的直直径径为为d，则则其其抗抗弯弯截截面面系数系数 上一页上一页 下一页下一页 返回返回189.2梁弯曲梁弯曲时时正正应应力力强强度度计计算算 取取齿轮轴齿轮轴的直径的直径d=42 mm 例例9 9 4T4T形形截截面面梁梁的的受受力力及及支支承承情情况况如如图图9-11(a)9-11(a)所所示示材材料料的的许许用用拉拉应应力力 =32 MPa，许许用用压应压应力力 =70 MPa试试校核梁的校核梁的强强度度 解解:(1):(1)由静力平衡程求出支座由静力平衡程

22、求出支座约约束力束力为为 (2)(2)作作出出M图图B截截面面有有最最大大的的负负值值弯弯矩矩.c截截面面有有最最大大的的正正值值弯弯矩矩，如如图图9-11(b)9-11(b)(3)(3)计计算算截截面面形形心心的的位位置置及及截截面面对对中中性性轴轴的的惯惯性性矩矩确确定定截截面面形形心心C的位置的位置图图9-11(d)9-11(d)上一页上一页 下一页下一页 返回返回199.2梁弯曲梁弯曲时时正正应应力力强强度度计计算算 计计算截面算截面对对中性中性轴轴z的的惯惯性矩性矩 (4)校校核核强强度度由由于于梁梁的的抗抗拉拉强强度度与与抗抗压压强强度度不不同同所所以以最最大大正正弯弯矩矩和和最大

23、最大负负弯矩截面都弯矩截面都须须校核校核图图9-11(c)9-11(c)校核校核B截面截面(最大最大负负弯矩截面弯矩截面)，上，上边缘处边缘处的最大拉的最大拉应应力力为为 下下边缘处边缘处的最大的最大压应压应力力为为上一页上一页 下一页下一页 返回返回209.2梁弯曲梁弯曲时时正正应应力力强强度度计计算算 校核校核C截面截面(最大正弯矩截面最大正弯矩截面)上上边边缘缘处处的的最最大大压压应应力力，因因为为Mc|MB|，y上上b(图图9-129-12)，横横截截面面上上剪剪力力为为FQ,梁梁横横截截面面上上的的切切应应力力的的分分布布比比较较复复杂杂，对对于于矩矩形形截截面梁可以作以下二点假面梁

24、可以作以下二点假设设 (1)(1)横截面上各点的剪横截面上各点的剪应应力方向与剪力方向与剪力力FQ方向相同方向相同 (2)(2)切切应应力力沿沿截截面面宽宽度度均均匀匀分分布布，距距中中性性轴轴等等距距离离的的各各点点切切应应力力数数值值都相等都相等.上一页上一页 下一页下一页 返回返回239.3弯曲切弯曲切应应力力简简介介 据据此此可可以以推推导导出出矩矩形形截截面面梁梁横横截截面面上上距距中中性性轴轴为为J J处处的的切切应应力力计计算算公式公式为为 式式中中，FQ为为横横截截面面上上的的剪剪力力;Sz*为为距距中中性性轴轴为为y的的横横线线外外侧侧部部分分的的面面积积A*对对中中性性轴轴

25、:的的静静矩矩;Iz为为横横截截面面对对中中性性轴轴z的的惯惯性性矩矩;b为为矩矩形形截截面的面的宽宽度度 将静矩将静矩Sz*=A*y*(图图9-129-12)，代人公式，代人公式(9.12)(9.12)后，可得后，可得上一页上一页 下一页下一页 返回返回249.3弯曲切弯曲切应应力力简简介介 从从式式(9.13)(9.13)中中看看出出，切切应应力力沿沿截截面面中中性性轴轴z z均均匀匀分分布布，沿沿y轴轴成成二二次次抛抛物物线线分分布布;上上下下边边缘缘上上的的各各点点切切应应力力等等于于零零;中中性性轴轴上上y=0的的切切应应力最大力最大,即即 可可见见，矩矩形形截截面面梁梁横横截截面面

26、上上的的最最大大切切应应力力为为平平均均切切应应力力 的的1.5倍。倍。上一页上一页 下一页下一页 返回返回259.3弯曲切弯曲切应应力力简简介介 9.3.2典型截面梁的最大切应力计算典型截面梁的最大切应力计算 常常见见典典型型截截面面梁梁如如工工字字形形、圆圆形形截截面面梁梁、圆圆环环形形截截面面梁梁，最最大大切切应力发生在中性轴上，如应力发生在中性轴上，如图图9-139-13所示，其值分别为所示，其值分别为工字形截面工字形截面 圆圆形截面形截面圆环圆环形截面形截面 式式(9.15)(9.15)中，中，A腹腹=ht;式式(9.16)(9.16)和和(9.17)(9.17)中中A A为为横截面

27、的面横截面的面积积上一页上一页 下一页下一页 返回返回269.3弯曲切弯曲切应应力力简简介介 9.3.3弯曲切弯曲切应应力力强强度条件度条件 梁梁内内的的最最大大切切应应力力一一般般发发生生在在剪剪力力最最大大的的横横截截面面的的中中性性轴轴上上梁梁的切的切应应力力强强度条件度条件为为 式中，式中，为为梁所用材料的梁所用材料的许许用切用切应应力力 在在设设计计梁梁的的截截面面时时，通通常常可可先先按按正正应应力力强强度度条条件件进进行行计计算算选选型型，再按切再按切应应力力强强度校核度校核 例例9.59.5图图9-149-14所所示示简简支支梁梁承承受受两两集集中中力力作作用用，材材料料的的

28、=160 MPa,=,=100 MPa试选择试选择工字工字钢钢型号型号.解解:(1):(1)由由静静力力学学平平衡衡方方程程求求出出支支座座的的约约束束力力FA=61.9 kN，FB=88.1 kN 上一页上一页 下一页下一页 返回返回279.3弯曲切弯曲切应应力力简简介介 (2)(2)画梁的剪力画梁的剪力图图和弯矩和弯矩图图分分别别如如图图9-14(b),(c)9-14(b),(c)所示由所示由图图可知可知 (3)(3)按正按正应应力力强强度条件度条件选择选择工字工字钢钢型号型号 查查附附录录A型型钢钢表表，选选用用No.20a工工字字钢钢，Wz=237 cm2,h=200 mm,t=11.

29、4 mm,d=7 mm 上一页上一页 下一页下一页 返回返回289.3弯曲切弯曲切应应力力简简介介 (4)(4)按切按切应应力力强强度条件校核度条件校核 可可见见，选选择择No.20a工工字字钢钢作作梁梁，将将同同时时满满足足弯弯曲曲正正应应力力强强度度条条件和弯曲切应力强度条件件和弯曲切应力强度条件 上一页上一页 返回返回299.4梁的弯曲梁的弯曲变变形与形与刚刚度度 9.4.1梁的弯曲梁的弯曲变变形概述形概述 工工程程上上有有一一些些梁梁，虽虽然然强强度度足足够够，但但由由于于弯弯曲曲变变形形过过大大，也也会会影影响响其其正正常常工工作作如如车车床床的的主主轴轴，若若变变形形过过大大，将将

30、影影响响齿齿轮轮的的啮啮合合和和轴轴承承的的配配合合，而而造造成成齿齿轮轮、轴轴和和轴轴承承严严重重磨磨损损，降降低低寿寿命命，产产生生噪噪音音;主主轴轴外外伸伸端端变变形形过过大大，还还会会影影响响零零件件的的加加工工精精度度，甚甚至至造造成成废废品品桥桥梁梁的的变变形形过过大大，当当火火车车通通过过时时，会会引引起起桥桥梁梁严严重重振振动动因因此此，梁梁的的变变形形必必须须限限制在一定范制在一定范围围内，即梁内，即梁应满应满足足刚刚度要求度要求 1.1.挠挠曲曲线线方程方程 梁梁在在发发生生弯弯曲曲变变形形时时，若若其其最最大大工工作作应应力力不不超超过过材材料料的的弹弹性性极极限限，梁的

31、梁的轴线轴线由原来的直由原来的直线线被弯成一条光滑的曲被弯成一条光滑的曲线线AB，变变形后的梁形后的梁上一页上一页 下一页下一页 返回返回309.4梁的弯曲梁的弯曲变变形与形与刚刚度度 轴轴线线称称为为挠挠曲曲线线(图图9-159-15)当当梁梁发发生生平平面面弯弯曲曲时时，梁梁的的挠挠曲曲线线可可用用方方程程y=f(x)来表示，称来表示，称为为梁的梁的挠挠曲曲线线方程方程 2.2.挠挠度和度和转转角角 梁的梁的变变形是通形是通过过梁的横截面的位移即梁的横截面的位移即挠挠度和度和转转角来度量的角来度量的 (1)(1)挠挠度度，是是指指梁梁轴轴线线上上的的一一点点在在垂垂直直于于轴轴线线方方向向

32、上上的的位位移移，通通常常用用y表表示示图图9-159-15中中yc是是梁梁轴轴线线上上C点点的的挠挠度度一一般般规规定定向向上上的的挠挠度度为为正正，向下的向下的挠挠度度为负为负，单单位是位是mm (2)(2)转转角角，是是指指梁梁的的各各截截面面相相对对原原来来位位置置转转过过的的角角度度，用用。表表示示图图9-159-15中中 即即为为截截面面C C的的转转角角一一般般规规定定，逆逆时时针针方方向向的的转转角角为为正正，顺顺时针时针的的转转角角为负为负，单单位是弧度位是弧度(rad)或度或度()求求变变形形的的基基本本方方法法是是积积分分法法，由由于于该该法法计计算算较较繁繁，本本书书中

33、中不不作作介介绍绍表表9-19-1给给出出了了由由积积分分法法算算得得的的梁梁在在简简单单载载荷荷情情况况下下的的挠挠度度和和转转角角的的计计算公式，以供算公式，以供查查用。用。上一页上一页 下一页下一页 返回返回319.4梁的弯曲梁的弯曲变变形与形与刚刚度度 9.4.2用叠加法求梁的用叠加法求梁的变变形形 从从表表9-19-1可可以以看看出出，梁梁的的挠挠度度和和转转角角均均与与梁梁的的载载荷荷成成线线性性关关系系因因梁梁在在比比例例极极限限内内工工作作，梁梁的的材材料料服服从从胡胡克克定定律律，而而且且梁梁的的变变形形微微小小，在在此此情情况况下下，当当梁梁上上同同时时受受到到几几个个载载

34、荷荷作作用用时时，每每一一载载荷荷所所引引起起的的梁梁的的变变形形不不受受其其他他载载荷荷的的影影响响于于是是，就就可可以以用用叠叠加加法法来来计计算算梁梁的的变变形形:即即先先求求出出各各个个载载荷荷单单独独作作用用下下梁梁的的挠挠度度和和转转角角，然然后后将将它它们们代代数数相相加加，得到几个得到几个载载荷同荷同时时作用作用时时梁的梁的挠挠度与度与转转角角 例例9.69.6设设EI Iz为为常常数数的的简简支支梁梁AB受受力力如如图图9-169-16所所示示试试用用叠叠加加法法求求几截面的几截面的转转角及跨度中角及跨度中点点C处处截面的截面的挠挠度度 解解:由由表表9-19-1查查得得，当

35、当集集中中力力单单独独作作用用时时，A端端截截面面的的转转角角和和C截截面面挠挠度分度分别为别为上一页上一页 下一页下一页 返回返回329.4梁的弯曲梁的弯曲变变形与形与刚刚度度 当均布载荷当均布载荷q作用时，作用时，A端截面的转角和端截面的转角和C截面挠度分别为截面挠度分别为 F和和q同时作用时，同时作用时，A端截面的转角端截面的转角 C点点的的挠挠度度为为 上一页上一页 下一页下一页 返回返回339.4梁的弯曲梁的弯曲变变形与形与刚刚度度 9.4.3梁的梁的刚刚度条件度条件 计计算算梁梁的的变变形形，主主要要目目的的在在于于进进行行刚刚度度计计算算所所谓谓梁梁要要满满足足刚刚度度要要求求，

36、就就是是指指梁梁在在外外力力作作用用下下，应应保保证证最最大大挠挠度度小小于于许许用用挠挠度度，最最大大转转角小于角小于许许用用转转角，即梁的角，即梁的刚刚度条件度条件为为 上一页上一页 下一页下一页 返回返回349.4梁的弯曲梁的弯曲变变形与形与刚刚度度 式式中中，yy为为梁梁的的许许用用挠挠度度，为为梁梁的的许许用用转转角角。它它们们的的具具体体数数值值可可参照有关手册确定参照有关手册确定 一一般般来来讲讲，对对于于弯弯曲曲构构件件，如如果果能能满满足足强强度度条条件件，往往往往刚刚度度条条件件也也能能满满足足。所所以以在在设设计计计计算算中中，常常常常是是先先进进行行强强度度条条计计算算

37、，然然后后对对刚刚度度进进行校核行校核 例例9.79.7桁桁车车大大梁梁采采用用No.32b工工字字钢钢(图图9-179-17)已已知知l l=9.2 m,最最大大起起吊吊重重量量为为G=20 kN，要要求求柑柑车车工工作作时时超超载载25%的的情情况况下下最最大大挠挠度度不不大大于于1/500,试试校核行校核行车车大梁的大梁的刚刚度度 解解:(1):(1)求求最最大大挠挠度度电电动动葫葫芦芦作作用用在在梁梁上上可可看看成成集集中中力力，其其运运行行至至梁梁中中点点时时挠挠度度最最大大由由附附录录型型钢钢表表查查得得No.32b工工字字钢钢的的截截面面惯惯性性矩矩Iz=11 621.4 cm4

38、，又又E=200 GPa,F=(1+0.25)x20=25 kN，查查表表9-19-1得得 上一页上一页 下一页下一页 返回返回359.4梁的弯曲梁的弯曲变变形与形与刚刚度度 (2)(2)校核校核刚刚度。此梁的度。此梁的许许用用挠挠度度为为 所以所以ymaxy，该该梁的梁的刚刚度度满满足要求。足要求。上一页上一页 返回返回369.5提高梁的提高梁的强强度和度和刚刚度的措施度的措施 9.5.1合理安排梁的支承及增加合理安排梁的支承及增加约约束束 当当梁梁的的尺尺寸寸和和截截面面形形状状已已定定时时，合合理理安安排排梁梁的的支支承承或或增增加加约约束束，可可以以缩缩小小梁梁的的跨跨度度，降降低低梁

39、梁上上的的最最大大弯弯矩矩，如如图图9-189-18所所示示，受受均均布布载载荷荷的的简简支支梁梁，若若能能改改为为两两端端外外伸伸梁梁，则则梁梁上上的的最最大大弯弯矩矩将将大大为为降降低低.增增加加约约束束，缩缩短短梁梁的的跨跨度度，对对提提高高梁梁的的刚刚度度极极为为有有效效若若在在图图9-17(a)9-17(a)所示所示简简支梁中支梁中间间加一活加一活动铰动铰支座，支座，则则梁的最大梁的最大挠挠度只有原来的度只有原来的1/161/16上一页上一页 下一页下一页 返回返回379.5提高梁的提高梁的强强度和度和刚刚度的措施度的措施 9.5.2选择选择合理的截面形状合理的截面形状 从梁的正从梁

40、的正应应力力强强度条件可知，梁的抗弯截面系数度条件可知，梁的抗弯截面系数Wz越大，横截面越大，横截面上的最大正上的最大正应应力就愈小，即梁的抗弯能力大力就愈小，即梁的抗弯能力大Wz一方面与截面的尺寸有一方面与截面的尺寸有关，同关，同时还时还与截面的形状与截面的形状(材料的分布情况材料的分布情况)有关由于横截面上的正有关由于横截面上的正应应力和各点到中性力和各点到中性轴轴的距离成正比，靠近中性的距离成正比，靠近中性轴轴的材料正的材料正应应力力较较小，未小，未能充分能充分发挥发挥其潜力，故将靠近中性其潜力，故将靠近中性轴轴的材料移至界面的的材料移至界面的边缘边缘，必然使，必然使Wz增大如在增大如在

41、满满足足Wz的情况下，的情况下，选选用工字用工字钢钢和槽和槽钢钢制成的梁制成的梁较为较为合理合理;建筑中建筑中则则常采用混凝土空心常采用混凝土空心预预预预制板制板;既受弯曲又受扭既受弯曲又受扭转转的的轴类轴类零件，零件，则则采用空心采用空心圆圆截面比截面比较较合理合理这样这样既可减少梁的横截面面既可减少梁的横截面面积积达到达到节约节约材材料，减料，减轻轻自重的目的，又提高了梁的自重的目的，又提高了梁的强强度和度和刚刚度度上一页上一页 下一页下一页 返回返回389.5提高梁的提高梁的强强度和度和刚刚度的措施度的措施 9.5.3合理地布置合理地布置载载荷荷 当当载载荷荷已已确确定定时时，合合理理地

42、地布布置置载载荷荷可可以以减减少少梁梁上上的的最最大大弯弯矩矩，提提高高梁梁的的承承载载能能力力。例例如如，图图9 919(a)19(a)所所示示的的简简支支梁梁，集集中中力力F F作作用用在在梁梁的的中中点点l/2处处。则则Mmax=Fl l/4。若若按按图图9 919(b)19(b)所所示示，使使梁梁上上的的集集中中力力F F靠靠近近支支座座，比比如如距距离离支支座座l l/6处处，则则Mmax=5Fl l/36，相相比比之之下下，后后者者的的最最大大弯弯矩矩减减少少得得很很多多。机机床床中中很很多多齿齿轮轮轴轴，常常把把齿齿轮轮安安置置在在靠靠近近轴轴承承处处，就是，就是这这个原因。个原

43、因。此此外外。在在结结构构允允许许的的条条件件下下，应应尽尽可可能能把把集集中中力力改改变变为为分分散散的的力力，如如图图9 919(c)19(c)所所示示，其其最最大大弯弯矩矩值值比比图图9 919(a)19(a)有有了了明明显显的的降降低低。超超过过额额定定的的物物体体要要过过桥桥时时，采采用用长长平平板板车车将将集集中中载载荷荷分分为为几几个个载载荷荷，就就能安全能安全过桥过桥。吊。吊车车采用副梁可以吊起更重的物体也是采用副梁可以吊起更重的物体也是这这个道理。个道理。上一页上一页 下一页下一页 返回返回399.5提高梁的提高梁的强强度和度和刚刚度的措施度的措施 由由于于优优质质钢钢和和普

44、普通通钢钢的的E值值相相差差不不大大，但但价价相相差差较较大大，故故一一般般情情况况下不以下不以优质钢优质钢代替普通代替普通钢钢来提高梁来提高梁的的刚刚度。度。上一页上一页 返回返回40小小结结 (1)(1)平平面面弯弯曲曲时时，横横梁梁截截面面上上的的正正应应力力的的大大小小沿沿横横截截面面的的高高度度呈呈现现线线性性变变化，其化，其计计算公式算公式为为 中中性性轴轴上上正正应应力力为为零零，离离中中性性轴轴最最远远的的边边缘缘上上各各点点的的正正应应力力绝绝对对值值最最人人梁梁的的最最人人正正应应力力发发生生在在弯弯矩矩最最大大的的截截面面上上且且离离中中性性轴轴最最远远的的边边缘处缘处其

45、其计计算公式算公式为为 (2)(2)梁的正梁的正应应力力强强度条件度条件为为上一页上一页 下一页下一页 返回返回41小小结结 若材料的拉若材料的拉压许压许用用应应力不同，力不同，则应则应分分别计别计算算 (3)(3)梁横截面上的切梁横截面上的切应应力与切力与切应应力力强强度条件度条件 对对矩形截面梁，横截面上的切矩形截面梁，横截面上的切应应力力计计算公式算公式为为 其最大切其最大切应应力在截面的中性力在截面的中性轴轴上，上，计计算公式算公式为为 梁的切梁的切应应力力强强度条件度条件为为 上一页上一页 下一页下一页 返回返回42小小结结 (4)(4)弯弯矩矩引引起起的的最最大大正正应应力力是是判

46、判断断梁梁是是否否安安全全的的主主要要依依据据故故通通常常采采用用梁的正梁的正应应力力进进行梁的行梁的强强度度计计算，必要算，必要时时再再进进行切行切应应力力强强度校核度校核 (5)(5)梁梁的的变变形形用用挠挠度度y和和转转角角 来来度度量量简简单单载载荷荷作作用用下下梁梁的的挠挠曲曲线线方方程程，端端截截面面的的转转角角和和最最大大挠挠度度可可查查表表9-19-1由由于于梁梁的的变变形形和和载载荷荷成成线线性性关系，故工程上常用叠加法来求复关系，故工程上常用叠加法来求复杂载杂载荷下梁的荷下梁的变变形形 (6)(6)梁的弯曲的梁的弯曲的刚刚度条件度条件为为 (7)(7)为为提提高高梁梁的的强

47、强度度和和刚刚度度，可可从从合合理理安安排排梁梁的的支支承承，合合理理布布置置梁梁的的载载 荷荷，选选用用合合理理的的截截面面等等几几个个主主要要方方面面人人手手，根根据据实实际际情情况况确确定定合合适的方法适的方法 上一页上一页 返回返回43返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回上一页上一页 下一页下一页 返回返回上一页上一页 下一页下一页 返回返回上一页上一页 下一页下一页 返回返回上一上一页页 下一页下一页 返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回