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1、第9章 弯曲应力第1页，共57页，编辑于2022年，星期二mmF FS SM一一一一、弯曲构件横截面上的应力弯曲构件横截面上的应力弯曲构件横截面上的应力弯曲构件横截面上的应力当梁上有横向外力作用时当梁上有横向外力作用时当梁上有横向外力作用时当梁上有横向外力作用时,一般情况下一般情况下一般情况下一般情况下,梁梁梁梁的横截面上既又弯矩的横截面上既又弯矩的横截面上既又弯矩的横截面上既又弯矩MM,又有剪力又有剪力又有剪力又有剪力F FS S .91纯弯曲的概念纯弯曲的概念mmF FS S mmM 弯矩弯矩弯矩弯矩MM 正应力正应力正应力正应力 只有与正应力有关的法向内力元素只有与正应力有关的法向内力元
2、素只有与正应力有关的法向内力元素只有与正应力有关的法向内力元素 d dF FN N=d dA A 才能合成弯矩才能合成弯矩才能合成弯矩才能合成弯矩剪力剪力剪力剪力F FS S 切应力切应力切应力切应力 内力内力内力内力只有与切应力有关的切向内力元素只有与切应力有关的切向内力元素只有与切应力有关的切向内力元素只有与切应力有关的切向内力元素 d dF FS S=d dA A 才能合成才能合成才能合成才能合成剪力剪力剪力剪力所以所以所以所以,在梁的横截面上一般既有在梁的横截面上一般既有在梁的横截面上一般既有在梁的横截面上一般既有正应力正应力正应力正应力,又有又有又有又有切应力切应力切应力切应力第第9
3、章章 弯曲应力弯曲应力9.1 纯弯曲的概念纯弯曲的概念第2页，共57页，编辑于2022年，星期二 简支梁简支梁简支梁简支梁CDCD段任一横截面上段任一横截面上段任一横截面上段任一横截面上,剪力等于剪力等于剪力等于剪力等于零零零零,而弯矩为常量而弯矩为常量而弯矩为常量而弯矩为常量,所以该段梁的弯曲就所以该段梁的弯曲就所以该段梁的弯曲就所以该段梁的弯曲就是是是是纯弯曲纯弯曲纯弯曲纯弯曲.若梁在某段内各横截面的弯矩为常若梁在某段内各横截面的弯矩为常若梁在某段内各横截面的弯矩为常若梁在某段内各横截面的弯矩为常量量量量,剪力为零剪力为零剪力为零剪力为零,则该段梁的弯曲就称为则该段梁的弯曲就称为则该段梁的
4、弯曲就称为则该段梁的弯曲就称为纯纯纯纯弯曲弯曲弯曲弯曲.二、纯弯曲和横力弯曲的概念二、纯弯曲和横力弯曲的概念二、纯弯曲和横力弯曲的概念二、纯弯曲和横力弯曲的概念FFaaCD+-FF+F.a图图 5-1AB第第9章章 弯曲应力弯曲应力9.1 纯弯曲的概念纯弯曲的概念 梁的横截面上既有弯矩又有剪力的弯梁的横截面上既有弯矩又有剪力的弯梁的横截面上既有弯矩又有剪力的弯梁的横截面上既有弯矩又有剪力的弯曲称为曲称为曲称为曲称为横力弯曲横力弯曲横力弯曲横力弯曲.第3页，共57页，编辑于2022年，星期二第第9章章 弯曲内力弯曲内力9.2 弯曲正应力弯曲正应力1 1 1 1、变形几何关系、变形几何关系、变形几
5、何关系、变形几何关系92 弯曲正应力弯曲正应力实验观察变形现象实验观察变形现象实验观察变形现象实验观察变形现象一、梁纯弯曲横截面上的正应力一、梁纯弯曲横截面上的正应力一、梁纯弯曲横截面上的正应力一、梁纯弯曲横截面上的正应力第4页，共57页，编辑于2022年，星期二变形规律：变形规律：变形规律：变形规律：纵向线纵向线纵向线纵向线且靠近顶端的纵向线缩短，且靠近顶端的纵向线缩短，且靠近顶端的纵向线缩短，且靠近顶端的纵向线缩短，靠近底端的纵向线段伸长靠近底端的纵向线段伸长靠近底端的纵向线段伸长靠近底端的纵向线段伸长相对转过了一个角度相对转过了一个角度相对转过了一个角度相对转过了一个角度,仍与变形后的纵
6、向弧线垂直仍与变形后的纵向弧线垂直仍与变形后的纵向弧线垂直仍与变形后的纵向弧线垂直各横向线仍保持为直线，各横向线仍保持为直线，各横向线仍保持为直线，各横向线仍保持为直线，各纵向线段弯成弧线，各纵向线段弯成弧线，各纵向线段弯成弧线，各纵向线段弯成弧线，横向线横向线横向线横向线第第9章章 弯曲内力弯曲内力9.2 弯曲正应力弯曲正应力第5页，共57页，编辑于2022年，星期二变形基本假设变形基本假设(a)(a)(a)(a)平面假设平面假设平面假设平面假设 梁变形前原为平面的横截梁变形前原为平面的横截梁变形前原为平面的横截梁变形前原为平面的横截面变形后仍保持为平面且垂直于变形后的面变形后仍保持为平面且
7、垂直于变形后的面变形后仍保持为平面且垂直于变形后的面变形后仍保持为平面且垂直于变形后的梁轴线，只是横截面绕其上的某轴转动一梁轴线，只是横截面绕其上的某轴转动一梁轴线，只是横截面绕其上的某轴转动一梁轴线，只是横截面绕其上的某轴转动一个角度。个角度。个角度。个角度。(b)(b)(b)(b)单向受力假设单向受力假设单向受力假设单向受力假设 纵向纤维不相互挤压纵向纤维不相互挤压纵向纤维不相互挤压纵向纤维不相互挤压,只受单向拉压只受单向拉压只受单向拉压只受单向拉压推论：推论：推论：推论：必有一层变形前后长度不变的纤维必有一层变形前后长度不变的纤维必有一层变形前后长度不变的纤维必有一层变形前后长度不变的纤
8、维中性层中性层中性层中性层中性轴中性轴中性轴中性轴 横截面的对称轴横截面的对称轴横截面的对称轴横截面的对称轴中性轴中性轴横截面对称轴横截面对称轴横截面对称轴横截面对称轴 中性层中性层中性层中性层第第9章章 弯曲内力弯曲内力9.2 弯曲正应力弯曲正应力第6页，共57页，编辑于2022年，星期二 梁的弯曲变形实际上是各横截面绕各自的梁的弯曲变形实际上是各横截面绕各自的梁的弯曲变形实际上是各横截面绕各自的梁的弯曲变形实际上是各横截面绕各自的中性轴中性轴中性轴中性轴转动了一转动了一个角度，等高度的一层纤维的变形完全相同。个角度，等高度的一层纤维的变形完全相同。中性层与中性轴的概念中性层与中性轴的概念第
9、第9章章 弯曲内力弯曲内力9.2 弯曲正应力弯曲正应力第7页，共57页，编辑于2022年，星期二 应变分布规律应变分布规律应变分布规律应变分布规律直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比第第9章章 弯曲内力弯曲内力9.2 弯曲正应力弯曲正应力dx图（图（图（图（b b）yzxoybboo（a a a a）图（图（图（图（c c）yzyxoobb第8页，共57页，编辑于2022年，星期二2 2、物理关系、物理关系所以所以所以所以Hooke
10、s LawHookes LawMyzOx直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比成正比成正比成正比应力分布规律应力分布规律应力分布规律应力分布规律?待解决问题待解决问题待解决问题待解决问题中性轴的位置中性轴的位置中性轴的位置中性轴的位置中性层的曲率半径中性层的曲率半径中性层的曲率半径中性层的曲率半径?第第9章章 弯曲内力弯曲内力9.2 弯曲正应力弯曲正应力（弹性范围内弹性范围内弹性范围内弹性范围内）第9页，
11、共57页，编辑于2022年，星期二yzxOMd dA AzyddA A3 3 3 3、静力关系、静力关系、静力关系、静力关系中性层的曲率半径中性层的曲率半径中性层的曲率半径中性层的曲率半径 中性轴的位置中性轴的位置中性轴的位置中性轴的位置待解决问题待解决问题待解决问题待解决问题FNMzMy内力与外力相平衡可得内力与外力相平衡可得内力与外力相平衡可得内力与外力相平衡可得(1)(1)(2)(2)(3)(3)第第9章章 弯曲内力弯曲内力9.2 弯曲正应力弯曲正应力第10页，共57页，编辑于2022年，星期二将应力表达式代入将应力表达式代入将应力表达式代入将应力表达式代入(1)(1)(1)(1)式，得
12、式，得式，得式，得将应力表达式代入将应力表达式代入将应力表达式代入将应力表达式代入(2)(2)(2)(2)式，得式，得式，得式，得将应力表达式代入将应力表达式代入将应力表达式代入将应力表达式代入(3)(3)(3)(3)式，得式，得式，得式，得中性轴通过横截面形心中性轴通过横截面形心中性轴通过横截面形心中性轴通过横截面形心自然满足自然满足自然满足自然满足第第9章章 弯曲内力弯曲内力9.2 弯曲正应力弯曲正应力弯曲变形的基本公式弯曲变形的基本公式弯曲变形的基本公式弯曲变形的基本公式第11页，共57页，编辑于2022年，星期二观察变形观察变形观察变形观察变形提出假设提出假设提出假设提出假设变形的分布
13、规律变形的分布规律变形的分布规律变形的分布规律变变变变形形形形几几几几何何何何关关关关系系系系物物物物理理理理关关关关系系系系静静静静力力力力关关关关系系系系应力的分布规律应力的分布规律应力的分布规律应力的分布规律建立公式建立公式建立公式建立公式实实实实 验验验验平面假设平面假设平面假设平面假设单向受力假设单向受力假设单向受力假设单向受力假设中性层、中性轴中性层、中性轴中性层、中性轴中性层、中性轴中性轴过横截面形心中性轴过横截面形心中性轴过横截面形心中性轴过横截面形心EIEIz z称为梁抗弯刚度称为梁抗弯刚度称为梁抗弯刚度称为梁抗弯刚度第第9章章 弯曲内力弯曲内力9.2 弯曲正应力弯曲正应力第
14、12页，共57页，编辑于2022年，星期二纯弯曲时横截面上正应力的计算公式纯弯曲时横截面上正应力的计算公式纯弯曲时横截面上正应力的计算公式纯弯曲时横截面上正应力的计算公式:MM为梁横截面上的弯矩为梁横截面上的弯矩为梁横截面上的弯矩为梁横截面上的弯矩y y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离为梁横截面上任意一点到中性轴的距离为梁横截面上任意一点到中性轴的距离为梁横截面上任意一点到中性轴的距离I Iz z为梁横截面对中性轴的惯性矩为梁横截面对中性轴的惯性矩为梁横截面对中性轴的惯性矩为梁横截面对中性轴的惯性矩讨论讨论 【1 1】)应用公式时应用公式时应用公式时应用公式时,一般将一般将一般将一般将 MM
15、,y y 以绝对值代入以绝对值代入以绝对值代入以绝对值代入.根据梁变形的情根据梁变形的情根据梁变形的情根据梁变形的情况直接判断况直接判断况直接判断况直接判断 的正负号的正负号的正负号的正负号.以中性轴为界，以中性轴为界，以中性轴为界，以中性轴为界，梁变形后凸出边的应力梁变形后凸出边的应力梁变形后凸出边的应力梁变形后凸出边的应力为拉应力为拉应力为拉应力为拉应力(为正号为正号为正号为正号).).凹入边的应力为压应力凹入边的应力为压应力凹入边的应力为压应力凹入边的应力为压应力(为负号为负号为负号为负号).).【2 2】)最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处，最大正应力发生在横截面上离中性轴最远
16、的点处，最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处，最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处，则公式改写为则公式改写为则公式改写为则公式改写为引用记号引用记号引用记号引用记号抗弯截面系数抗弯截面系数抗弯截面系数抗弯截面系数第第9章章 弯曲内力弯曲内力9.2 弯曲正应力弯曲正应力第13页，共57页，编辑于2022年，星期二（1 1）当）当）当）当 中性轴为对称轴时中性轴为对称轴时中性轴为对称轴时中性轴为对称轴时矩形截面矩形截面矩形截面矩形截面实心圆截面实心圆截面实心圆截面实心圆截面空心圆截面空心圆截面空心圆截面空心圆截面bhzyzdyzDdy第第9章章 弯曲内力弯曲内力9.2 弯曲正应力弯曲正
17、应力第14页，共57页，编辑于2022年，星期二zy（2 2）对于中性轴不是对称轴的横截面）对于中性轴不是对称轴的横截面）对于中性轴不是对称轴的横截面）对于中性轴不是对称轴的横截面M应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离 和和和和 直接代入公式直接代入公式直接代入公式直接代入公式求得相应的最大正应力求得相应的最大正应力求得相应的最大正应力求得相应的最大正应力第第9章章 弯曲内力弯曲内力9.2 弯曲正应力弯曲正应力第15页，共57页，编辑于20
18、22年，星期二工程中常见的平面弯曲是工程中常见的平面弯曲是工程中常见的平面弯曲是工程中常见的平面弯曲是横力弯曲横力弯曲横力弯曲横力弯曲二、二、横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力 实验和弹性力学理论的理论都表明：实验和弹性力学理论的理论都表明：实验和弹性力学理论的理论都表明：实验和弹性力学理论的理论都表明：当跨度当跨度当跨度当跨度l l与横截面的高度与横截面的高度与横截面的高度与横截面的高度 h h 之比之比之比之比 l l/h h 5 5(细长杆细长杆细长杆细长杆)时，纯弯曲正应时，纯弯曲正应时，纯弯曲正应时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。力公式对于横力弯曲近似成立。力公式对于横力弯
19、曲近似成立。力公式对于横力弯曲近似成立。第第9章章 弯曲内力弯曲内力9.2 弯曲正应力弯曲正应力弯曲正应力公式：弯曲正应力公式：弯曲正应力公式：弯曲正应力公式：横力弯曲梁上的最大正应力横力弯曲梁上的最大正应力横力弯曲梁上的最大正应力横力弯曲梁上的最大正应力截面关于中性轴对称截面关于中性轴对称截面关于中性轴对称截面关于中性轴对称截面关于中性轴不对称截面关于中性轴不对称截面关于中性轴不对称截面关于中性轴不对称第16页，共57页，编辑于2022年，星期二第第9章章 弯曲内力弯曲内力9.2 弯曲正应力弯曲正应力第17页，共57页，编辑于2022年，星期二第第9章章 弯曲内力弯曲内力9.2 弯曲正应力弯
20、曲正应力三、弯曲正应力的强度条件三、弯曲正应力的强度条件三、弯曲正应力的强度条件三、弯曲正应力的强度条件梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力第18页，共57页，编辑于2022年，星期二1 1 1 1、数学表达式、数学表达式、数学表达式、数学表达式第第9章章 弯曲内力弯曲内力9.2 弯曲正应力弯曲正应力横截面关于中性轴对称的等直梁横截面关于中性轴对称的等直梁横截面关于中性轴对称的等直梁横截面关于中性轴对称的等直梁2 2 2 2、强度条件的应用、强度条件的应用、强度条件的应用、强度条
21、件的应用hbzyodzyo 对塑性材料而言，由于材料的抗拉和抗压性能相同。因此对等截对塑性材料而言，由于材料的抗拉和抗压性能相同。因此对等截对塑性材料而言，由于材料的抗拉和抗压性能相同。因此对等截对塑性材料而言，由于材料的抗拉和抗压性能相同。因此对等截面直梁来说，危险截面仅有一个，既面直梁来说，危险截面仅有一个，既面直梁来说，危险截面仅有一个，既面直梁来说，危险截面仅有一个，既 所在的截面，而截面上所在的截面，而截面上所在的截面，而截面上所在的截面，而截面上的危险点，既的危险点，既的危险点，既的危险点，既 所在之点所在之点所在之点所在之点第19页，共57页，编辑于2022年，星期二第第9章章
22、弯曲内力弯曲内力9.2 弯曲正应力弯曲正应力 对于铸铁等对于铸铁等对于铸铁等对于铸铁等 脆性材料脆性材料脆性材料脆性材料 制成的梁制成的梁制成的梁制成的梁,由于材料的由于材料的由于材料的由于材料的 且梁横截面的且梁横截面的且梁横截面的且梁横截面的中性轴中性轴中性轴中性轴 一般也不是对称轴一般也不是对称轴一般也不是对称轴一般也不是对称轴,所以梁的所以梁的所以梁的所以梁的(两者有时并不发生在同一横截面上两者有时并不发生在同一横截面上两者有时并不发生在同一横截面上两者有时并不发生在同一横截面上)要求分别不超过材料的要求分别不超过材料的要求分别不超过材料的要求分别不超过材料的许用拉应力许用拉应力许用拉
23、应力许用拉应力和和和和许用压应力许用压应力许用压应力许用压应力第20页，共57页，编辑于2022年，星期二(2)(2)(2)(2)设计截面设计截面设计截面设计截面(3)(3)(3)(3)确定许可载荷确定许可载荷确定许可载荷确定许可载荷(1)(1)(1)(1)强度校核强度校核强度校核强度校核第第9章章 弯曲内力弯曲内力9.2 弯曲正应力弯曲正应力强度条件主要解决三类问题：强度条件主要解决三类问题：强度条件主要解决三类问题：强度条件主要解决三类问题：中性轴 z 不是横截面的对称轴，截面上最大拉应力值和压应力值为：第21页，共57页，编辑于2022年，星期二第第9章章 弯曲内力弯曲内力9.2 弯曲正
24、应力弯曲正应力例题例题例题例题9-29-2第22页，共57页，编辑于2022年，星期二第第9章章 弯曲内力弯曲内力9.2 弯曲正应力弯曲正应力第23页，共57页，编辑于2022年，星期二第第9章章 弯曲内力弯曲内力9.2 弯曲正应力弯曲正应力第24页，共57页，编辑于2022年，星期二第第9章章 弯曲内力弯曲内力9.2 弯曲正应力弯曲正应力第25页，共57页，编辑于2022年，星期二80y1y22020120z例题例题例题例题9-2 T9-2 T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示.铸铁
25、的抗拉许铸铁的抗拉许铸铁的抗拉许铸铁的抗拉许用应力为用应力为用应力为用应力为 t t=30MPa,=30MPa,抗压许用应力为抗压许用应力为抗压许用应力为抗压许用应力为 c c=60MPa.=60MPa.已知截面对已知截面对已知截面对已知截面对形心轴形心轴形心轴形心轴Z Z的惯性矩为的惯性矩为的惯性矩为的惯性矩为 I Iz z =763cm=763cm4 4,y y1 1 =52mm,=52mm,校核梁的强度校核梁的强度校核梁的强度校核梁的强度.F1=9kNF2=4kNACBD1m1m1m第第9章章 弯曲内力弯曲内力9.2 弯曲正应力弯曲正应力第26页，共57页，编辑于2022年，星期二RAR
26、BF1=9kNF2=4kNACBD1m1m1m-+4kN.m2.5kN.m解解解解最大正弯矩在截面最大正弯矩在截面最大正弯矩在截面最大正弯矩在截面C C上上上上最大负弯矩在截面最大负弯矩在截面最大负弯矩在截面最大负弯矩在截面B B上上上上 B B截面（截面（截面（截面（上拉下压上拉下压上拉下压上拉下压）C C截面（截面（截面（截面（上压下拉上压下拉上压下拉上压下拉）80y1y22020120z第第9章章 弯曲内力弯曲内力9.2 弯曲正应力弯曲正应力第27页，共57页，编辑于2022年，星期二四、四、四、四、提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施一、降低
27、梁的最大弯矩值一、降低梁的最大弯矩值一、降低梁的最大弯矩值一、降低梁的最大弯矩值1 1 1 1、合理地布置梁的荷载、合理地布置梁的荷载、合理地布置梁的荷载、合理地布置梁的荷载按强度要求设计梁时按强度要求设计梁时按强度要求设计梁时按强度要求设计梁时,主要是依据梁的正应力强度条件主要是依据梁的正应力强度条件主要是依据梁的正应力强度条件主要是依据梁的正应力强度条件FlFlFl/4/4FlFl/8/8Fl l/4/4l l/4/4l l/2/2第第9章章 弯曲内力弯曲内力9.2 弯曲正应力弯曲正应力（尽量使载荷分散或者接近支座尽量使载荷分散或者接近支座尽量使载荷分散或者接近支座尽量使载荷分散或者接近支
28、座）第28页，共57页，编辑于2022年，星期二2 2 2 2、合理地设置支座位置、合理地设置支座位置、合理地设置支座位置、合理地设置支座位置当两端支座分别向跨中移动当两端支座分别向跨中移动当两端支座分别向跨中移动当两端支座分别向跨中移动a a=0.207=0.207l l 时时时时aalq0.02140.0214qlql2 2lqqlql2 2/8/8第第9章章 弯曲内力弯曲内力9.2 弯曲正应力弯曲正应力第29页，共57页，编辑于2022年，星期二第第9章章 弯曲内力弯曲内力9.2 弯曲正应力弯曲正应力第30页，共57页，编辑于2022年，星期二二、梁的二、梁的二、梁的二、梁的合理截面 合
29、理的截面形状应该是截面面积A A较小，而抗弯截面系数Wz较大。通常情况下用 Wz/A 来衡量。第第9章章 弯曲内力弯曲内力9.2 弯曲正应力弯曲正应力 截面形状的合理性和经济性。比值越大，则截面形状的形状就越合理经济。第31页，共57页，编辑于2022年，星期二 （1 1 1 1）根据截面的几何性质合理选择截面形状）根据截面的几何性质合理选择截面形状）根据截面的几何性质合理选择截面形状）根据截面的几何性质合理选择截面形状在面积相等的情况下，选择抗弯截面系数大的截面在面积相等的情况下，选择抗弯截面系数大的截面在面积相等的情况下，选择抗弯截面系数大的截面在面积相等的情况下，选择抗弯截面系数大的截面
30、zDzaaa12a1z第第9章章 弯曲内力弯曲内力9.2 弯曲正应力弯曲正应力第32页，共57页，编辑于2022年，星期二工字形截面与框形截面类似工字形截面与框形截面类似工字形截面与框形截面类似工字形截面与框形截面类似.0.8a2a21.6a22a2z（2 2 2 2）合理的放置）合理的放置）合理的放置）合理的放置Fbhbh第第9章章 弯曲内力弯曲内力9.2 弯曲正应力弯曲正应力第33页，共57页，编辑于2022年，星期二尽可能使横截面上的面积分布在距中性轴较远处，以使抗弯截面系数Wz增大。由四根100 mm80 mm10 mm不等边角钢按四种不同方式焊成的梁(角钢的长肢均平放，故四种截面的高
31、度均为160 mm)，他们在竖直平面内弯曲时横截面对于中性轴的惯性矩Iz和弯曲截面系数Wz如下：第第9章章 弯曲内力弯曲内力9.2 弯曲正应力弯曲正应力第34页，共57页，编辑于2022年，星期二图图a所示截面图b所示截面图c所示截面图图d所示截面第第9章章 弯曲内力弯曲内力9.2 弯曲正应力弯曲正应力第35页，共57页，编辑于2022年，星期二2 2 2 2、对于脆性材料制成的梁、对于脆性材料制成的梁、对于脆性材料制成的梁、对于脆性材料制成的梁,宜采用宜采用宜采用宜采用T T T T字形等对中性轴不对称的截面且将字形等对中性轴不对称的截面且将字形等对中性轴不对称的截面且将字形等对中性轴不对称
32、的截面且将翼翼翼翼缘置于受拉侧缘置于受拉侧缘置于受拉侧缘置于受拉侧.（3 3 3 3）根据材料特性选择截面形状）根据材料特性选择截面形状）根据材料特性选择截面形状）根据材料特性选择截面形状1 1 1 1、对于塑性材料制成的梁、对于塑性材料制成的梁、对于塑性材料制成的梁、对于塑性材料制成的梁,选以中性轴为对称轴的横截面选以中性轴为对称轴的横截面选以中性轴为对称轴的横截面选以中性轴为对称轴的横截面zy y1 1y y2 2 c cmaxmax t tmaxmax要使要使要使要使y y1 1/y y2 2接近下列关系接近下列关系接近下列关系接近下列关系:最大拉应力和最大压应力同时接近许用应力最大拉应
33、力和最大压应力同时接近许用应力最大拉应力和最大压应力同时接近许用应力最大拉应力和最大压应力同时接近许用应力第第9章章 弯曲内力弯曲内力9.2 弯曲正应力弯曲正应力第36页，共57页，编辑于2022年，星期二三、变截面梁与等强度梁三、变截面梁与等强度梁三、变截面梁与等强度梁三、变截面梁与等强度梁 梁各横截面上的最大正应力都相等梁各横截面上的最大正应力都相等梁各横截面上的最大正应力都相等梁各横截面上的最大正应力都相等,并均达到材料的许用应力并均达到材料的许用应力并均达到材料的许用应力并均达到材料的许用应力,则称为则称为则称为则称为等强度梁等强度梁等强度梁等强度梁.例如，高度例如，高度例如，高度例如
34、，高度h h 保持不变，而宽度可变化的矩形截面简支梁保持不变，而宽度可变化的矩形截面简支梁保持不变，而宽度可变化的矩形截面简支梁保持不变，而宽度可变化的矩形截面简支梁,若设计成等强度梁若设计成等强度梁若设计成等强度梁若设计成等强度梁,则其宽度随截面位置的变化规律则其宽度随截面位置的变化规律则其宽度随截面位置的变化规律则其宽度随截面位置的变化规律b b(x x),),可可可可按正应力强度条件求得按正应力强度条件求得按正应力强度条件求得按正应力强度条件求得.bhzFl/2l/2梁任一横截面上最大正应力为梁任一横截面上最大正应力为梁任一横截面上最大正应力为梁任一横截面上最大正应力为求得求得求得求得第
35、第9章章 弯曲内力弯曲内力9.2 弯曲正应力弯曲正应力第37页，共57页，编辑于2022年，星期二又如，宽度又如，宽度又如，宽度又如，宽度b b保持不变而高度可变化的矩形截面简支梁保持不变而高度可变化的矩形截面简支梁保持不变而高度可变化的矩形截面简支梁保持不变而高度可变化的矩形截面简支梁,若设若设若设若设计成等强度梁计成等强度梁计成等强度梁计成等强度梁,则其高度随截面位置的变化规律则其高度随截面位置的变化规律则其高度随截面位置的变化规律则其高度随截面位置的变化规律h h(x x),),可按正可按正可按正可按正应力强度条件求得应力强度条件求得应力强度条件求得应力强度条件求得.bh(x)zFl/2
36、l/2梁任一横截面上最大正应力为梁任一横截面上最大正应力为梁任一横截面上最大正应力为梁任一横截面上最大正应力为求得求得求得求得等强度梁：等强度梁：等强度梁：等强度梁：第第9章章 弯曲内力弯曲内力9.2 弯曲正应力弯曲正应力第38页，共57页，编辑于2022年，星期二按上按上按上按上 确定的梁的外形确定的梁的外形确定的梁的外形确定的梁的外形,就是厂房建筑中常用的就是厂房建筑中常用的就是厂房建筑中常用的就是厂房建筑中常用的鱼腹梁鱼腹梁鱼腹梁鱼腹梁.汽车的汽车的汽车的汽车的叠板弹簧叠板弹簧叠板弹簧叠板弹簧接近等强度梁。接近等强度梁。接近等强度梁。接近等强度梁。F第第9章章 弯曲内力弯曲内力9.2 弯
37、曲正应力弯曲正应力第39页，共57页，编辑于2022年，星期二一、梁横截面上的切应力一、梁横截面上的切应力1 1 1 1、矩形截面梁、矩形截面梁、矩形截面梁、矩形截面梁 93 弯曲切应力弯曲切应力梁的切应力及强度条件梁的切应力及强度条件 (1)(1)两个假设两个假设两个假设两个假设(a)(a)横截面上各点处的切应力均与侧边平横截面上各点处的切应力均与侧边平横截面上各点处的切应力均与侧边平横截面上各点处的切应力均与侧边平行（行（行（行（切应力与剪力平行切应力与剪力平行切应力与剪力平行切应力与剪力平行）(b)(b)(b)(b)切应力切应力切应力切应力沿截面宽度均匀分布沿截面宽度均匀分布沿截面宽度均
38、匀分布沿截面宽度均匀分布(即距中性轴等距离处切应力相等即距中性轴等距离处切应力相等即距中性轴等距离处切应力相等即距中性轴等距离处切应力相等)q(x)F1F2zyyhbzyO第第9章章 弯曲内力弯曲内力9.3 弯曲切应力弯曲切应力第40页，共57页，编辑于2022年，星期二mnnmxyzobdxmmhn (2)(2)分析方法分析方法分析方法分析方法(a)(a)用横截面用横截面用横截面用横截面mm-mm,n n-n n从梁中截从梁中截从梁中截从梁中截取取取取d dx x一段一段一段一段.两横截面上的弯矩不等两横截面上的弯矩不等两横截面上的弯矩不等两横截面上的弯矩不等.所所所所以两截面同一以两截面同
39、一以两截面同一以两截面同一y y处的正应力也不等处的正应力也不等处的正应力也不等处的正应力也不等.(b)(b)假想地从梁段上截出体积元素假想地从梁段上截出体积元素假想地从梁段上截出体积元素假想地从梁段上截出体积元素mBmB1 1，在两端面在两端面在两端面在两端面mAmA1 1,nBnB1 1上两个法向内上两个法向内上两个法向内上两个法向内力不等力不等力不等力不等.ABB1A1mnxzyymq(x)F1F2mmnnxdxyABA1B1FN2FN1第第9章章 弯曲内力弯曲内力9.3 弯曲切应力弯曲切应力第41页，共57页，编辑于2022年，星期二mnnmxyzoyABA1B1bdxmmhn(c)(
40、c)在纵截面上必有沿在纵截面上必有沿在纵截面上必有沿在纵截面上必有沿 x x 方向的切向内力方向的切向内力方向的切向内力方向的切向内力d dF Fs s.故在此面上就有切应力故在此面上就有切应力故在此面上就有切应力故在此面上就有切应力，由切应力互等定理由切应力互等定理由切应力互等定理由切应力互等定理 （为为为为横截面上的切应力横截面上的切应力横截面上的切应力横截面上的切应力），），），），ABB1A1mnxzyymFN1FN2dFS根据假设根据假设根据假设根据假设 横截面上距中性轴等远的各点处切应力大小相等横截面上距中性轴等远的各点处切应力大小相等横截面上距中性轴等远的各点处切应力大小相等横截
41、面上距中性轴等远的各点处切应力大小相等，各点的切各点的切各点的切各点的切应力方向均与截面侧边平行，应力方向均与截面侧边平行，应力方向均与截面侧边平行，应力方向均与截面侧边平行，取分离体的平衡即可求出取分离体的平衡即可求出取分离体的平衡即可求出取分离体的平衡即可求出.第第9章章 弯曲内力弯曲内力9.3 弯曲切应力弯曲切应力第42页，共57页，编辑于2022年，星期二ABB1A1mnxzyymFN1FN2dFS (3)公式推导公式推导假设假设假设假设mm-mm,n n-n n上的弯矩为上的弯矩为上的弯矩为上的弯矩为MM和和和和MM+d+dMM.两截面上距中性轴为两截面上距中性轴为两截面上距中性轴为
42、两截面上距中性轴为 y y1 1 处的处的处的处的正应力为正应力为正应力为正应力为 1 1 和和和和 2 2.mmn nn n第第9章章 弯曲内力弯曲内力9.3 弯曲切应力弯曲切应力第43页，共57页，编辑于2022年，星期二ABB1A1mnxzyymFN1FN2dFS (3)(3)公式推导公式推导公式推导公式推导假设假设假设假设mm-mm,n n-n n上的弯矩为上的弯矩为上的弯矩为上的弯矩为MM和和和和MM+d+dMM.两截面上距中性轴为两截面上距中性轴为两截面上距中性轴为两截面上距中性轴为 y y1 1 处的处的处的处的正应力为正应力为正应力为正应力为 1 1 和和和和 2 2.A A*
43、为距中性轴为为距中性轴为为距中性轴为为距中性轴为y y的横线以外部分的的横线以外部分的的横线以外部分的的横线以外部分的横截面面积横截面面积横截面面积横截面面积式中：式中：式中：式中：为面积为面积为面积为面积A A*对中性轴的静矩对中性轴的静矩对中性轴的静矩对中性轴的静矩.第第9章章 弯曲内力弯曲内力9.3 弯曲切应力弯曲切应力第44页，共57页，编辑于2022年，星期二化简后得化简后得化简后得化简后得由平衡方程由平衡方程由平衡方程由平衡方程A*ABB1A1mnxzyymFN1FN2dFS第第9章章 弯曲内力弯曲内力9.3 弯曲切应力弯曲切应力第45页，共57页，编辑于2022年，星期二b矩型截
44、面的宽度矩型截面的宽度矩型截面的宽度矩型截面的宽度yz整个横截面对中性轴的惯性矩整个横截面对中性轴的惯性矩整个横截面对中性轴的惯性矩整个横截面对中性轴的惯性矩距中性轴为距中性轴为距中性轴为距中性轴为y y的横线以外部分横截面面积对中性轴的静矩的横线以外部分横截面面积对中性轴的静矩的横线以外部分横截面面积对中性轴的静矩的横线以外部分横截面面积对中性轴的静矩(4)(4)切应力沿截面高度的变化规律切应力沿截面高度的变化规律切应力沿截面高度的变化规律切应力沿截面高度的变化规律 沿截面高度的变化由静矩沿截面高度的变化由静矩沿截面高度的变化由静矩沿截面高度的变化由静矩 与与与与y y之间的关系确定之间的关
45、系确定之间的关系确定之间的关系确定第第9章章 弯曲内力弯曲内力9.3 弯曲切应力弯曲切应力第46页，共57页，编辑于2022年，星期二（4）矩形截面上的弯曲切应力分布抛物线分布第第9章章 弯曲内力弯曲内力9.3 弯曲切应力弯曲切应力第47页，共57页，编辑于2022年，星期二y1nBmAxyzOyA1B1m1可见可见可见可见,切应力沿切应力沿切应力沿切应力沿 截面高度按抛物线规律变化截面高度按抛物线规律变化截面高度按抛物线规律变化截面高度按抛物线规律变化.z maxmaxy y=h h/2(/2(即在横截面上距中性轴最远处即在横截面上距中性轴最远处即在横截面上距中性轴最远处即在横截面上距中性轴
46、最远处)=0=0y=y=0(0(即在中性轴上各点处即在中性轴上各点处即在中性轴上各点处即在中性轴上各点处),),切应力达到最大值切应力达到最大值切应力达到最大值切应力达到最大值式中式中式中式中,A=bhA=bh,为矩形截面的面积为矩形截面的面积为矩形截面的面积为矩形截面的面积.第第9章章 弯曲内力弯曲内力9.3 弯曲切应力弯曲切应力第48页，共57页，编辑于2022年，星期二z附：截面静矩的计算方法附：截面静矩的计算方法附：截面静矩的计算方法附：截面静矩的计算方法A A为截面面积为截面面积为截面面积为截面面积为截面的形心坐标为截面的形心坐标为截面的形心坐标为截面的形心坐标A A2 2 2 2、
47、工字形截面梁、工字形截面梁、工字形截面梁、工字形截面梁假设求应力的点到中性轴的距离为假设求应力的点到中性轴的距离为假设求应力的点到中性轴的距离为假设求应力的点到中性轴的距离为y y.研究方法与矩形截面同研究方法与矩形截面同研究方法与矩形截面同研究方法与矩形截面同,切应力的计算公式亦为切应力的计算公式亦为切应力的计算公式亦为切应力的计算公式亦为HoyBxbzh第第9章章 弯曲内力弯曲内力9.3 弯曲切应力弯曲切应力第49页，共57页，编辑于2022年，星期二b b 腹板的宽度腹板的宽度腹板的宽度腹板的宽度【切应力当地宽度】【切应力当地宽度】【切应力当地宽度】【切应力当地宽度】Ozydxy 距中性
48、轴为距中性轴为距中性轴为距中性轴为y的横线以外部分的的横线以外部分的的横线以外部分的的横线以外部分的横截面面积横截面面积横截面面积横截面面积A A*对中性轴的静矩对中性轴的静矩对中性轴的静矩对中性轴的静矩.minminozy maxmax maxmax(a)(a)腹板上的切应力沿腹板高度按二次抛腹板上的切应力沿腹板高度按二次抛腹板上的切应力沿腹板高度按二次抛腹板上的切应力沿腹板高度按二次抛物线规律变化物线规律变化物线规律变化物线规律变化.(b)(b)最大切应力也在中性轴上最大切应力也在中性轴上最大切应力也在中性轴上最大切应力也在中性轴上.这也是整个横这也是整个横这也是整个横这也是整个横截面上的
49、最大切应力截面上的最大切应力截面上的最大切应力截面上的最大切应力.第第9章章 弯曲内力弯曲内力9.3 弯曲切应力弯曲切应力第50页，共57页，编辑于2022年，星期二ozy minmin maxmax第第9章章 弯曲内力弯曲内力9.3 弯曲切应力弯曲切应力 腹板承担了腹板承担了腹板承担了腹板承担了大部分剪力大部分剪力大部分剪力大部分剪力，且剪应力接近，且剪应力接近，且剪应力接近，且剪应力接近于于于于均匀分布。均匀分布。均匀分布。均匀分布。但是翼缘承担了大部分的弯矩。但是翼缘承担了大部分的弯矩。但是翼缘承担了大部分的弯矩。但是翼缘承担了大部分的弯矩。二、切应力的强度条件二、切应力的强度条件 等截
50、面梁，切应力的最大值发生在最大剪力所在横截面的等截面梁，切应力的最大值发生在最大剪力所在横截面的等截面梁，切应力的最大值发生在最大剪力所在横截面的等截面梁，切应力的最大值发生在最大剪力所在横截面的中性轴上。中性轴上。中性轴上。中性轴上。第51页，共57页，编辑于2022年，星期二z三、需要校核切应力的几种特殊情况三、需要校核切应力的几种特殊情况三、需要校核切应力的几种特殊情况三、需要校核切应力的几种特殊情况（1 1 1 1）梁的跨度较短）梁的跨度较短）梁的跨度较短）梁的跨度较短,M M M M 较小较小较小较小,而而而而F F F FS S S S较大时较大时较大时较大时,要校核切应力要校核切