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1、第9章 矩阵位移法 9-1 概述 9-2 单元刚度矩阵(局部坐标系） 9-3 单元刚度矩阵(整体坐标系） 9-4 连续梁的整体刚度矩阵 9-5 刚架的整体刚度矩阵 9-6 等效结点荷载 9-7 计算步骤和算例 9-8 忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析 9-9 桁架及组合结构的整体分析 9-10 小结9-1 概述结构矩阵分析方法：三位一体结构矩阵分析方法：三位一体以传统结构力学为理论基础；以传统结构力学为理论基础；以矩阵作为数学表述形式；以矩阵作为数学表述形式；以计算机作为计算手段。以计算机作为计算手段。结构力学传统方法与结构矩阵分析同源而有别：结构力学传统方法与结构矩阵分析同源而有别：在原理上
2、同源；在原理上同源；在计算方法上有别：手算怕繁、电算怕乱。在计算方法上有别：手算怕繁、电算怕乱。结构矩阵分析的要点：结构矩阵分析的要点：离散：将整个结构分解成若干单元；离散：将整个结构分解成若干单元；整合：将单元按一定的条件集合成整体。整合：将单元按一定的条件集合成整体。9-2 单元刚度矩阵（局部坐标系）1 一般单元ABCEDFABDEC结构的离散化结构的离散化9-2 局部坐标系下的单元刚度矩阵局部坐标系局部坐标系 T123456T111222eeeuvuv 杆端位移向量杆端位移向量9-2 局部坐标系下的单元刚度矩阵 T123456T111222eeexyxyFFFFFFFFFMFFM弯矩、转
3、角：绕杆端弯矩、转角：绕杆端顺顺时针为正；时针为正；其它：与坐标轴同向为正。其它：与坐标轴同向为正。杆端力向量杆端力向量9-2 局部坐标系下的单元刚度矩阵单元刚度方程单元刚度方程由单元杆端位移求单元杆端力时所建立的方程。由单元杆端位移求单元杆端力时所建立的方程。首先首先 在杆端两端加上人为控制的附加约束，使体系在杆端两端加上人为控制的附加约束，使体系 发生任意指定的位移。发生任意指定的位移。然后然后 根据位移推算相应的杆端力。根据位移推算相应的杆端力。9-2 局部坐标系下的单元刚度矩阵1121112232321112222212211223232211222212612664621261266
4、264xyxyEAEAFuullEIEIEIEIFvvllllEIEIEIEIMvvllllEAEAFuullEIEIEIEIFvvllllEIEIEIEIMvvllll 忽略轴向受力状态和弯曲受力状态之间的相互影响，得忽略轴向受力状态和弯曲受力状态之间的相互影响，得9-2 局部坐标系下的单元刚度矩阵 1113232122223232222000012612600646200000012612600626400eexyxyEAEAFllEIEIEIEIFllllEIEIEIEIMllllEAEAFllEIEIEIEIFllllEIEIEIEIMllll 23456e eeeFk 局部坐标下的单
5、元刚度方程局部坐标下的单元刚度方程9-2 局部坐标系下的单元刚度矩阵323222323222000012612600646200000012612600626400eEAEAllEIEIEIEIllllEIEIEIEIllllkEAEAllEIEIEIEIllllEIEIEIEIllll 局部坐标下自由单元的单元刚度矩阵局部坐标下自由单元的单元刚度矩阵9-2 局部坐标系下的单元刚度矩阵2 单元刚度矩阵的性质（1 1）单元刚度系数的意义）单元刚度系数的意义单位杆端位移引起的杆端力单位杆端位移引起的杆端力（2 2）单元刚度矩阵是对称矩阵）单元刚度矩阵是对称矩阵反力互等定理反力互等定理（3 3）自由
6、单元刚度矩阵是奇异矩阵）自由单元刚度矩阵是奇异矩阵矩阵行列式等于零，逆阵不存在。矩阵行列式等于零，逆阵不存在。解不解不唯一唯一由杆端力只能求出变形，不能求杆端总的位移由杆端力只能求出变形，不能求杆端总的位移 （刚体位移（刚体位移+ +变形）。变形）。解解唯一唯一eeeFk 1eeekF 9-2 局部坐标系下的单元刚度矩阵3 3 特殊单元特殊单元连续梁单元的刚度方程连续梁单元的刚度方程11220uvuv 单元刚度方程为单元刚度方程为 31624224eeeEIEIMllEIEIMll 非奇异，可逆非奇异，可逆单元刚度矩阵为单元刚度矩阵为4224eeEIEIllkEIEIll 9-3 单元刚度矩阵
7、（整体坐标系）（1 1）单元坐标转换矩阵）单元坐标转换矩阵局部坐标系下局部坐标系下的杆端力的杆端力整体坐标系下整体坐标系下的杆端力的杆端力9-3 整体坐标系下的单元刚度矩阵1111111122222222cossinsincoscossinsincoseeexxyeeeyxyeeexxyeeeyxyFFFFFFMMFFFFFFMM 111112222222cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincos0000001eeexxyyxxyyFFFFMMFFFFMM 9-3 整体坐标系下的单元刚度矩阵eeFTF cossin0000sincos000000
8、1000000cossin0000sincos0000001T 1TTT 坐标转换矩阵（正交矩阵）坐标转换矩阵（正交矩阵）同理：同理：eeT 9-3 整体坐标系下的单元刚度矩阵（2 2）整体坐标系下的单元刚度矩阵）整体坐标系下的单元刚度矩阵eeeFk ,eeeeFTFT eeeTFk T 1eeeFT k T TeeeFT k T TeekT k T eeeFk 1TTT 整体坐标下的整体坐标下的单元刚度矩阵单元刚度矩阵整体坐标下的整体坐标下的单元刚度方程单元刚度方程性质性质（1）整体坐标系下单元杆端）整体坐标系下单元杆端位移引起的杆端力；位移引起的杆端力；（2）对称矩阵；）对称矩阵；（3）奇
9、异矩阵。）奇异矩阵。9-3 整体坐标系下的单元刚度矩阵 例例9-19-1 试求各单元整体坐标试求各单元整体坐标系下的刚度矩阵。系下的刚度矩阵。bh= 0.5m1m、 I= 1/24m4、 EA/l=300104kN/m、EI/l=25104kN.m解解 （1）局部坐标系下的单刚）局部坐标系下的单刚410300kN/m00300kN/m00012kN/m30kN012kN/m30kN030kN100kNm030kN50kN300kN/m00300kN/m00012kN/m30kN012kN/m30kN030kN50kN030kN100kNmkk9-3 整体坐标系下的单元刚度矩阵（2）整体坐标系下
10、的单刚）整体坐标系下的单刚010000100000010000000010000100000001T单元：单元：=0，T = Ikk单元：单元：=9041012kN/m030kN12kN/m030kN0300kN/m00300kN/m030kN0100kNm30kN050kN m12kN/m030kN12kN/m030kN0300kN/m 12kN/m00300kN/m030kN030kN50kN30kN0100kNmTkT k T9-4 连续梁的整体刚度矩阵1 1 单元集成法的力学模型和基本概念单元集成法的力学模型和基本概念首先，只考虑单元的贡献首先，只考虑单元的贡献111111224224
11、iiFiiF 1111211233420240000FiiFiiF 1111420240000iiKii单元的贡献矩阵单元的贡献矩阵9-4 连续梁的整体刚度矩阵然后，只考虑单元的贡献然后，只考虑单元的贡献211131124224iiFiiF 1121123113000042024FFiiFii 2222000042024Kiiii单元的贡献矩阵单元的贡献矩阵9-4 连续梁的整体刚度矩阵最后，将各单元杆端力叠加，得最后，将各单元杆端力叠加，得F = F+ F=K+ KeeK = K+ KK各单元贡献矩阵之和各单元贡献矩阵之和9-4 连续梁的整体刚度矩阵2 按照单元定位向量集成整体刚度矩阵按照单元
12、定位向量集成整体刚度矩阵总体结点位移编码：总体结点位移编码：1、2、3单元结点位移编码：（单元结点位移编码：（1）、（）、（2）（1）编码）编码9-4 连续梁的整体刚度矩阵12 23 （1） 1（2） 2单元单元单元单元（2）编码对应关系）编码对应关系（1） 2（2） 3单元的定位向量单元的定位向量单元的定位向量单元的定位向量（3）换码重排座）换码重排座( )( )ijij( )( )ijeeijkK 换码换码重排座重排座9-4 连续梁的整体刚度矩阵3 单元集成法的实施方案单元集成法的实施方案（1）先将）先将K置零，置零，K=0。（2）将）将k元素在元素在K中按定位向量进行类加，这时中按定位向
13、量进行类加，这时K=K 。（3）将）将k元素在元素在K中按定位向量进行类加，这时中按定位向量进行类加，这时K=K +K 。将例题将例题9-1中的结构按中的结构按“换码重排座换码重排座”集成总集成总刚刚将将k集成后集成后1111420240000iiKii将将k集成后集成后111122224202442024iiKiiiiii9-4 连续梁的整体刚度矩阵例题例题9-2 试求连续梁的整体刚度矩阵试求连续梁的整体刚度矩阵解解 (1)总体编码：给定为零值的结点位移编码为零。总体编码：给定为零值的结点位移编码为零。 (2)形成单元刚度矩阵形成单元刚度矩阵 11114224iikii 22224224ii
14、kii 33334224iikii 9-4 连续梁的整体刚度矩阵 000000000K 1111000004224iiiiK 122211214222402044iiiKiiiii 22221131100442242244iiiiiiiiKi 整体刚度矩阵置零整体刚度矩阵置零集成单元的刚度矩阵集成单元的刚度矩阵集成单元的刚度矩阵集成单元的刚度矩阵集成单元的刚度矩阵集成单元的刚度矩阵 12 23 30 (3)换码重排座换码重排座9-4 连续梁的整体刚度矩阵4 4 整体刚度矩阵的性质整体刚度矩阵的性质结点发生单位位移需要的结点力结点发生单位位移需要的结点力（1 1）整体刚度矩阵系数的意义）整体刚度
15、矩阵系数的意义（2 2）整体刚度矩阵是对称矩阵）整体刚度矩阵是对称矩阵（3 3）连续梁整体刚度矩阵是非奇异可逆矩阵）连续梁整体刚度矩阵是非奇异可逆矩阵反力互等定理反力互等定理连续梁是几何不变体系连续梁是几何不变体系,没有刚体位移没有刚体位移.（4 4）连续梁整体刚度矩阵稀疏、带状矩阵）连续梁整体刚度矩阵稀疏、带状矩阵9-4 连续梁的整体刚度矩阵 121112222311114400000000000000000444224224422440044000nnnnnnnnniiiiiiiiiiiKiiiiiii 对于有对于有n个结点位移的连续梁，整体刚度矩阵为个结点位移的连续梁，整体刚度矩阵为稀疏
16、：有许多零元素。稀疏：有许多零元素。带状：只有主对角行和两条副对角线的带状区域内有非零元素。带状：只有主对角行和两条副对角线的带状区域内有非零元素。9-5 刚架的整体刚度矩阵1 总体编码、局部编码总 码总 码 : 只 对只 对0结点位移结点位移进 行 编 码进 行 编 码局码局码: :对每个对每个单元的杆端位单元的杆端位移 进 行 编 码移 进 行 编 码(2)(1)(3)(5)(4)(6)(1)(3)(2)(5)(4)(6)ACB123040000yx9-5 刚架的整体刚度矩阵2 2 整体坐标系下的单元刚度矩阵整体坐标系下的单元刚度矩阵4300003000001230012300301000
17、3050103000030000012300123003050030100k 41203012030030000300303030100300501012030120300300003000303050300100k 9-5 刚架的整体刚度矩阵3 3 换码重排座换码重排座 T123004 4(1)(2)(3)(6)1234(1)1 300000(2)2012303010(3)303010050(6)403050100K（1 1）集成单元）集成单元定位向量定位向量9-5 刚架的整体刚度矩阵 41230303001230(1)(2)(3)1234(1)1000(2)2010(3)304030100
18、30301005030501000K （2 2）集成单元）集成单元定位向量定位向量 T123000 9-5 刚架的整体刚度矩阵43123123030302005030501030300001000K 总体刚度矩阵为总体刚度矩阵为9-5 刚架的整体刚度矩阵4 4 铰结点的处理C1ABDC2132457643000030000012300123003010003050103000030000012300123003050030 100k 41203012030030000300303030100300501012030120300300003000303050300100kk 总体编码：铰结点的两
19、个总体编码：铰结点的两个杆端转角位移分别编码。杆端转角位移分别编码。9-5 刚架的整体刚度矩阵4300300123012303010030503(1)(2)(3)(4)(5)(6)1234567(1)100000(2)2000(3)300010(4)400000(5)5000(6)600070000000300123012303050030 1000K 集成单元集成单元9-5 刚架的整体刚度矩阵继续集成单元继续集成单元412303003010030030012301230301003050(1)(2)(3)1234567(1)100000(2)2000(3)300010400003003001
20、230123030503050006000700000000 100K 9-5 刚架的整体刚度矩阵继续集成单元继续集成单元41230300301030030012301230301003050(1)(2)(3)12345671000002000300010(1)400000(2)503003001203012006000(3)7300000123030300503010000003100K 9-5 刚架的整体刚度矩阵总刚总刚43123003123012303020030503030000000000100000003121230312300003030000000303015030001000
21、K 9-6 等效结点荷载1 位移法基本方程FK 结构整体刚度矩阵为结构整体刚度矩阵为位移法方程为位移法方程为P0KF 2 等效结点荷载的概念等效结点荷载在结构上产生的结点位移与原结构相等。等效结点荷载在结构上产生的结点位移与原结构相等。PPF 3 按单元集成法求整体结构的等效结点荷载（1）单元的等效结点荷载（局部坐标系）单元的等效结点荷载（局部坐标系）TPP1P2P1P2P2P2exyxyFFMFFMF 单元固端约束力单元固端约束力9-6 等效结点荷载（2 2）单元等效结点荷载（整体坐标系下）单元等效结点荷载（整体坐标系下）PeePF TeePT P（3 3）整体结构的等效结点荷载）整体结构的
22、等效结点荷载换码重排座换码重排座9-6 等效结点荷载例例 9-3 试求图示结构的等效结点荷载。试求图示结构的等效结点荷载。9-6 等效结点荷载解解 （1）局部坐标系中的固端力）局部坐标系中的固端力单元单元P1P1P1012kN10kNmxyFFM P2P2P2012kN10kNmxyFFM 单元单元P1P1P104kN5kNmxyFFMP2P2P204kN5kNmxyFFM 9-6 等效结点荷载PP0012kN4kN10kNm5kNm,0012kN4kN10kNm5kNmFF因此因此（2）求各单元在整体坐标）求各单元在整体坐标 系中的等效结点荷载系中的等效结点荷载TPPP012kN10kNm0
23、12kN10kNme PTFIFF9-7 计算步骤和算例(1)形成局部坐标系下的单元刚度矩阵形成局部坐标系下的单元刚度矩阵(2)形成整体坐标系下的单元刚度矩阵形成整体坐标系下的单元刚度矩阵(3)“换码重排座换码重排座”，形成整体结构的刚度矩阵，形成整体结构的刚度矩阵2 形成刚度矩阵形成刚度矩阵1 确定整体和局部坐标系、单元和结点位移编码确定整体和局部坐标系、单元和结点位移编码3 形成等效结点荷载形成等效结点荷载(1)形成局部坐标系下的单元固端力形成局部坐标系下的单元固端力(2)形成整体坐标系下的单元等效结点荷载形成整体坐标系下的单元等效结点荷载(3) “换码重排座换码重排座”，形成整体结构的等
24、效结点荷，形成整体结构的等效结点荷载载9-7 计算步骤和算例4 解整体刚度方程，求结点位移解整体刚度方程，求结点位移5 求各单元的杆端内力求各单元的杆端内力(1)整体坐标系下的单元杆端位移整体坐标系下的单元杆端位移(2)局部坐标系下的单元杆端位移局部坐标系下的单元杆端位移(3)局部坐标系下的单元杆端内力局部坐标系下的单元杆端内力9-7 计算步骤和算例例例9-4 做图示刚架的内力图。横梁：做图示刚架的内力图。横梁：b2h2=0.5m1.26m;12m1kN/m6mABCD解解 1 确定整体和局部坐标系、单元和结点位移编码确定整体和局部坐标系、单元和结点位移编码21ABCD4356立柱：立柱：b1
25、h1=0.5m1m;9-7 计算步骤和算例2 形成刚度矩阵形成刚度矩阵383.30083.30002.316.9402.316.9406.9427.806.9413.91083.30083.30002.316.9402.316.9406.9413.906.9427.8kk 352.50052.50000.583.7400.583.4703.7427.803.4713.91052.50052.50000.583.4700.583.4703.4713.903.4727.8k (1)形成局部坐标系下的单元刚度矩阵形成局部坐标系下的单元刚度矩阵9-7 计算步骤和算例 01010000010100100
26、001TT (2)形成整体坐标系下的单元刚度矩阵。形成整体坐标系下的单元刚度矩阵。 T32.3106.942.3106.94083.30083.306.94027.86.94013.9102.3106.942.3106.94083.30083.306.94013.96.94027.8kkTkT kk 9-7 计算步骤和算例(3) “换码重排座换码重排座”，形成整体坐标系下的单元等效结点荷载，形成整体坐标系下的单元等效结点荷载 TTT1 2 3 0 0 01 2 3 4 5 64 5 6 0 0 0 354.8106.9452.500083.883.4700.583.476.943.4755.6
27、03.4713.91052.50054.8106.9400.583.47083.883.4703.4713.96.943.4755.6K 9-7 计算步骤和算例3 形成等效结点荷载形成等效结点荷载(1)形成局部坐标系下的单元固端约束力形成局部坐标系下的单元固端约束力(3) “换码重排座换码重排座”，形成整体坐标系下的等效结点荷，形成整体坐标系下的等效结点荷载载(2)形成整体坐标系下的单元等效结点荷载形成整体坐标系下的单元等效结点荷载 TP033033F TTP303303PTF T303000P9-7 计算步骤和算例4 解整体刚度方程，求结点位移解整体刚度方程，求结点位移 KP 1233456
28、54.8106.9452.5003083.883.4700.583.4706.943.4755.603.4713.931052.50054.8106.94000.583.47083.883.47003.4713.96.943.4755.60 T8475.1328.48245.1396.5 9-7 计算步骤和算例 T8475.1328.48245.1396.5 5 求各单元的杆端内力求各单元的杆端内力(1) 确定整体坐标系下的杆端位移确定整体坐标系下的杆端位移 TTT1 2 3 0 0 01 2 3 4 5 64 5 6 0 0 0 T8475.1328.4000 T8475.1328.4824
29、5.1396.5 T8245.1396.5000 9-7 计算步骤和算例 01 08475.131 0 005.1384700 128.428.401 00001 0 00000 100T T8475.1328.48245.1396.5 01 08245.131 0 005.1382400 196.596.501 00001 0 00000 100T (2) 确定局部坐标系下的杆端位移确定局部坐标系下的杆端位移9-7 计算步骤和算例5 求各单元的杆端内力求各单元的杆端内力 P383.30083.3005.13002.316.9402.31 6.94847306.9427.806.94 13.9
30、28.431083.30083.3000002.316.9402.316.940306.9413.906.9427.803FkF 0.431.242.090.434.768.49 9-7 计算步骤和算例 P352.50052.5008471.2400.583.4700.583.475.130.4303.7427.803.4713.928.42.091052.50052.5008241.2400.583.4700.583.475.13003.4713.903.4727.896.5FkF .433.04 P383.30083.3005.130.4302.316.9402.31 6.948241.2
31、406.9427.806.94 13.996.53.041083.30083.30000.4302.316.9402.316.9401.2406.9413.906.9427.804.FkF 389-7 计算步骤和算例 T0.431.243.040.43 1.244.38F T1.24 0.43 2.091.240.43 3.04F T0.43 1.242.09 0.43 4.768.49F 1kN/m1.24kN2.09kNm0.43kN4.76kN8.49kNm0.43kN0.43kN0.43kN2.09kNm3.04kNm1.24kN1.24kN1.24kN3.04kNm1.24kN4.3
32、8kNm0.43kN0.43kN9-7 计算步骤和算例6 画出内力图画出内力图2.098.494.383.04M图图(kNm)1.244.761.240.43FQ图图(kN)0.430.431.24FN图图(kN) 9-8 忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析1C1ABD4C2123 41203012030030000300303030100300501012030120300300003000303050300100kk 43000030000012300123003010003050103000030000012300123003050030 100k 例题例题 求整体刚度矩阵求整体刚度矩阵.
33、 已知整体坐标系的单元刚度矩阵已知整体坐标系的单元刚度矩阵.9-8 忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析集成单元集成单元 430030030030010050500000100000000100K 解解 112032415063 4000123001230303010000123001230303000300001000503000300005000031 0k 1C1ABD4C21239-8 忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析集成单元集成单元 4000010050000100000050100123030100K 401203003000030030303005010120301203003000
34、03000303050300100123030100k 1120324050601C1ABD4C21239-8 忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析 4000010050050010001230300000100123030101000K集成单元集成单元 112034405060 40120300300003003030300501012030120300300003000303050300100123030100k 1C1ABD4C21239-8 忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析总刚总刚 40200500501003030100240100030003K 9-8 忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析
35、例题例题 做图示刚架的内力图做图示刚架的内力图12m1kN/m6mABCD21ABCD13解解 1 确定整体和局部坐标系、单元和结点位移编码确定整体和局部坐标系、单元和结点位移编码9-8 忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析2 形成刚度矩阵形成刚度矩阵(1)形成局部坐标系下的单元刚度矩阵。形成局部坐标系下的单元刚度矩阵。383.30083.30002.316.9402.316.9406.9427.806.9413.91083.30083.30002.316.9402.316.9406.9413.906.9427.8kk 352.50052.50000.583.7400.583.4703.7427.
36、803.4713.91052.50052.50000.583.4700.583.4703.4713.903.4727.8k 9-8 忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析 01010000010100100001TT (2)形成整体坐标系下的单元刚度矩阵。形成整体坐标系下的单元刚度矩阵。 T32.3106.942.3106.94083.30083.306.94027.86.94013.9102.3106.942.3106.94083.30083.306.94013.96.94027.8kkTkT kk 9-8 忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析(3) “换码重排座换码重排座”，形成整体刚度矩阵，形成整
37、体刚度矩阵 32.316.946.9427.80010000K 集成单元集成单元 112032405060 32.316.942.316.9402.3106.94083.30083.306.94027.86.94013.91002.3106.94083.30083.306.94013.96.94027.8k 21ABCD139-8 忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析 352.5 52.552.5 52.527.913.913.927.82.3101006.946.94K 集成单元集成单元 112032415063 30000.583.7400.583.473.743.47100000.583.4
38、700.583.473.4752.5052.50027.8013.952.5052.50013.9027.3.847k 21ABCD139-8 忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析集成单元集成单元 112033405060 302.3106.94083.30083.3006.94013.9102.3106.942.3106.94083.30083.306.94013.96.94027.82.316.946.9427.8k 327.81312.316.946.942.092.316.946.7.19427.883.927.8K 21ABCD139-8 忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析 34.626.
39、946.946.9455.613.9106.9413.955.6K 整体刚度矩阵整体刚度矩阵9-8 忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析3 形成等效结点荷载形成等效结点荷载(1)形成局部坐标系下的单元形成局部坐标系下的单元固端约束力固端约束力 TP033033F(3) “换码重排座换码重排座”，形成结构的等效结点荷，形成结构的等效结点荷载载(2)形成整体坐标系下的单元等形成整体坐标系下的单元等效结点荷载效结点荷载 TE330P T1 02 0 0 0 12m1kN/m6mABCD3kN3kNm3kN3kNm TEPT303303PTF 1kN/m9-8 忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析4 解整体刚
40、度方程，求结点位移解整体刚度方程，求结点位移 EKP 13234.626.946.943106.9455.613.936.9413.955.60 T83826.197.9 9-8 忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析5 求各单元的杆端内力求各单元的杆端内力(1)由结点位移，确定各单元的局部坐标系下的杆端位移由结点位移，确定各单元的局部坐标系下的杆端位移 T838026.1000 T838026.1838097.9 T838097.9000 TTT1 02 0 0 01 02 1 031 03 0 0 0 T83826.197.9 9-8 忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析 01 083801 0 0
41、0083800 126.126.101 00001 0 00000 100T T838026.1838097.9 01 083801 0 00083800 197.997.901 00001 0 00000 100T 9-8 忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析5 求各单元的杆端内力求各单元的杆端内力 P383.30083.30000002.316.9402.31 6.9483831.206.9427.806.94 13.926.131083.30083.3000002.316.9402.316.940306.9413.906.9427.803FkF 52.0904.758.41 9-8 忽略轴向
42、变形时矩形刚架的整体分析 P352.50052.500838000.583.4700.583.4700.4303.7427.803.4713.926.12.091052.50052.500838000.583.4700.583.4700.4303.4713.903.4727.897.93.09FkF P383.30083.3000002.316.9402.31 6.948381.2506.9427.806.94 13.997.93.091083.30083.3000002.316.9402.316.9401.2506.9413.906.9427.804.47FkF 9-8 忽略轴向变形时矩形刚
43、架的整体分析 T0 1.252.09 0 4.758.41F T0 0.43 2.09 00.43 3.09F T01.253.09 0 1.254.47F1kN/m1.25kN2.09kNm4.75kN8.41kNm1.25kN3.09kNm1.75kN4.47kNm0.43kN0.43kN2.09kNm3.09kNm6 画出内力图画出内力图9-8 忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析2.098.414.473.09M图图(kNm)1.254.751.260.43FQ图图(kN)0.430.431.25FN图图(kN)9-9 9-9 桁架及组合结构的整体分析1 桁架（1 1）局部坐标系下的单元刚
44、度方程）局部坐标系下的单元刚度方程 11421111eeFEAlF 112233441010000010100000eeFFEAlFF (1)(2)(1)(3)(2)(4)扩大为四阶形式扩大为四阶形式9-9 9-9 桁架及组合结构的整体分析（2 2）坐标转换矩阵）坐标转换矩阵 cossin00sincos0000cossin00sincoseT 去掉一般单元中与弯矩对应的行和列去掉一般单元中与弯矩对应的行和列（3 3）集成整体刚度矩阵）集成整体刚度矩阵方法方法:换码重排座换码重排座. 但结点转角位移不编码但结点转角位移不编码.9-9 9-9 桁架及组合结构的整体分析1234例例9-6 试求桁架
45、杆内力。各杆试求桁架杆内力。各杆EA相同。相同。1 确定坐标系、单元确定坐标系、单元 和结点位移编码和结点位移编码解解10kN10kNABCDll9-9 9-9 桁架及组合结构的整体分析2 形成刚度矩阵。形成刚度矩阵。(1)形成局部坐标系下形成局部坐标系下 的单元刚度矩阵。的单元刚度矩阵。1010000010100000kkkkEAl 10100000101020000kkEAl (2)形成整体坐标系下形成整体坐标系下 的单元刚度矩阵。的单元刚度矩阵。 0100100000010010TT T0000010100000101kkTkTEAl 9-9 9-9 桁架及组合结构的整体分析 11001
46、1001001120011T T1111111111112 21111kTkTEAl 1010000010100000kkEAl 110011001001120011T T1111111111112 21111kTkTEAl 9-9 9-9 桁架及组合结构的整体分析1010000010100000kkkkEAl (3) “换码重排座换码重排座”，形成整体刚度矩，形成整体刚度矩阵阵 T1 2 0 0 集成单元集成单元 0000010000000000EAKl 12349-9 9-9 桁架及组合结构的整体分析1010000010100000kkkkEAl T1 2 3 4 集成单元集成单元1234
47、 00000100001010000010100000000000EAKl 9-9 9-9 桁架及组合结构的整体分析 T3 4 0 0 集成单元集成单元1234 10100100101000000010EAKl 1010000010100000kkkkEAl 9-9 9-9 桁架及组合结构的整体分析 1010010010100001EAKl 集成单元集成单元1234 T0 0 0 0 1010000010100000kkkkEAl 9-9 9-9 桁架及组合结构的整体分析 101001001010112 22 2112 22 20001EAKl 集成单元集成单元1234 T1111111111
48、112 21111kTkTEAl T1 2 0 0 9-9 9-9 桁架及组合结构的整体分析 112 222 211102 22 212 21002 22 21010012112 22 2EAKl 集成单元集成单元1234 T0 0 3 4 T1111111111112 21111kTkTEAl 9-9 9-9 桁架及组合结构的整体分析 1.350.35100.351.3500101.350.35000.351.35EAKl 整体刚度矩阵整体刚度矩阵3 形成等效结点荷载形成等效结点荷载只有结点集中荷载，可直接写出只有结点集中荷载，可直接写出 TE101000P 10kN10kNABCDll9-
49、9 9-9 桁架及组合结构的整体分析4 解整体刚度方程，求结点位移解整体刚度方程，求结点位移 EKP 12341.350.3510100.351.350010101.350.350000.351.350EAl T126.9414.4221.365.58EA 9-9 9-9 桁架及组合结构的整体分析5 求各单元的杆端内力求各单元的杆端内力(1) 局部坐标系下的杆端位移局部坐标系下的杆端位移 TTT1 2 0 01 2 3 43 4 0 0 TTT0 0 0 01 2 0 03 4 0 0 T26.9414.4221.365.58 T26.9414.4200 T21.365.5800 T0000
50、T126.9414.4221.365.58EA 9-9 9-9 桁架及组合结构的整体分析 010 026.9414.42111 00 014.4226.940 001000 01 000TEAEA T26.9414.4221.365.58 010 021.365.58111 00 05.5800 001000 01 000TEAEA (2)整体坐标系下的杆端位移整体坐标系下的杆端位移9-9 9-9 桁架及组合结构的整体分析 0 110 026.948.851111 10 014.4229.250 0110020 01 100TEAEA 110 021.3611.16111110 05.5819