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1、第9章 矩阵位移法2023/4/171第1页，本讲稿共56页9-1 概述 矩阵位移法是以传统的结构力学作为理论基础，以矩阵作为数学表达形式，以电子计算机作为计算手段，三位一体的方法。手算与电算的不同：手算：怕繁，讨厌重复性的大量运算。追求机灵的计算技巧、运算次数较少的方法。电算：怕乱，讨厌头绪太多，零敲碎打的算法。追求计算过 程程序化、通用性强的方法。矩阵位移法（有限单元法）的基本思路是：先将结构离散成有限个单元，然后再将这些单元按一定条件集合成整体。这样，就使一个复杂结构的计算问题转化为有限个简单单元的分析与集成问题。有限单元法的两个基本环节：1）单元分析：建立单元刚度方程，形成单元刚度矩阵
2、(物理关系)2）整体分析：由单元刚度矩阵集成整体刚度矩阵，建立结构的 位移法基本方程(几何关系、平衡条件)2023/4/172第2页，本讲稿共56页 单元刚度矩阵是用来表示杆端力与杆端位移之间的物理关系的。它不是新东西，但有几点新考虑：重新规定正负规则，以矩阵的形式表示，讨论杆件单元的一般情况。杆端局部编码与局部坐标系杆端局部编码与局部坐标系eE，A，Il局部坐标系中的杆端位移分量1u2u1v2v2q1q2M2Y2X1X1M1Y局部坐标系中的杆端力分量=Feee=De12yx9-2 单元刚度矩阵（局部坐标系）2023/4/173第3页，本讲稿共56页单元刚度方程单元刚度方程方程1q 1u1v2
3、v2q 2u1X1Y1M2X2Y2M)(,1221uulNXNX-=D=-=llEAND=由虎克定律：由转角位移方程，并考虑：2QYBA=1,QYAB-=12,vv-=D()212212212)(6vvlEIlEIY-+-=qq()212212112)(6vvlEIlEIY-+=qq()212212642vvlEIlEIlEIM-+=qq()212211624vvlEIlEIlEIM-+=qq2023/4/174第4页，本讲稿共56页ee=ee（95）单元刚度方程（96）单元刚度矩阵单元刚度矩阵的性质单元刚度矩阵的性质 1）单元刚度矩阵是杆端力用杆端位移来表达的联系矩阵。2）其中每个元素称为单
4、元刚度系数，表示由于单位杆端位移引起的杆端力。如 第 个杆端位移分量 =1时引起的第 个杆端力2M1q三六ji?反力互等定理iF2023/4/175第5页，本讲稿共56页2v=10312lEI312lEI-EI26l-EI26l-01v=10312lEI312lEI-EI26lEI26l0e 第二列元素变第二列元素变符号即第五列符号即第五列 第一列元素变第一列元素变符号即第四列符号即第四列 第二行元素第二行元素变符号即第五行变符号即第五行 第一行元素第一行元素变符号即第四行变符号即第四行2023/4/176第6页，本讲稿共56页 3）单元刚度矩阵是对称矩阵。4）第k列元素分别表示当第k个杆端位
5、移=1时引起的六个杆端力分量。5）一般单元的单元刚度矩阵是奇异矩阵。不存在逆矩阵 De Fe正问题力学模型将单元视为“两端有六个人工控制的附加约束的杆件”De控制附加约束加以指定。解的性质为任何值时，De Fe 都有唯一的解答。且总是一个平衡力系，不可能是不平 衡力系。De Fe反问题将单元视为“两端自由的杆件”。Fe直接加在自由端作为指定的杆端力 Fe 为不平衡力系时 没有静力解。De Fe 为平衡力系时 有无穷多组解。De1X1Y1M2X2Y2M1X1Y1M2X2Y2M2023/4/177第7页，本讲稿共56页特殊单元特殊单元单元的某个或某些杆端位移的值已知为零。如梁单元、柱单元。特殊单元
6、的单元刚度矩阵，可由一般单元的单元刚度矩阵删除 与零杆端位移对应的行和列得到。为了使计算过程程序化、标准化、自动化，只采用一般单元 的刚度矩阵作为标准形式。各种特殊单元的刚度矩阵由计算 机程序去自动形成。某些特殊单元的刚度矩阵是可逆的。121q2q122M1M2023/4/178第8页，本讲稿共56页选局部坐标系推导单元刚度矩阵方便且单元刚度矩阵的形式简单。选整体坐标系是为进行整体分析。按一个统一的坐标系来建立各 单元的刚度矩阵单元坐标转换矩阵单元坐标转换矩阵1X1Y1M2X2Y2Myx1X1Y1M2X2Y2Myxyxyx9-3 单元刚度矩阵（整体坐标系）2023/4/179第9页，本讲稿共5
7、6页单元坐标转换矩阵T是一正交矩阵。同理：整体坐标系中的单元刚度矩阵整体坐标系中的单元刚度矩阵设：将（a）、（b）代入（a）（b）2023/4/1710第10页，本讲稿共56页1）表示在整体坐标系第j个杆端位移分量=1时引起的第i个杆端力分量。2）k 是对称矩阵。3）一般单元的k是奇异矩阵。例9-1 求图示刚架中各单元在整体坐标系中的单元刚度矩阵。设各杆的几何尺寸相同。l=5m，A=0.5m2,I=1/24m4E=3107kN/m221与 比较 I k，k 同阶,性质类似：2023/4/1711第11页，本讲稿共56页解：（1）求kek1k2=104（2）求ke11单元 =9021单元 =0k
8、2=1042023/4/1712第12页，本讲稿共56页结点力、结点位移、形成总刚度矩阵结点力、结点位移、形成总刚度矩阵(传统位移法传统位移法)123F1F2F3123F1F2F31=11K11K21K31 K12 K22K32 2=12K13 K23K33 3=13F =KK为整体刚度矩阵，简称总刚。9-4 连续梁的整体刚度矩阵2023/4/1713第13页，本讲稿共56页整体刚度矩阵的性质 1）总刚是结点力用结点位移来表达的联系矩阵。2）K中的元素Kij表示第j个结点位移分量j=1（其它结点 位移分量=0）时所产生的第i个结点力。3）K是对称矩阵。4）如果引入支承条件，K是可逆矩阵。形成整
9、体刚度矩阵形成整体刚度矩阵2=1K12 K22K32 1112k121k22122k112k212结点发生单位位移杆端发生单位位移变形协调条件产生附加约束中约束力(总刚元素)产生杆端力(单刚元素)平衡条件总刚元素是由单刚元素集合而成K22k221k112k212K322023/4/1714第14页，本讲稿共56页直接刚度法形成总刚(刚度集成法)首先要注意同一个结点位移在整体中与在各单元中编码不同。单元结点位移按总码顺序排列而成的向量称为“单元定位向量”。e单元对应关系：局部码总码单元定位向量e12A （1）1B （2）2=112B （1）2C （2）3=223 将各单元的单刚的行列局部码（i）
10、、（j）换成对应的结点位移总码i、j，按此行列总码将单刚元素送入总刚。即:k(i)(j)2112213ABC(1)(2)(1)(2)2023/4/1715第15页，本讲稿共56页例9-2 试求图示连续梁的整体刚度矩阵K。i1i2i31230123解：1）编码凡给定 为零的结点位移分 量,其总码均编为零。=112=2232）单元定位向量=3303）求单刚并集成总刚k =14i1 2i12i1 4i1(1)(2)1 24i1 2i12i1 4i1k =24i2 2i22i2 4i2(1)(2)2 3+4i2 2i22i2 4i2k =34i3 2i32i3 4i3(1)(2)3 0+4i31 2
11、31 2300在给节点位移编码时已经考虑了支承条件。(先处理法)2023/4/1716第16页，本讲稿共56页1n2312n+1对于n跨连续梁，有n+1个节点，不难导出整体刚度矩阵如下：4i12i12i14(i1+i2)02i24(i2+i3)02i22i3002in-14(in-1+in)2in2in4in000K=Kn+1，n+1是稀疏矩阵和带状矩阵。1n232023/4/1717第17页，本讲稿共56页情况复杂：1）结点位移分量增加到三个；2）各杆方向不尽相同，要进行坐标变换；3）除了刚结点，还要考虑铰结点等其它情况。1、结点位移分量的统一编码总码yx000123040结点位移列阵:=1
12、 2 3 4T =uA vA A CT结点力列阵:F=F1 F2 F3 F4T2、单元定位向量211(1)(2)(3)(4)(6)(5)2(1)(2)(3)(5)(4)(6)=11 2 3 0 0 4T=21 2 3 0 0 0TACB9-5 刚架的整体刚度矩阵2023/4/1718第18页，本讲稿共56页3、单元集成过程104k =1 1 2 3 0 0 4K=1 2 3 4300 00001230100030100500305030104k2=1041 2 3 0 0 0+12+030+0+300+030+0+100求单刚2023/4/1719第19页，本讲稿共56页1）结点位移分量的统一
13、编码总码 铰结点处的两杆端结点应看 作半独立的两个结点（C1和 C2）它们的线位移相同，角位移不同，00012321A C1B D000456475C234、铰结点的处理线位移采用同码，角位移采用异码。2）单元定位向量：=11 2 3 4 5 6T=21 2 3 0 0 0T=34 5 7 0 0 0T3）按次序进行单元集成：2023/4/1720第20页，本讲稿共56页104k =1 1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6 7300500-3010030000-30000 01230 0-12300301000-30500-12-30012-30K=104-30000300001 2
14、3 0 0 0k2=104+12+030+0+300+030+0+100k3=1044 5 7 0 0 0+12+030+0+300+030+0+10030?2023/4/1721第21页，本讲稿共56页1、整体刚度方程、整体刚度方程 F=K （a）表示由表示由F结点力的关系式。反映了结点的刚度性质，结点力的关系式。反映了结点的刚度性质，不涉及结构上的实际荷载。不涉及结构上的实际荷载。2、位移法位移法基本方程基本方程 在给结点位移分量编总码时，已考虑了结构的支承连接情况，在给结点位移分量编总码时，已考虑了结构的支承连接情况，K是非奇异矩阵。是非奇异矩阵。如果已知结构上的结点荷载如果已知结构上的
15、结点荷载P，（，（a）就是求结点位移）就是求结点位移 的位移法基本方程的位移法基本方程。P=K（b）注：结点力与结点荷载的不同。结点力注：结点力与结点荷载的不同。结点力F是发生给定的结点位移，是发生给定的结点位移，在结点上所需施加的力，它与体系的刚度有关，由刚度方在结点上所需施加的力，它与体系的刚度有关，由刚度方 程确定。而结点荷载程确定。而结点荷载P是给定的与体系无关。由结点荷载是给定的与体系无关。由结点荷载 产产 生的未知结点位移由位移法基本方程求解。生的未知结点位移由位移法基本方程求解。3、等效结点荷载、等效结点荷载 平衡方程的荷载平衡方程的荷载P是作用在结点上的集中荷载，当荷载不是作用
16、在结点上的集中荷载，当荷载不是结点集中荷载时，应化成等效结点荷载。是结点集中荷载时，应化成等效结点荷载。9-6 9-6 等效结点荷载等效结点荷载2023/4/1722第22页，本讲稿共56页123FP2FP1FP3P2P1P3结点约束力FP =-FP2 =-FP1-FP3=1323=2=1等效结点荷载P=FP可由位移法基本方程可由位移法基本方程(b)求得求得.注意：注意：非结点荷载与等效结点荷载等效的条件是，两者产生相同非结点荷载与等效结点荷载等效的条件是，两者产生相同 结点位移。结点位移。除了结点位移外，等效结点荷载与原荷载产生的其它位移除了结点位移外，等效结点荷载与原荷载产生的其它位移 和
17、内力并不相同。和内力并不相同。等效结点荷载为位移法基本体系附加约束中等效结点荷载为位移法基本体系附加约束中约束力的负值约束力的负值。而约束力为各固端力之和。所以求结构等效结点荷载应该而约束力为各固端力之和。所以求结构等效结点荷载应该 先求出单元的等效结点荷载，它是单元固端力的负值。先求出单元的等效结点荷载，它是单元固端力的负值。位移法方程位移法方程：2023/4/1723第23页，本讲稿共56页4、按单元集成法求整体结构的等效结点荷载 局部坐标系中的单元固端约束力e整体坐标系中的单元等效结点荷载ee整体结构的等效结点荷载P 由各单元P 中的元素按在P中进行定位并累加。e等效结点荷载与直接结点荷
18、载叠加，即得结构的结点荷载。4.8kN/m2.5m2.5m5m8kN12yx例9-3 求图示结构的等效结点荷载P.e解:1)求单元单元2023/4/1724第24页，本讲稿共56页2)求单元的倾角1=01 2 3 0 0 4单元的倾角2=90123000P=123401210-10+4+054 125-102023/4/1725第25页，本讲稿共56页1）整理原始数据，进行局部编码和整体编码。2）用式（9-6）形成局部坐标系中的单元刚度矩阵3）用式（9-21）形成整体坐标系中的单元刚度矩阵4）用单元集成法形成整体刚度矩阵K5）形成整体结构的等效结点荷载6）解方程K=P，求出结点位移。7）求各杆
19、杆端力123FP2FP1FP3P2P1P3 =-FP2 =-FP1-FP3=1323=2=1固端力FP杆端位移产生的杆端力P计算步骤9-7 计算步骤和算例2023/4/1726第26页，本讲稿共56页000123000456例9-4:求内力。横梁b1h1=0.5m 1.26m,立柱b2h2=0.5m 1m.6m12m1kN/m213xy解:1)原始数据及编码2023/4/1727第27页，本讲稿共56页e1310321032)形成k2023/4/1728第28页，本讲稿共56页3)形成k 单元、(=90o)坐标转换矩阵为 13103单元(=0o)坐标转换矩阵为单位矩阵所以:224)形成K123
20、+11k+11k=22211211kkkkK2023/4/1729第29页，本讲稿共56页1035)求等效节点荷载P111单元在整体坐标系中的等效节点荷载集 成 等效 节 点荷载2023/4/1730第30页，本讲稿共56页6)解基本方程2023/4/1731第31页，本讲稿共56页7)求杆端力 单元12023/4/1732第32页，本讲稿共56页8.492.093.044.38M图(kN.m)4.761.240.43 1.241.24Q图(kN)N=0.43N=1.24N=0.43N图(kN)2023/4/1733第33页，本讲稿共56页1）结点位移分量的统一编码总码 在刚结点A铰结点C1和
21、C2处，竖向位移均为零，故其编码 也应为零，另外它们的水平 位移分量都相等，因此它们 的水平位移应采用同码。00010221A C1B D000103140C232）单元定位向量：=11 0 2 1 0 3T=21 0 2 0 0 0T=31 0 4 0 0 0T3）按次序进行单元集成：9-8 忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析2023/4/1734第34页，本讲稿共56页104k =1 1 0 2 1 0 31 2 3 4 1234102103300030001000+050300+0+300+0050+01001 0 2 0 0 0k2=1041020000 0 00 100 500 50
22、100+123030+100k3=1041 0 4 0 0 0104000+123030+100K=104 2023/4/1735第35页，本讲稿共56页例9-5:求内力。横梁b1h1=0.5m 1.26m,立柱b2h2=0.5m 1m 忽略轴向变形的影响。.6m12m1kN/m解:1)原始数据及编码000102000103213xy2023/4/1736第36页，本讲稿共56页e1310321032)形成k2023/4/1737第37页，本讲稿共56页3)形成k 单元、(=90o)坐标转换矩阵为 13103单元(=0o)坐标转换矩阵为单位矩阵所以:224)形成K1232023/4/1738第
23、38页，本讲稿共56页 1 0 2 0 0 01020002.316.9427.86.94 1 0 3 0 0 0103000+2.316.946.9427.8 1 0 2 1 0 3102103+52.552.5+0+0+52.552.5+0+27.8+013.9+0+0+013.9+27.8+0 4.62 6.94 6.946.94 55.6 13.96.94 13.9 55.61 2 3 123K=1032023/4/1739第39页，本讲稿共56页5)求等效节点荷载P111单元在整体坐标系中的等效节点荷载集 成 等效 节 点荷载6)解基本方程2023/4/1740第40页，本讲稿共56
24、页7)求杆端力 单元12023/4/1741第41页，本讲稿共56页8.412.093.094.47M图(kN.m)4.751.250.43 1.251.25Q图(kN)N=0.43N=1.25N=0.43N图(kN)由单元刚度方程求出的杆端轴 力为零。为什么？根据节点平衡由剪力求轴力。轴向变形影响不大。2023/4/1742第42页，本讲稿共56页单元的刚度方程(局部坐标）u1u2X1X2e12X1X2Y2Y1X1X2yxx注意：桁架单元的结点转角不是基本未知量。无须求等效结点荷载。杆端力是由结点位移产生的。9-9 桁架及组合结构的整体分析坐标转换矩阵单元的刚度方程(整体坐标）2023/4/
25、1743第43页，本讲稿共56页 3ll 10kN10kN例9-6 求图示桁架内力(EA=常数)。解：1、编码如图；124002、形成3、形成kk=k=k=k单元=90k=k=2023/4/1744第44页，本讲稿共56页单元=45k=单元=135k=3ll 10kN10kN124004、集成总刚K5、节点荷载2023/4/1745第45页，本讲稿共56页6、解基本方程7、杆端力计算2023/4/1746第46页，本讲稿共56页节点位移分量自由节点位移分量(基本未知量，相应的节点荷载已知)受约束的位移分量(已知量，相应的约束反力未知)先处理法1、节点位移分量中不含受约束的支座位移，节点力分量中
26、不 含未知的支座反力。2、由单刚考虑边界条件K3、对于具有非刚性连接、支承节点较多且分散、不考虑轴向 变形的结构最为方便。可减少内存，提高计算速度。但要 对各节位移进行统一编码，形成各单元的定位向量。后处理法1、节点位移分量中含有受约束的支座位移，节点力分量中含 有未知的支座反力。2、由单刚考虑边界条件K(原始刚度矩阵,奇异)3、每个节点位移分量数相同，的阶数是节点总数乘节点位 移 分量数，整个分析过程便于编制通用程序。适用于节点 多支座约束少，考虑轴向变形的结构。但占用内存大。2023/4/1747第47页，本讲稿共56页后处理法边界条件的处理 在后处理法中，由于没有考虑边界条件，由k集成的
27、 是奇异矩阵，由单元集合成的体系是自由体，具有刚体位移。没有确定的位移解。位移边界条件处理的三种方法：1、划行划列法编制程序较复杂，不常采用。2、主对角元置大数法设第 i 个节点位移分量 (已知)0di=D0di=D为了将第 i 个方程改为:将 kii 置一大数如R=1020 Pi 改为 Rd0第 i 个方程变为:该法虽为近似处理，程序设计容易实现，故被广泛应用。该法虽为近似处理，程序设计容易实现，故被广泛应用。RRd02023/4/1748第48页，本讲稿共56页2、主对角元置1法0di=D第 i 个方程变为:为了不破坏总刚的对称性 第 i 列也作相应的处理。为了不影响其他方程，荷载向量也要
28、作相应的 改变。0 0 1 0d0 0 0 1 0 该法是精确的该法是精确的处理方法，被处理方法，被经常采用，但经常采用，但不如主对角元不如主对角元置大数简便。置大数简便。2023/4/1749第49页，本讲稿共56页1）结点位移分量的统一编码总码 在刚结点A铰结点C1和C2处，竖向位移均为零，故其编码 也应为零，另外它们的水平 位移分量都相等，因此它们 的水平位移应采用同码。00010221A C1B D000103140C23形成图示刚架的整体刚度矩阵2）单元定位向量：3）按次序进行单元集成：2023/4/1750第50页，本讲稿共56页104k =1 1 0 2 1 0 31 2 3 4
29、 1234102103300030001000+050300+0+300+0050+01001 0 2 0 0 0k2=1041020000 0 00 100 500 50 100+123030+100k3=1041 0 4 0 0 0104000+123030+100K=104 2023/4/1751第51页，本讲稿共56页一、总框图开始输入原始数据形成固端弯矩向量形成节点荷载向量形成整体刚度矩阵解方程输出位移求内力输出内力作内力图结束123456二、程序标识符NE单元总数，N节点位移总数，NL左端支承信息，NR右端支承信息，NP跨中荷载数。BL(NE)单元杆长，EI(NE)单元抗弯刚度，M
30、0(NE,2)单元固端弯矩，KB(N,2)存放整体矩阵，M(NE,2)单元杆端弯矩。P(N)先放节点力偶,在放节点荷载,解方程后存放节点位移,NP(NP,4)非节点荷载信息数组.9-10 连续梁程序的框图设计2023/4/1752第52页，本讲稿共56页 NP(NP,4)非节点荷载信息数组，其中：NP(i,1)第 i 个跨中荷载作用的单元号；NP(i,2)第 i 个跨中荷载荷载类型号；（见表10-1）NP(i,3)均布荷载的长度或集中荷载到左端 的距离；NP(i,2)第 i 个跨中荷载荷载值，向下为正。2023/4/1753第53页，本讲稿共56页j=1,4输入NP(i,j)m=NP(i,1)
31、,XM=NP(i,2),a=NP(i,3),q=NP(i,4),l=BL(m)SELECT CASE XM横向均布荷载横向集中荷载集中力偶荷载横向三角形分布荷载M0(m,1)=M1，M0(m,2)=M2i=1,NP形成固端弯矩形成固端弯矩向量向量M0(NE，2)2023/4/1754第54页，本讲稿共56页对于n跨连续梁，不难导出整体刚度矩阵如下：4i12i12i14(i1+i2)02i24(i1+i2)02i22i3002in-14(In-1+in)2in2in4in000K=1e23P2PnP1P1P22023/4/1755第55页，本讲稿共56页i=1,NE形 成 节 点荷 载 向 量P(1)=P(1)m0(1,1)L=iNLP(L)=P(L)m0(i1,2)m0(i,1)P(n)=P(n)m0(NE,2)NL=0YNNR=0YN2023/4/1756第56页，本讲稿共56页