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1、 建立平衡方程求解系统静力学问题，属于建立平衡方程求解系统静力学问题，属于建立平衡方程求解系统静力学问题，属于矢量力矢量力矢量力学学学的方法。矢量力学的方法，直观、物理意义明确、的方法。矢量力学的方法，直观、物理意义明确、的方法。矢量力学的方法，直观、物理意义明确、计算规范，在许多问题中得到广泛应用；但是它具有计算规范，在许多问题中得到广泛应用；但是它具有计算规范，在许多问题中得到广泛应用；但是它具有一定的局限性。一定的局限性。一定的局限性。虚位移原理引入虚位移原理引入虚位移原理引入虚位移虚位移虚位移的概念，通过作用在质点的概念，通过作用在质点的概念，通过作用在质点系上的所有力在虚位移上的虚功
2、关系给出一个普遍适系上的所有力在虚位移上的虚功关系给出一个普遍适系上的所有力在虚位移上的虚功关系给出一个普遍适用的平衡的充分必要条件。用的平衡的充分必要条件。用的平衡的充分必要条件。它是研究任意受约束质点它是研究任意受约束质点它是研究任意受约束质点系平衡的十分有效的普遍方法系平衡的十分有效的普遍方法系平衡的十分有效的普遍方法。虚位移原理与达朗贝尔原理是虚位移原理与达朗贝尔原理是虚位移原理与达朗贝尔原理是分析力学分析力学分析力学的两个基的两个基的两个基本原理。分析力学是继牛顿矢量力学后，针对受约束本原理。分析力学是继牛顿矢量力学后，针对受约束本原理。分析力学是继牛顿矢量力学后，针对受约束质点系创
3、立的一种质点系创立的一种质点系创立的一种采用标量分析的力学体系采用标量分析的力学体系采用标量分析的力学体系。第第第第9 9 9 9章章章章 虚位移原理虚位移原理虚位移原理虚位移原理假想一个约束允许的位移假想一个约束允许的位移假想一个约束允许的位移“虚位移虚位移虚位移”d d d x x x（水（水（水平向右），则平向右），则平向右），则F F F与与与P P P在此虚位移上就作了在此虚位移上就作了在此虚位移上就作了“虚功虚功虚功”，它，它，它们的们的们的虚功之和虚功之和虚功之和：F F Fd d d x x xP P Pd d d x x x，而由于假想的虚位移而由于假想的虚位移而由于假想的虚
4、位移d d d x x x是任意的，所以有：是任意的，所以有：是任意的，所以有：F F FP P P，即：，即：，即：F F FP P P9.1 9.1 约束约束 自由度与广义坐标自由度与广义坐标9.1.1 9.1.1 9.1.1 约束及其分类约束及其分类约束及其分类 约束是指对物体的位置或运动的限制条件。约束是指对物体的位置或运动的限制条件。约束是指对物体的位置或运动的限制条件。在矢量力学中，约束是用在矢量力学中，约束是用在矢量力学中，约束是用约束力约束力约束力描述的。描述的。描述的。约束还可以用表示限制条件的数学表达式，即约束还可以用表示限制条件的数学表达式，即约束还可以用表示限制条件的数
5、学表达式，即约束约束约束方程方程方程来描述。对于由来描述。对于由来描述。对于由n n n个质点组成的非自由质点系，个质点组成的非自由质点系，个质点组成的非自由质点系，约束方程就是这些质点的矢径（或坐标）的关系式。约束方程就是这些质点的矢径（或坐标）的关系式。约束方程就是这些质点的矢径（或坐标）的关系式。按照约束方程的形式及其所含变量的不同，可以对按照约束方程的形式及其所含变量的不同，可以对按照约束方程的形式及其所含变量的不同，可以对约束进行各种分类。约束进行各种分类。约束进行各种分类。1 1 1几何约束、运动约束（微分约束）几何约束、运动约束（微分约束）几何约束、运动约束（微分约束）几何约束几
6、何约束几何约束f(x,y,z)=0f(x,y,z)=0f(x,y,z)=0,如：如：如：其约束方程是：其约束方程是：其约束方程是：(x(x(x1 11x x x2 22)2 22+(y+(y+(y1 11y y y2 22)2 22=R=R=R2 22它只限制质点的位置关系。它只限制质点的位置关系。它只限制质点的位置关系。运动约束运动约束运动约束（微分约束）（微分约束）（微分约束）f(x,y,zf(x,y,zf(x,y,z，dx/dt,dy/dt,dz/dt)=0dx/dt,dy/dt,dz/dt)=0dx/dt,dy/dt,dz/dt)=0如：纯滚动，约束方程是：如：纯滚动，约束方程是：如：
7、纯滚动，约束方程是：它只限制各质点的运动关系。它只限制各质点的运动关系。它只限制各质点的运动关系。2 2 2定常约束、非定常约束定常约束、非定常约束定常约束、非定常约束定常约束定常约束定常约束f(x,y,z)=0f(x,y,z)=0f(x,y,z)=0不含时间；不含时间；不含时间；非定常约束非定常约束非定常约束f(x,y,z,t)=0f(x,y,z,t)=0f(x,y,z,t)=0 含时间。含时间。含时间。如：如：如：3 3 3双面约束、单面约束双面约束、单面约束双面约束、单面约束 （1 1 1）双面约束双面约束双面约束 f(x,y,z)=0f(x,y,z)=0f(x,y,z)=0 如：如：如
8、：约束方程为：约束方程为：（2 2 2）单面约束单面约束单面约束f(x,y,z)0f(x,y,z)0f(x,y,z)0 （不等式）（不等式）（不等式）约束方程为：约束方程为：约束方程为：4 4 4完整约束、非完整约束完整约束、非完整约束完整约束、非完整约束完整约束完整约束完整约束：几何约束与可积分的运动约束（即可化几何约束与可积分的运动约束（即可化几何约束与可积分的运动约束（即可化为几何约束的运动约束）。为几何约束的运动约束）。为几何约束的运动约束）。非完整约束非完整约束非完整约束：不能积分到底的运动约束。不能积分到底的运动约束。不能积分到底的运动约束。以下以下仅研究双面、定常、完整约束，特仅
9、研究双面、定常、完整约束，特别是常见的双面定别是常见的双面定常几何约束。常几何约束。其其约束方程形式为：约束方程形式为：f(x,y,z)=0f(x,y,z)=0。一一一.自由度自由度自由度 由由由n n n个个个质质质点点点组组组成成成的的的非非非自自自由由由质质质点点点系系系，如如如果果果受受受l l l个个个完完完整整整约约约束和束和束和h h h个非完整约束，则个非完整约束，则个非完整约束，则系统的自由度系统的自由度系统的自由度为为为3n-l-h3n-l-h3n-l-h。平平平面面面运运运动动动刚刚刚体体体的的的自自自由由由度度度为为为3 3 3，平平平面面面机机机构构构的的的自自自由由
10、由度度度为为为k=3n-sk=3n-sk=3n-s，其中，其中，其中n n n为运动刚体个数，为运动刚体个数，为运动刚体个数，s s s为约束力分量个数。为约束力分量个数。为约束力分量个数。二二二.位形位形位形 系系系统统统内内内各各各质质质点点点在在在每每每个个个瞬瞬瞬时时时的的的位位位置置置总总总体体体构构构成成成一一一个个个系系系统统统的的的位位位形形形。比比比如如如，由由由n n n个个个质质质点点点组组组成成成的的的质质质点点点系系系，在在在空空空间间间可可可以以以用用用3n3n3n个个个直直直角角角坐坐坐标标标x x xi ii、y y yi ii、z z zi ii 来来来确确确
11、定定定其其其在在在空空空间间间的的的位位位置置置，这这这3n3n3n个坐标的集合就称为该质点系的位形个坐标的集合就称为该质点系的位形个坐标的集合就称为该质点系的位形。9.1.2 9.1.2 自由度与广义坐标自由度与广义坐标 对于由对于由对于由n n n个质点组成，受个质点组成，受个质点组成，受l l l个完整约束和个完整约束和个完整约束和h h h个非完整约个非完整约个非完整约束的质点系束的质点系束的质点系系统的系统的系统的广义坐标数广义坐标数广义坐标数为为为系统的系统的系统的自由度自由度自由度为为为 非完整约束无法确定坐标之间的关系，所以选取广非完整约束无法确定坐标之间的关系，所以选取广非完
12、整约束无法确定坐标之间的关系，所以选取广义坐标时不必考虑系统的非完整约束。但非完整约束义坐标时不必考虑系统的非完整约束。但非完整约束义坐标时不必考虑系统的非完整约束。但非完整约束限制了自由度，所以它对自由度是有影响的。限制了自由度，所以它对自由度是有影响的。限制了自由度，所以它对自由度是有影响的。三三三.广义坐标广义坐标广义坐标确定系统的位形的确定系统的位形的确定系统的位形的最少数目最少数目最少数目的一组的一组的一组独立坐标独立坐标独立坐标称为系统称为系统称为系统的的的广义坐标广义坐标广义坐标。物物物物物物理理理理理理坐坐坐坐坐坐标标标标标标：x x x1 11,y,y,y1 11,z,z,z
13、1 1 1;x x x2 22,y,y,y2 22,z,z,z2 22 ;约束方程约束方程约束方程约束方程约束方程约束方程：x x x1 112 22+y+y+y1 112 22=a=a=a2 22z z z1 11=0=0=0 z z z2 22=0=0=0 (x(x(x2 22x x x1 11)2 22+(y+(y+(y2 22y y y1 11)2 22 =b b b2 22 广义坐标广义坐标广义坐标广义坐标广义坐标广义坐标：a,ba,ba,b 坐标变换坐标变换坐标变换坐标变换坐标变换坐标变换：x x x1 11=a=a=asinsinsina ,a ,a ,y y y1 11=a=a
14、=acoscoscosb b b,x x x2 22=a=a=asinsinsina a a+b+b+bsinsinsinb b b ,y ,y ,y2 22=a=a=acoscoscosa a a+b+b+bcoscoscosb b b 自由度自由度自由度自由度自由度自由度：2 2 2 ，（n=2,l=4,r=3n n=2,l=4,r=3n n=2,l=4,r=3nl=2 l=2 l=2）9.2 9.2 虚位移虚位移 虚功虚功 理想约束理想约束9.2.1 9.2.1 9.2.1 虚位移虚位移虚位移1.1.1.虚位移虚位移虚位移的概念的概念的概念 某某某瞬瞬瞬时时时，质质质点点点系系系在在在约
15、约约束束束所所所允允允许许许的的的条条条件件件下下下，可可可能能能实实实现现现的任何的任何的任何无限小无限小无限小的位移叫做的位移叫做的位移叫做虚位移虚位移虚位移（可能位移）。（可能位移）。（可能位移）。uu未必未必未必真的发生，虚位移用真的发生，虚位移用真的发生，虚位移用“d d d ”，实位移用，实位移用，实位移用“d d d”表示。表示。表示。uu无限小无限小无限小；而实位移是是有限的。；而实位移是是有限的。；而实位移是是有限的。uu与与与外力无关，只与约束有关；实位移与两者都有关。外力无关，只与约束有关；实位移与两者都有关。外力无关，只与约束有关；实位移与两者都有关。uu与与与时间无关
16、，实际位移与时间有关。时间无关，实际位移与时间有关。时间无关，实际位移与时间有关。uu在在在定常约束下，实位移定常约束下，实位移定常约束下，实位移才可能是虚位移之一；而才可能是虚位移之一；而才可能是虚位移之一；而非定常约束则不然。如：非定常约束则不然。如：非定常约束则不然。如：2.2.2.虚位移关系分析虚位移关系分析虚位移关系分析 在非自由质点系中，不同点的虚位移不是完全独立在非自由质点系中，不同点的虚位移不是完全独立的。的。独立虚位移的数目与系统的自由度相等独立虚位移的数目与系统的自由度相等。分析不同。分析不同点的虚位移之间的关系，点的虚位移之间的关系，用独立的虚位移表示各点的虚用独立的虚位
17、移表示各点的虚位移位移，是运用虚位移原理的关键环节。，是运用虚位移原理的关键环节。常用的方法有几何法、虚速度法与解析法。常用的方法有几何法、虚速度法与解析法。(1)(1)(1)几何法几何法几何法 设系统某处产生虚位移，作出系统此时的位置图形，设系统某处产生虚位移，作出系统此时的位置图形，设系统某处产生虚位移，作出系统此时的位置图形，直接按几何关系确定各有关虚位移之间的关系。直接按几何关系确定各有关虚位移之间的关系。直接按几何关系确定各有关虚位移之间的关系。例例例9-19-19-1 图示梁中，如果解除图示梁中，如果解除图示梁中，如果解除A A A支座的约束，试求梁处于支座的约束，试求梁处于支座的
18、约束，试求梁处于平衡状态时平衡状态时平衡状态时A A A支座的约束力支座的约束力支座的约束力F F FA AA与各主动力对应的虚位与各主动力对应的虚位与各主动力对应的虚位移之间的关系。图中长度单位为移之间的关系。图中长度单位为移之间的关系。图中长度单位为m mm。设想一个设想一个设想一个与虚位移方向一致的与虚位移方向一致的与虚位移方向一致的“虚速度虚速度虚速度”，用运动，用运动，用运动分析中速度分析的各种方法分析中速度分析的各种方法分析中速度分析的各种方法分析虚速度的关系分析虚速度的关系分析虚速度的关系，所得即，所得即，所得即为虚位移的关系。为虚位移的关系。为虚位移的关系。(2)(2)(2)虚
19、速度法虚速度法虚速度法例例例9-29-29-2 图示椭圆规机构中，图示椭圆规机构中，图示椭圆规机构中，连杆长为连杆长为连杆长为l l l，在滑块，在滑块，在滑块A A A和和和B B B上分别作用力上分别作用力上分别作用力F F FA AA、F F FB BB，机构在图示位置平衡。求机构在图示位置平衡。求机构在图示位置平衡。求F F FA AA和和和F F FB BB作用点的虚位移作用点的虚位移作用点的虚位移的关系。的关系。的关系。解：解：此机构只有一个此机构只有一个独立的虚位移。独立的虚位移。设设F FA A的作用点的作用点A A的虚的虚位移为位移为d dr rA A，F FB B的作用点的
20、作用点B B的虚位移为的虚位移为d dr rB B，并视，并视它们为点它们为点A A和点和点B B的速度的速度（虚速度）。（虚速度）。由杆由杆ABAB的平面运动可知，点的平面运动可知，点A A和点和点B B的速度在的速度在ABAB连连线上的投影相等，因此有线上的投影相等，因此有例例例9-39-39-3 图示机构，在力图示机构，在力图示机构，在力F F F和力偶和力偶和力偶MMM作用下在图示位置平作用下在图示位置平作用下在图示位置平衡，求力衡，求力衡，求力F F F和力偶和力偶和力偶MMM对应的虚位移的关系。对应的虚位移的关系。对应的虚位移的关系。解：解：此机构是一个自由度的系统，所以只有一个独
21、立此机构是一个自由度的系统，所以只有一个独立的虚位移。的虚位移。dra、dre、drr分别视为点B的va、ve、vr。由速度合成定理，有即为而有而有 所以所求的虚位移关系所以所求的虚位移关系为为(3)(3)(3)解析法解析法解析法 建立适当的坐标系，选择广义坐标，写出各有关点建立适当的坐标系，选择广义坐标，写出各有关点建立适当的坐标系，选择广义坐标，写出各有关点的坐标与广义坐标的关系式。然后对各坐标关系式进行的坐标与广义坐标的关系式。然后对各坐标关系式进行的坐标与广义坐标的关系式。然后对各坐标关系式进行变分运算变分运算变分运算，就得到各坐标的变分（即虚位移）的关系式。，就得到各坐标的变分（即虚
22、位移）的关系式。，就得到各坐标的变分（即虚位移）的关系式。例例例9-49-49-4 图示杆件铰接机构中，图示杆件铰接机构中，图示杆件铰接机构中，铰链铰链铰链G G G处作用一铅垂向下的处作用一铅垂向下的处作用一铅垂向下的力力力F F FG GG，滑块，滑块，滑块B B B上作用一水平上作用一水平上作用一水平力力力F F FB BB，机构在图示位置平，机构在图示位置平，机构在图示位置平衡。已知各铰链之间的杆衡。已知各铰链之间的杆衡。已知各铰链之间的杆长均为长均为长均为l l l。求。求。求F F FG GG和和和F F FB BB对应的对应的对应的虚位移之间的关系。虚位移之间的关系。虚位移之间的
23、关系。解：解：建立直角坐标系建立直角坐标系AxyAxy，此机构为一个自由度，选，此机构为一个自由度，选取杆取杆AEAE与与x x轴的夹角轴的夹角q q为广义为广义坐标。写出铰坐标。写出铰G G的的y y坐标与铰坐标与铰B B的的x x坐标为坐标为 与与 分分别别取取变变分，得到虚位移关系分，得到虚位移关系 与与 或直接写成虚位移或直接写成虚位移d dx xB B与与d dy yG G的关系的关系 9.2.29.2.29.2.2 虚功虚功虚功 力力力F F F在虚位移在虚位移在虚位移d d d r r r上作的功叫虚功上作的功叫虚功上作的功叫虚功。即：即：即：d d d w w w=F F F
24、d d d r r r 。虚虚虚位位位移移移是是是假假假想想想的的的，所所所以以以虚虚虚功功功也也也是是是假假假想想想的的的。这这这里里里是是是真真真实实实的的的力力力F F F在在在假假假想想想的的的位位位移移移d d d r r r上上上作作作的的的功功功。（注注注：假假假想想想的的的力在真实位移上作的功也叫虚功。）力在真实位移上作的功也叫虚功。）力在真实位移上作的功也叫虚功。）9.2.39.2.39.2.3 理想约束理想约束理想约束 如如如果果果在在在质质质点点点系系系的的的任任任何何何虚虚虚位位位移移移中中中，所所所有有有约约约束束束力力力所所所作作作虚虚虚功的和等于零，则称这种约束为
25、理想约束。功的和等于零，则称这种约束为理想约束。功的和等于零，则称这种约束为理想约束。即即即：S S S F F FNiNiNi d d d r r ri i i=0=0=0 ，F F FNi Ni Ni 为理想约束反力。为理想约束反力。为理想约束反力。9.3 9.3 虚位移原理及应用虚位移原理及应用9.3.1 9.3.1 9.3.1 虚位移原理虚位移原理虚位移原理 具具具有有有理理理想想想约约约束束束的的的质质质点点点系系系，在在在某某某一一一位位位形形形能能能继继继续续续保保保持持持静静静止止止平平平衡衡衡的的的充充充要要要条条条件件件是是是，所所所有有有作作作用用用于于于该该该质质质点点
26、点系系系的的的主主主动动动力力力在在在该该该位位位形形形的的的任任任何何何一一一组组组虚虚虚位位位移移移上上上所所所作作作的的的虚虚虚功功功之之之和等于零和等于零和等于零。即：即：即：或或或记记记为：为：为：此此此即即即虚位移原理虚位移原理虚位移原理（又称为（又称为（又称为虚功原理虚功原理虚功原理），或者叫），或者叫），或者叫“虚虚虚功方程功方程功方程”。（也叫。（也叫。（也叫“静力学普遍方程静力学普遍方程静力学普遍方程”）。）。）。9.3.2 9.3.2 9.3.2 虚位移原理的应用虚位移原理的应用虚位移原理的应用 1.1.1.计算主动力之间的关系计算主动力之间的关系计算主动力之间的关系 计
27、算机构计算机构计算机构平衡时平衡时平衡时主动力之间的关系，这是虚位移主动力之间的关系，这是虚位移主动力之间的关系，这是虚位移原理的基本应用。机构有一定的自由度，各主动力的原理的基本应用。机构有一定的自由度，各主动力的原理的基本应用。机构有一定的自由度，各主动力的作用点都有相应的虚位移。作用点都有相应的虚位移。作用点都有相应的虚位移。此类问题的关键在于确定此类问题的关键在于确定此类问题的关键在于确定各虚位移之间的关系各虚位移之间的关系各虚位移之间的关系。由于在虚位移原理中系统的受力状态与虚位移由于在虚位移原理中系统的受力状态与虚位移由于在虚位移原理中系统的受力状态与虚位移状态是相互独立的，为这个
28、原理的灵活运用提供了广状态是相互独立的，为这个原理的灵活运用提供了广状态是相互独立的，为这个原理的灵活运用提供了广阔的空间。阔的空间。阔的空间。在理论力学中，虚位移原理主要用于求解刚体在理论力学中，虚位移原理主要用于求解刚体在理论力学中，虚位移原理主要用于求解刚体系统的静平衡问题。这种问题可以分为三类，在处理系统的静平衡问题。这种问题可以分为三类，在处理系统的静平衡问题。这种问题可以分为三类，在处理方法上各有不同的特点。方法上各有不同的特点。方法上各有不同的特点。例例例9-59-59-5 图示为远距离操纵用的夹钳，结构具有对称性。图示为远距离操纵用的夹钳，结构具有对称性。图示为远距离操纵用的夹
29、钳，结构具有对称性。当操纵杆当操纵杆当操纵杆EOEOEO向右移动时，两块夹板向右移动时，两块夹板向右移动时，两块夹板ADADAD与与与A A AD D D就会合就会合就会合拢将物体夹住。已知操纵杆的拉力为拢将物体夹住。已知操纵杆的拉力为拢将物体夹住。已知操纵杆的拉力为F F F，在图示位置，在图示位置，在图示位置两夹板正好平行，求被夹持物体所受的压力。两夹板正好平行，求被夹持物体所受的压力。两夹板正好平行，求被夹持物体所受的压力。（1 1 1）主动力与相应虚位移的确定主动力与相应虚位移的确定主动力与相应虚位移的确定主动力与相应虚位移的确定主动力与相应虚位移的确定主动力与相应虚位移的确定 （2
30、2 2）使用虚位移原理使用虚位移原理使用虚位移原理使用虚位移原理使用虚位移原理使用虚位移原理 （3 3 3）虚位移关系的分析虚位移关系的分析虚位移关系的分析虚位移关系的分析虚位移关系的分析虚位移关系的分析 （4 4 4）代入虚功方程求解代入虚功方程求解代入虚功方程求解代入虚功方程求解代入虚功方程求解代入虚功方程求解 基本步骤基本步骤:解：解：解：解：（1 1）主动力与相应虚位移的确定：主动力与相应虚位移的确定：主动力与相应虚位移的确定：主动力与相应虚位移的确定：主主动动力力为为操操纵纵杆的拉力杆的拉力F F与被与被夹夹持物体的持物体的对夹钳对夹钳的的压压力力F FN N与与F FN N,二者二
31、者大小相等，方向相反，如大小相等，方向相反，如图图所示。其余皆所示。其余皆为为理想理想约约束力。束力。由于操由于操纵纵杆杆EOEO只能水平平移，所以只能水平平移，所以F F的作用点的作用点O O的虚的虚位移位移为为与与F F的力的力线线一致的一致的d dr r。由于。由于夹夹板板ADAD只能只能绕绕点点D D定定轴转动轴转动，所以，所以F FN N的作用点的虚位移的作用点的虚位移为为与与ADAD垂直的垂直的d dr rN N。同理可定同理可定d dr rN N 。由对称性可知。由对称性可知（2 2）使用虚位移原理使用虚位移原理使用虚位移原理使用虚位移原理：由虚位移原理，有：由虚位移原理，有系系
32、系统统统只有一个独立的虚位移，需分析虚位移的关系。只有一个独立的虚位移，需分析虚位移的关系。只有一个独立的虚位移，需分析虚位移的关系。(a)（3 3 3）虚位移关系的分析虚位移关系的分析虚位移关系的分析虚位移关系的分析虚位移关系的分析虚位移关系的分析：操操操纵纵纵杆杆杆EOEOEO只能水平平移，所以只能水平平移，所以只能水平平移，所以铰铰铰C C C的虚位移的虚位移的虚位移 夹夹夹板板板ADADAD只能只能只能绕绕绕点点点D D D定定定轴转动轴转动轴转动，所以，所以，所以夹夹夹板上板上板上铰铰铰B B B的虚位移的虚位移的虚位移杆杆杆BCBCBC可能平面运可能平面运可能平面运动动动，用虚速度
33、方法分析，此瞬，用虚速度方法分析，此瞬，用虚速度方法分析，此瞬时时时的的的“速速速度瞬心度瞬心度瞬心”P P P，有，有，有所以有（4 4 4）代入虚功方程求解代入虚功方程求解代入虚功方程求解代入虚功方程求解代入虚功方程求解代入虚功方程求解：把以上虚位移关系代入式：把以上虚位移关系代入式：把以上虚位移关系代入式(a)(a)(a)，有有有由于由于由于d d dr r rN NN的任意性，得到的任意性，得到的任意性，得到所以，被所以，被所以，被夹夹夹持物体所受的持物体所受的持物体所受的压压压力的大小力的大小力的大小为为为例例例9-69-69-6 图示跨度为图示跨度为图示跨度为l l l的折叠桥由液
34、压油缸的折叠桥由液压油缸的折叠桥由液压油缸ABABAB控制铺设。控制铺设。控制铺设。在铰链在铰链在铰链C C C处有一内部机构，保证两段桥身与铅垂线的处有一内部机构，保证两段桥身与铅垂线的处有一内部机构，保证两段桥身与铅垂线的夹角均为夹角均为夹角均为q q q。如果两段相同的桥身重量都是。如果两段相同的桥身重量都是。如果两段相同的桥身重量都是G G G，质心，质心，质心D D D位于其中点。求平衡时液压油缸中的力位于其中点。求平衡时液压油缸中的力位于其中点。求平衡时液压油缸中的力F F F和角和角和角q q q的关系。的关系。的关系。解：解：解：（1 1 1）主动力与相应虚位移的确定主动力与相
35、应虚位移的确定主动力与相应虚位移的确定主动力与相应虚位移的确定主动力与相应虚位移的确定主动力与相应虚位移的确定：主动力为桥身的重：主动力为桥身的重：主动力为桥身的重力力力G GG与油缸压力与油缸压力与油缸压力F F F，其余皆为理想约束力。，其余皆为理想约束力。，其余皆为理想约束力。重力重力重力G GG对应的虚位移为重心在铅垂方向的虚位移对应的虚位移为重心在铅垂方向的虚位移对应的虚位移为重心在铅垂方向的虚位移d d dy y yD DD；油缸压力油缸压力油缸压力F F F对应的虚位移是点对应的虚位移是点对应的虚位移是点B B B相对点相对点相对点A AA的距离变化的距离变化的距离变化d d d
36、l l lBABABA。（2 2 2）使用虚位移原理使用虚位移原理使用虚位移原理使用虚位移原理使用虚位移原理使用虚位移原理：由虚位移原理，有：由虚位移原理，有：由虚位移原理，有(a)其中，其中，其中，d d dl l lBABABA以以以BABABA的长度增大为正，其正向与的长度增大为正，其正向与的长度增大为正，其正向与F F F的方向的方向的方向相反，所以相反，所以相反，所以F F F在在在d d dl l lBABABA上的虚功为负号。上的虚功为负号。上的虚功为负号。d d dy y yD DD的正向与的正向与的正向与y y y轴正向一致，向上为正，与轴正向一致，向上为正，与轴正向一致，向
37、上为正，与G GG的方向相反，所以的方向相反，所以的方向相反，所以G GG在在在d d dyDyDyD上的虚功亦为负号。上的虚功亦为负号。上的虚功亦为负号。系统一个自由度，只系统一个自由度，只有一个独立的虚位移，有一个独立的虚位移，需再分析虚位移的关系。需再分析虚位移的关系。（3 3 3）虚位移关系的分析虚位移关系的分析虚位移关系的分析虚位移关系的分析虚位移关系的分析虚位移关系的分析：用解析法确定虚位移关系。：用解析法确定虚位移关系。：用解析法确定虚位移关系。建立直角坐建立直角坐建立直角坐标标标系如系如系如图图图，由于两段，由于两段，由于两段桥桥桥身的身的身的对对对称性，知两称性，知两称性，知
38、两段的重心始段的重心始段的重心始终终终保持同保持同保持同样样样高度，高度，高度，设为设为设为y y yD DD，由，由，由图图图中几何关中几何关中几何关系知，有系知，有系知，有由由由OABOABOAB可得可得可得 其中，其中，其中，d d dq q q增大增大增大时时时d d dl l lBABABA也增也增也增大，式中大，式中大，式中为为为正号。正号。正号。（4 4 4）代入虚功方程求解代入虚功方程求解代入虚功方程求解代入虚功方程求解代入虚功方程求解代入虚功方程求解：将虚位移：将虚位移：将虚位移d d dy y yD DD与与与d d dl l lBABABA的关系式的关系式的关系式代入式代
39、入式代入式(a)(a)(a)，有，有，有由于由于由于d d dq q q的任意性，得到的任意性，得到的任意性，得到所求平衡所求平衡所求平衡时时时液液液压压压油缸中的力油缸中的力油缸中的力F F F和角和角和角q q q的关系的关系的关系为为为或写或写或写为为为 2.2.2.计算理想约束力计算理想约束力计算理想约束力理想约束力对应的虚位移的虚功之和为零，故不理想约束力对应的虚位移的虚功之和为零，故不理想约束力对应的虚位移的虚功之和为零，故不可直接用虚功方程求解。此时用可直接用虚功方程求解。此时用可直接用虚功方程求解。此时用“解除约束解除约束解除约束”的方法，的方法，的方法，即：即：即：若需求理想
40、约束力若需求理想约束力若需求理想约束力F F FA AA，则先解除，则先解除，则先解除F F FA AA相应的约束，相应的约束，相应的约束，同时把同时把同时把F F FA AA看成一个看成一个看成一个“主动力主动力主动力”，再用虚位移定理求之，再用虚位移定理求之，再用虚位移定理求之。uu 用解除约束的方法时，要注意：用解除约束的方法时，要注意：用解除约束的方法时，要注意：(1)(1)(1)解除解除解除F F FA AA相应的约束后，系统的自由度增加，虚位相应的约束后，系统的自由度增加，虚位相应的约束后，系统的自由度增加，虚位移关系改变了。移关系改变了。移关系改变了。(2)(2)(2)未解除约束
41、的理想约束力仍然不必计算。未解除约束的理想约束力仍然不必计算。未解除约束的理想约束力仍然不必计算。(3)(3)(3)各主动力（含各主动力（含各主动力（含F F FA AA）作用点处对应的虚位移关系仍）作用点处对应的虚位移关系仍）作用点处对应的虚位移关系仍是此时的解题关键。是此时的解题关键。是此时的解题关键。例例例9 9 9-7 7 7 组合梁的结构与载荷如图所示，已知跨度组合梁的结构与载荷如图所示，已知跨度组合梁的结构与载荷如图所示，已知跨度l l l=8m=8m=8m，F F F=4900N=4900N=4900N，均布载荷集度，均布载荷集度，均布载荷集度q q q=2450N/m=2450
42、N/m=2450N/m，力偶矩，力偶矩，力偶矩MMM=4900N=4900N=4900N mmm。求支座约束力。求支座约束力。求支座约束力。解：解：解：（1 1 1）计算活动铰支座）计算活动铰支座）计算活动铰支座E E E的约束力。的约束力。的约束力。设点设点设点E E E产生虚位移产生虚位移产生虚位移d d dr r rE EE，则梁产生虚位移如图，则梁产生虚位移如图，则梁产生虚位移如图 中虚线中虚线中虚线所示。所示。所示。ACACAC段的虚位移仍是零，段的虚位移仍是零，段的虚位移仍是零，CECECE段上各主动力对应的段上各主动力对应的段上各主动力对应的虚位移为：虚位移为：虚位移为：由虚位移
43、原理由虚位移原理由虚位移原理 由于由于由于d d dr r rE EE的任意性的任意性的任意性 方向向上方向向上方向向上 （2 2 2）计算活动铰支座）计算活动铰支座）计算活动铰支座B B B的约束力。的约束力。的约束力。设设设ACACAC段的虚转角为段的虚转角为段的虚转角为djdjdj，则梁产生虚位移如图中虚线，则梁产生虚位移如图中虚线，则梁产生虚位移如图中虚线所示。各主动力（含待求约束力所示。各主动力（含待求约束力所示。各主动力（含待求约束力F F FB BB）对应的虚位移为：）对应的虚位移为：）对应的虚位移为：由虚位移原理由虚位移原理由虚位移原理 （3 3 3）计算固定铰支座）计算固定铰
44、支座）计算固定铰支座A AA的约束力。的约束力。的约束力。水平约束力为零，只计算水平约束力为零，只计算水平约束力为零，只计算A AA支座的铅垂约束力支座的铅垂约束力支座的铅垂约束力F F FA AA。设AC段的虚转角为dj，则梁产生虚位移如图中虚线所示。各主动力（含待求约束力FAA）对应的虚位移为：（向下）。设CE段的虚转角为dq，因为例例例9 9 9-8 8 8 刚架结构与载荷如图所示。已知刚架结构与载荷如图所示。已知刚架结构与载荷如图所示。已知q q q=2kN/m=2kN/m=2kN/m，F F F1 11=4kN=4kN=4kN，F F F2 22=12kN=12kN=12kN，力偶矩
45、，力偶矩，力偶矩MMM=18kN=18kN=18kN mmm。试求。试求。试求A A A支座的支座的支座的约束力。图中长度单位是约束力。图中长度单位是约束力。图中长度单位是m mm。依次解除各个约束，计算相应的约束力。依次解除各个约束，计算相应的约束力。依次解除各个约束，计算相应的约束力。设设设杆杆杆ACACAC的虚的虚的虚转转转角角角为为为d d dj j j，F F F1 11的作用点和的作用点和的作用点和铰铰铰C C C的虚位移的虚位移的虚位移d d dr r r1 11和和和d d dr r rC CC皆皆皆为为为水平方向，且有水平方向，且有水平方向，且有解：解：解：（1 1 1）计算
46、固定端）计算固定端）计算固定端A AA的约束力偶的约束力偶的约束力偶MMMA AA drB也是水平方向，BCD部分相当于瞬时平移；因此且力偶M对应的虚位移为零。由虚位移原理由虚位移原理由虚位移原理 由于由于由于d d dj j j的任意性的任意性的任意性 （2 2 2）计算固定端）计算固定端）计算固定端A AA的水平约束力的水平约束力的水平约束力F F FAxAxAx 解除与水平解除与水平解除与水平约约约束力束力束力F F FAxAxAx对应对应对应的的的约约约束，整个系束，整个系束，整个系统统统的的的约约约束允束允束允许许许的运的运的运动动动是水平平是水平平是水平平移，因此有移，因此有移，因
47、此有 力偶力偶MM对应的虚位移为零。对应的虚位移为零。由虚位移原理由虚位移原理由虚位移原理由于由于由于d d dr r rAxAxAx的任意性的任意性的任意性（3 3 3）计算固定端）计算固定端）计算固定端A AA的铅垂约束力的铅垂约束力的铅垂约束力F F FAyAyAy 设支座设支座设支座A AA的虚位移是铅的虚位移是铅的虚位移是铅垂向上的垂向上的垂向上的d d dr r rAyAyAy，杆，杆，杆ACACAC的可的可的可能运动是铅垂方向的平移能运动是铅垂方向的平移能运动是铅垂方向的平移 由虚速度法，此瞬时BCD的可能运动是绕点D的转动，设其虚转角为dq，有力偶M对应的虚位移即为dq由于dq
48、的任意性 3.3.3.计算非理想约束力计算非理想约束力计算非理想约束力 虽然虚位移原理是对具有理想约束的质点系而言虽然虚位移原理是对具有理想约束的质点系而言虽然虚位移原理是对具有理想约束的质点系而言的，但是也可以用于非理想约束力的计算。非理想约的，但是也可以用于非理想约束力的计算。非理想约的，但是也可以用于非理想约束力的计算。非理想约束力的虚功不为零，束力的虚功不为零，束力的虚功不为零，故作为一种特殊的故作为一种特殊的故作为一种特殊的“主动力主动力主动力”处处处理理理，其虚功与其它主动力的虚功之和为零。如对摩擦，其虚功与其它主动力的虚功之和为零。如对摩擦，其虚功与其它主动力的虚功之和为零。如对
49、摩擦力，弹簧力的计算。力，弹簧力的计算。力，弹簧力的计算。例例例9-99-99-9 图示两等长杆图示两等长杆图示两等长杆ABABAB与与与BCBCBC在点在点在点B B B用铰链连接，在杆的用铰链连接，在杆的用铰链连接，在杆的D D D、E E E两点联接一弹簧。弹簧的刚度系数为两点联接一弹簧。弹簧的刚度系数为两点联接一弹簧。弹簧的刚度系数为k k k，当距离，当距离，当距离ACACAC等于等于等于a a a时，弹簧的拉力为零，不计各构件的自重与各处时，弹簧的拉力为零，不计各构件的自重与各处时，弹簧的拉力为零，不计各构件的自重与各处摩擦。若在点摩擦。若在点摩擦。若在点C C C作用一水平力作用
50、一水平力作用一水平力F F F，系统处于平衡，求距，系统处于平衡，求距，系统处于平衡，求距离离离ACACAC的大小。的大小。的大小。解解解：（1 1 1）主动力与相应虚位移的确定主动力与相应虚位移的确定主动力与相应虚位移的确定主动力与相应虚位移的确定主动力与相应虚位移的确定主动力与相应虚位移的确定：主主主动动动力力力F F F；弹弹弹簧簧簧为为为系系系统统统的非理想内的非理想内的非理想内约约约束，解除束，解除束，解除约约约束后，相束后，相束后，相应应应的的的弹弹弹簧力簧力簧力F F FD DD、F F FE EE作作作为为为主主主动动动力研究，且有力研究，且有力研究，且有设设设平衡平衡平衡时时