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1、2023 届新高考数学小题限时练含答案专题 09 小题限时练 9一一、选择题选择题:本题共本题共 8 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 40 分分。在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要只有一项是符合题目要求的。求的。1集合22|log2xZx的子集个数为()A4B8C16D322已知复数2(zai aR,i为虚数单位),满足6z z,则|1|(z)A3B3C5D53函数()|sin|cos|f xxx的最小正周期和最小值分别为()A4,1B2,22C2,1D,14已知抛物线22xy上点A的横坐标为 3,则A到抛物线焦点F的距离为()A72B4C5D112
2、5如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”、它们是由整数的倒数组成的第n行有n个数且两端的数均为1(2)nn,且有个数是它下一行左、右相邻两数的和,如:111122,111236,1113412,则第 7 行第 5 个数(从左往右数)为()A1140B1105C160D1426已知2aln,2logbe,1.12c,则a,b,c的大小关系为()AbacBbcaCabcDcab7已知直线10 xy 与圆22:220M xyaxy交于A,B两点,若4AMBMAB,则(a)A2B1C2 或1D1 或28已知函数32()231xf xx,则不等式2()(2)6f mf m的解集为()A(1,2)B
3、(,1)(2,)C(2,1)D(,2)(1,)二二、选择题选择题:本题共本题共 4 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 20 分分。在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求有多项符合题目要求。全部全部选对的得选对的得 5 分,部分选对的得分,部分选对的得 2 分,有选错的得分,有选错的得 0 分。分。9已知函数()cossinf xxxx,下列结论正确的是()A()f x是以2为周期的函数B()f x是区间,2 上的增函数C()f x是R上的奇函数D0 是()f x的极值点10 已 知 某 种 袋 装 食 品 每 袋 质 量(单 位:)(500g XN,16)()0.6
4、827Px,(22)0.9545Px,(33)0.9973PX,则下面结论正确的是()A4B(496504)0.9545PXC随机抽取 10000 袋这种食品,袋装质量在区间(492,504的约 8186 袋D随机抽取 10000 袋这种食品,袋装质量小于488g的一定不多于 14 袋11已知抛物线2:2C ypx,C的准线与x轴交于K,过焦点F的直线l与C交于A,B两点,连接AK、BK,设AB的中点为P,过P作AB的垂线交x轴于Q,下列结论正确的是()A|AFBKAKBFBtancosAKFPQFCAKB的面积最小值为22pD|2|ABFQ12已知正四棱台1111ABCDABC D的上、下底
5、面边长分别为 4,6,高为2,E是11AB的中点,则()A正四棱台1111ABCDABC D的体积为52 23B正四棱台1111ABCDABC D的外接球的表面积为104C/AE平面1BC DD1A到平面1BC D的距离为4 105三、填空题:本题共三、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分。分。13已知向量a与b的夹角为3,|1a,()2aab,则|b 14在8()axx的展开式中,5x的系数为 28,则a 15在棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D中,E是CD的中点,F是1CC上的动点,则三棱锥ADEF外接球表面积的最小值为16已知三棱锥OABC
6、,P是面ABC内任意一点,数列na共 9 项,11a,1952aaa,且满足211()33(1)(29,*)nnnnOPaaOAa OBaOCnnN ,满足上述条件的数列共有个专题 09 小题限时练 9一一、选择题选择题:本题共本题共 8 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 40 分分。在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要只有一项是符合题目要求的。求的。1集合22|log2xZx的子集个数为()A4B8C16D32【答案】C【详解】22|2|22,0 2xZ log xxZxx 且,1,1,2,22|2xZ log x的子集个数为4216故选:C2已知复数
7、2(zai aR,i为虚数单位),满足6z z,则|1|(z)A3B3C5D5【答案】A【详解】复数2(zai aR,i为虚数单位),满足6z z,2226a,解得22a,则12|1|1|13zaia,故选:A3函数()|sin|cos|f xxx的最小正周期和最小值分别为()A4,1B2,22C2,1D,1【答案】C【详解】由于()|sin()|cos()|cos|sin|()222f xxxxxf x,故函数()|sin|cos|f xxx的最小正周期是2;当0 x,2时,()sincos2sin()4f xxxx44x,34,()1f x,2故选:C4已知抛物线22xy上点A的横坐标为
8、3,则A到抛物线焦点F的距离为()A72B4C5D112【答案】C【详解】抛物线的准线:122py ,抛物线22xy上一点9(3,)2A到其焦点F的距离为91522故选:C5如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”、它们是由整数的倒数组成的第n行有n个数且两端的数均为1(2)nn,且有个数是它下一行左、右相邻两数的和,如:111122,111236,1113412,则第 7 行第 5 个数(从左往右数)为()A1140B1105C160D142【答案】B【详解】设第n行第m个数为(,)a n m,由题意知1(6,1)6a,1(7,1)7a,(7a,2)(6a,1)(7a,1111)6742
9、,(6a,2)(5a,1)(6a,1111)5630,(7a,3)(6a,2)(7a,1112)3042105,由“莱布尼兹调和三角形”的对称性知第 7 行第 5 个数与第 7 行第 3 个数相同、故选:B6已知2aln,2logbe,1.12c,则a,b,c的大小关系为()AbacBbcaCabcDcab【答案】A【详解】2aln,则112a,2logbe,则1b,1.12c,则102c,即bac,故选:A7已知直线10 xy 与圆22:220M xyaxy交于A,B两点,若4AMBMAB,则(a)A2B1C2 或1D1 或2【答案】B【详解】圆22:220M xyaxy可变为222()(1
10、)1xaya,圆心(,1)M a,21Ra,圆心到直线10 xy 的距离|1 1|1 12aad,MAMB,MABMBA,又4AMBMAB,30MAB,12dR,2|1122aa,解得21a,1a 故选:B8已知函数32()231xf xx,则不等式2()(2)6f mf m的解集为()A(1,2)B(,1)(2,)C(2,1)D(,2)(1,)【答案】D【详解】函数32()231xf xx,由3yx 和231xy 在R上递减,可得()f x在R上递减;由3321 3()313113xxxf xxx,可得331 31 331 1 3()3()30131313xxxxxxxfxf xxx ,即有
11、()()6f xfx,则不等式2()(2)6f mf m即为222()(2)()()f mf mf mfm即为2(2()f mfm,由()f x在R上递减,可得22mm,解得1m 或2m ,故选:D二二、选择题选择题:本题共本题共 4 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 20 分分。在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求有多项符合题目要求。全部全部选对的得选对的得 5 分,部分选对的得分,部分选对的得 2 分,有选错的得分,有选错的得 0 分。分。9已知函数()cossinf xxxx,下列结论正确的是()A()f x是以2为周期的函数B()f x是区间,2 上的增函
12、数C()f x是R上的奇函数D0 是()f x的极值点【答案】BC【详解】()cossinf xxxx,()cossincossinfxxxxxxx,对于A,因为(0)0f,(2)2(0)ff,所以A错;对于B,因为当x,2 时,()sin0fxxx,所以()f x是区间,2 上的增函数,所以B对;对于C,因为()cos()sin()()fxxxxf x ,所以C对;对于D,由C知,D错故选:BC10 已 知 某 种 袋 装 食 品 每 袋 质 量(单 位:)(500g XN,16)()0.6827Px,(22)0.9545Px,(33)0.9973PX,则下面结论正确的是()A4B(4965
13、04)0.9545PXC随机抽取 10000 袋这种食品,袋装质量在区间(492,504的约 8186 袋D随机抽取 10000 袋这种食品,袋装质量小于488g的一定不多于 14 袋【答案】AC【详解】对于A,袋装食品每袋质量(单位:)(500g XN,16),4,故A正确,对于B,(496504)(50045004)()0.6827PXPXPx,故B错误,对于C,11(500504)(496504)0.68270.3413522PXPX,11(492500)(22)0.95450.4772522PXPx,(492504)(492500)(500504)0.8186PXPXPX,100000
14、.81868186,故随机抽取 10000 袋这种食品,袋装质量在区间(492,504的约 8186 袋,故C正确,对于D,11(488)1(33)(10.9973)0.0013522P XPX,100000.0013513.5,故随机抽取 10000 袋这种食品,袋装质量小于488g约为 13.5 袋,故D错误故选:AC11已知抛物线2:2C ypx,C的准线与x轴交于K,过焦点F的直线l与C交于A,B两点,连接AK、BK,设AB的中点为P,过P作AB的垂线交x轴于Q,下列结论正确的是()A|AFBKAKBFBtancosAKFPQFCAKB的面积最小值为22pD|2|ABFQ【答案】BD【
15、详解】设直线AB的倾斜角为,即AFx,设1(A x,1)y,2(B x,2)y,0(P x,0)y,对于A选项:设直线AB为2pxmy,联立直线AB与抛物线方程222pxmyypx,化简整理可得,2220ypmyp,由韦达定理可得,122yypm,212y yp,(,0)2pK,2212121212121212122()220()()()()22AKBKyyyymy yp yympp mkkppmypmypmyp mypmyp mypxx,x轴为AKB的角平分线,根据角平分线的性质可得,|AFAKBFBK,即|AFBKAKBF,故A正确,对于B选项:过A作ADx轴,垂足为D,则11tan2yA
16、FKpx,111coscos()sin2|2yyPQFpAFx,所以tancosAFKPQF,故B正确;对于C选项:212121|2222AKBAKFBKFppSSSKFyyyypp,当12|2yyABp,即ABx时,取等号,故AKB的面积最小值2p,故C错误;对于D选项:21122222ypxypx,两式相减121212()()2()yyyyp xx,12121202tanyyppxxyyy,所以PQ方程为000()yyyxxp,令0y,000()yyxxp,则0 xpx,所以0(Q px,0),所以00|22ppFQpxx,所以120|22|ABxxpxpFQ,故D正确;故选:BD12已知
17、正四棱台1111ABCDABC D的上、下底面边长分别为 4,6,高为2,E是11AB的中点,则()A正四棱台1111ABCDABC D的体积为52 23B正四棱台1111ABCDABC D的外接球的表面积为104C/AE平面1BC DD1A到平面1BC D的距离为4 105【答案】BCD【详解】对于A,正四棱台1111ABCDABC D的上、下底面边长分别为 4,6,高为2,正四棱台1111ABCDABC D的体积为:1 1 111 1 111176 2()(163616 36)2333A B C DABCDA B C DABCDVSSSSh,故A错误;对于B,连接AC,BD,交于点2O,连
18、接11AC、11B D,交于点1O,若外接球的球心O在正四棱台1111ABCDABC D的内部,则O在12OO上,122OO,正四棱台1111ABCDABC D的上、下底面边长分别为 4,6,高为2,E是11AB的中点,111112 22DOB D,213 22DODB,设外接球O的半径R,2222111212DODODODOOO,即228182RR,无解,外接球的球心O在正四棱台1111ABCDABC D的外部,如图,则O在12OO的延长线上,12OO,正四棱台1111ABCDABC D的上、下底面边长分别为 4,6,高为2,E是11AB的中点,111112 22DOB D,213 22DO
19、DB,设外接球O的半径R,222211212DODODODOOO,即228182RR,解得226R,正四棱台1111ABCDABC D的外接球 的表面积为24104R,故B正确;对于C,取11D A的中点F,连接AF,EF,11ACEFG,连接AG,11/D BEF,G是11AO的中点,114 2AC,13 2GC,又23 2AO,12GCAO,12/GCAO,四边形12GC O A是平行四边形,12/GAC O,GA平面1C BD,12C O 平面1C BD,/GA平面1C BD,11/D BBD,/EFBD,EF 平面1C BD,BD 平面1C BD,/EF平面1C BD,EFAGG,平面
20、1/C BD平面AEF,AE 平面AEF,/AE平面1C BD,故C正确;以2O为原点,2O D、2O A、21O O所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则(3 2D,0,0),(3 2B,0,0),1(0C,2 2,2),1(0A,2 2,2),1(3 2DC ,2 2,2),1(3 2BC ,2 2,2),11(0AC,4 2,0),设平面1BC D的一个法向量为(nx,y,)z,则113 22 2203 22 220DCnxyzBCnxyz ,取1y,得(0n,1,2),1A到平面1BC D的距离为11|4 24 10|55n ACn,故D正确故选:BCD三、填空题:本题共三
21、、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分。分。13已知向量a与b的夹角为3,|1a,()2aab,则|b【答案】2【详解】因为向量a与b的夹角为3,|1a,()2aab,所以22aa b,所以|cosa ba,1b,即1|cos13b,解得|2b 故答案为:214在8()axx的展开式中,5x的系数为 28,则a【答案】1【详解】展开式的通项公式为3882188()()rrrrrrraTC xCaxx,令3852r,解得2r,则5x的系数为228()28Ca,解得1a,故答案为:115在棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D中,E是CD的中点,F是1C
22、C上的动点,则三棱锥ADEF外接球表面积的最小值为【答案】13【详解】连结AE,取AE中点G,设点F到C的距离CFm,连结EF,过G作GO垂直平面ABCD,设GOn,O为三棱锥ADEF的外接球的球心,以D为原点,分别以DA,DC,1DD所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则(2A,0,0),(0E,1,0),(1O,12,)n,(0F,2,)m,则球半径ROFOEOA,222111(2)()124Rmnn,2291()44mnn,得2220mmn,则222 2222mmnmm,当且仅当2m 时取等号1131242minR三棱锥ADEF的外接球的表面积最小值为:21344134SR故答案为
23、:1316已知三棱锥OABC,P是面ABC内任意一点,数列na共 9 项,11a,1952aaa,且满足211()33(1)(29,*)nnnnOPaaOAa OBaOCnnN ,满足上述条件的数列共有个【答案】70【详解】因为P是面ABC内任意一点,所以P,A,B,C四点共面,因为2*11()33(1)(29,)nnnnOPaaOAa OBaOCnnN ,所以211()33(1)1nnnnaaaa,即211()3()20nnnnaaaa,解得11nnaa或12nnaa,可转化为组合计数问题(1)若5145a ,则99a,只有 1 个,(2)若5156a ,则911a,有114416C C 个,(3)若5167a ,则913a,有224436C C 个,(4)若5178a ,则915a,有334416C C 个,(5)若6189a ,则917a,只有 1 个,共 70 个故答案为:70