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1、2023 届新高考数学小题限时练含答案专题 05 小题限时练 5一一、选择题选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分。在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要只有一项是符合题目要求的。求的。1集合|22Axx，2B ，1，0，1，则(AB)A 1，1，2B 2，1，0，1C 1，0，1D 2，1，0，1，22已知i为虚数单位，若复数31izi，则|(z)A1B2C2D53关于双曲线221:2Cxy与222:2Cyx，下列说法中错误的是()A它们的焦距相等B它们的顶点相同C它们的离心率相等D它们的渐近线相同4已知曲线lnxyxk在
2、点(1,1)处的切线与直线20 xy垂直，则k的值为()A1B1C12D125网络上盛极一时的数学恒等式“301.011.4，3651.0137.8，7301.011427.6”形象地向我们展示了通过努力每天进步1%，就会在一个月、一年以及两年后产生巨大差异虽然这是一种理想化的算法，但它也让我们直观地感受到了“小小的改变和时间累积的力量”小明是一位极其勤奋努力的同学，假设他每天进步2.01%，那么 30 天后小明的学习成果约为原来的()倍A1.69B1.748C1.96D2.86已知定义域为R的函数()f x满足(1)3()f xf x，且当(0 x，1时，()4(1)f xx x，则当(2x
3、，0时，()f x的最小值为()A181B127C19D137如图为陕西博物馆收藏的国宝 唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作该杯的主体部分可以近似看作是双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右支与直线0 x，4y，2y 围成的曲边四边形ABMN绕y旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为10 33，下底外直径为2 393，则下列曲线中与双曲线C共渐近线的是()A2213yxB22193xyC2214yxD22136xy8已知三棱锥的三条侧棱长均为 2，侧面有两个是等腰直角三角形，底面等腰三角形底上的高为5，则这个三棱锥的表面积为(
4、)A43 315B432 15C4315D42 315二二、选择题选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分。在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求有多项符合题目要求。全部全部选对的得选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。9下列命题中，正确的命题是()A数据 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 的70%分位数是 7B若随机变量1(6,)3XB，则4()9D X C若事件A，B满足()PABP（A）1P（B），则A与B独立D若随机变量2(2,)XN，(1)0.68P X，则(23
5、)0.18Px 10已知x，y均为正实数，则下列各式可成为“xy”的充要条件是()A11xyBsinsinxyxyCcoscosxyxyD22xyeexy11在菱形ABCD中，1AB，120ABC，将ABD沿对角线BD折起，使点A至点(P P在平面ABCD外）的位置，则()A在折叠过程中，总有BDPCB存在点P，使得2PC C当1PC 时，三棱锥PBCD的外接球的表面积为32D当三棱锥PBCD的体积最大时，32PC 12已知抛物线2:2(0)C xpy p的准线l的方程为1y ，过C的焦点F的直线与C交于A，B两点，以A，B为切点分别作C的两条切线，且两切线交于点M，则下列结论正确的是()AC
6、的方程为22xyB90AMBCM恒在l上D2|MFAFBF三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。13偶函数2()()xxef xaRae的值域为14已知二项式261()(axax为实常数）展开式的常数项为 45，等比数列na的前n项和nS满足2(nnSab b为实常数），则数列nnSa的前 5 项和为15已知51()()mxxxx的展开式中常数项为40，则展开式中41x的系数为16已知实数a，b，c满足2022c babe（其中0)b，则(2022)abc的最小值为专题 05 小题限时练 5一一、选择题选择题：本题共本题共 8 小题
7、小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分。在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要只有一项是符合题目要求的。求的。1集合|22Axx，2B ，1，0，1，则(AB)A 1，1，2B 2，1，0，1C 1，0，1D 2，1，0，1，2【答案】C【详解】|22Axx，2B ，1，0，1，1AB，0，1故选：C2已知i为虚数单位，若复数31izi，则|(z)A1B2C2D5【答案】D【详解】由31izi，得3|3|10|51|1|2iizii故选：D3关于双曲线221:2Cxy与222:2Cyx，下列说法中错误的是()A它们的焦距相等B它们的顶点相同C它们的离心率
8、相等D它们的渐近线相同【答案】B【详解】双曲线221:2Cxy焦距 4，顶点坐标(2，0)，离心率2，渐近线方程yx，双曲线222:2Cyx焦距 4，顶点坐标(0,2)，离心率2，渐近线方程yx，故选：B4已知曲线lnxyxk在点(1,1)处的切线与直线20 xy垂直，则k的值为()A1B1C12D12【答案】A【详解】lnxyxk，11ykx ，则11|1xyk，又曲线lnxyxk在点(1,1)处的切线与直线20 xy垂直，112k，即1k 故选：A5网络上盛极一时的数学恒等式“301.011.4，3651.0137.8，7301.011427.6”形象地向我们展示了通过努力每天进步1%，就
9、会在一个月、一年以及两年后产生巨大差异虽然这是一种理想化的算法，但它也让我们直观地感受到了“小小的改变和时间累积的力量”小明是一位极其勤奋努力的同学，假设他每天进步2.01%，那么 30 天后小明的学习成果约为原来的()倍A1.69B1.748C1.96D2.8【答案】C【详解】小明每天进步2.01%，即 0.0201，则 30 天后为302 3030221.0201(1.01)(1.01)(1.4)1.9630天后小明的学习成果约为原来的 1.96 倍故选：C6已知定义域为R的函数()f x满足(1)3()f xf x，且当(0 x，1时，()4(1)f xx x，则当(2x，0时，()f
10、x的最小值为()A181B127C19D13【答案】D【详解】当(0 x，1时，221()4(1)444()12f xx xxxx，易知当12x 时，()1minf x，因为(1)3()f xf x，所以1(1)()3f xf x，所以当(1,0)x 时，11(1)33miny ；当(2x，1时，211()(1)39miny ，综上，当(2x，0时，13miny 故选：D7如图为陕西博物馆收藏的国宝 唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作该杯的主体部分可以近似看作是双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右支与直线0 x，4y，2y 围成的曲边四边
11、形ABMN绕y旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为10 33，下底外直径为2 393，则下列曲线中与双曲线C共渐近线的是()A2213yxB22193xyC2214yxD22136xy【答案】A【详解】根据题意，双曲线C经过点5 3(3，4)，39(3，2)，则有222225163113431abab，解可得23a，29b，则双曲线C的方程为22139xy，其渐近线方程为3yx，由此依次分析选项：对于A，2213yx，其渐近线方程为3yx，符合题意，对于B，22193xy，其渐近线方程为33yx，不符合题意，对于C，2214yx，其渐近线方程为2yx，不符合题意，对于D，221
12、36xy，其渐近线方程为2yx，不符合题意，故选：A8已知三棱锥的三条侧棱长均为 2，侧面有两个是等腰直角三角形，底面等腰三角形底上的高为5，则这个三棱锥的表面积为()A43 315B432 15C4315D42 315【答案】C【详解】结合题目边长关系，三棱锥如图所示，2,5ABACADCE，由题意ABC，ACD是等腰直角三角形，则22222 2,(2 2)(5)3,2 3,2(3)1BCCDBEBDAE，则表面积为111122222 3 12 3543152222ABCACDABDBCDSSSS 故选：C二二、选择题选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分
13、分。在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求有多项符合题目要求。全部全部选对的得选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。9下列命题中，正确的命题是()A数据 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 的70%分位数是 7B若随机变量1(6,)3XB，则4()9D X C若事件A，B满足()PABP（A）1P（B），则A与B独立D若随机变量2(2,)XN，(1)0.68P X，则(23)0.18Px【答案】CD【详解】A：由1070%7，所以70%分位数是787.52，错误；B：由题设，114()6(1)333D X，错误
14、；C：因为()()P ABP ABP（A），即()P ABP（A）()P AB，又()P ABP（A）1P（B），即P（A）P（B）P（A）()P AB，所以()P ABP（A）P（B），故A与B独立，正确；D：由题设，()P X关于2X 对称，所以2(1)1(23)0.182P XPx，正确；故选：CD10已知x，y均为正实数，则下列各式可成为“xy”的充要条件是()A11xyBsinsinxyxyCcoscosxyxyD22xyeexy【答案】ACD【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，当xy时，有110yxxyxy，即11xy，反之若11xy，则有110yxxyxy，必有xy，故11x
15、y是xy的充要条件，符合题意；对于B，设()sinf xxx，其导数()1cosfxx，有()0fx，则函数()f x在R上为增函数，若sinsinxyxy，即sinsinxxyy，有()()f xf y，必有xy，故sinsinxyxy不是xy的充要条件，不符合题意；对于C，设()cosf xxx，其导数()1sinfxx，有()0fx，则函数()f x在R上为增函数，若coscosxyxy，即coscosxxyy，有()()f xf y，必有xy，反之，若xy，必有()()f xf y，则有coscosxxyy，变形可得coscosxyxy，故coscosxyxy是xy的充要条件，符合题意
16、；对于D，设2()xf xex，有()2xfxex，()2xfxe，若()20 xfxe，解可得2xln，在区间(,2)ln上，()0fx，()fx为减函数，在区间(2,)ln上，()0fx，()fx为增函数，故()(2)22 20fxf lnln，则()f x在R上为增函数；若22xyeexy，即22xyexey，有()()f xf y，必有xy，反之，若xy，必有()()f xf y，则有22xyexey，变形可得22xyeexy，故22xyeexy是xy的充要条件，符合题意；故选：ACD11在菱形ABCD中，1AB，120ABC，将ABD沿对角线BD折起，使点A至点(P P在平面ABCD
17、外）的位置，则()A在折叠过程中，总有BDPCB存在点P，使得2PC C当1PC 时，三棱锥PBCD的外接球的表面积为32D当三棱锥PBCD的体积最大时，32PC【答案】AC【详解】如图所示，取PC的中点E，连接BE，DE，则BEPC，DEPC，因为BEDEE，BD，DE 平面BDE，所以PC 平面BDE，又BD 平面BDE，所以BDPC，A项正确；在菱形ABCD中，1AB，120ABC，所以3AC，当ABD沿对角线BD折起时，03PC，所以不存在点P，使得2PC，B项错误；当1PC 时，将正四面体补成正方体，根据正方体的性质可知，三棱锥PBCD的外接球就是该正方体的外接球，因为正方体的各面的
18、对角线长为 1所以正方体的棱长为22，设外接球的半径为R，则2222341()22R，所以三棱锥PBCD的外接球的表面积2342SR，C项正确；当三棱锥PBCD的体积最大时，平面PBD 平面BCD，取BD的中点O，连接PO，OC，易知PO 平面BCD，则POOC，又1322POOCAC，所以22336()()222PC，D项错误故选：AC12已知抛物线2:2(0)C xpy p的准线l的方程为1y ，过C的焦点F的直线与C交于A，B两点，以A，B为切点分别作C的两条切线，且两切线交于点M，则下列结论正确的是()AC的方程为22xyB90AMBCM恒在l上D2|MFAFBF【答案】BCD【详解】
19、对于选项A：由题意可得12p，2p，抛物线C的方程为24xy，故选项A错误，对于选项B：由题意可知直线AB的斜率存在，(0,1)F，设AB的方程为1ykx，1(A x，1)y，2(B x，2)y，联立方程214ykxxy，消去y得2440 xkx，所以124xxk，124x x ，由214yx得12yx，直线AM的斜率112AMkx，直线AM的方程为1111()2yyx xx，即211111()42yxx xx，同理直线AM的斜率212BMkx，直线BM的方程为222211()42yxxxx，12114AMBMkkx x，即AMBM，90AMB，故选项B正确，对于选项C：由得2112211()
20、()4xx yx xxx，12xx，1y，将1y 代入得2122xxxk，点M的坐标为(2,1)k，又抛物线C的准线方程为1y ，点M恒在l上，故选项C正确，对于选项D：当直线AB的斜率k不为 0 时，则1 112MFkkk ，1ABMFkk，ABMF，当直线AB的斜率0k 时，点M的坐标为(0,1)，显然ABMF，在Rt ABM中，由AMF与MBF相似，得|MFBFAFMF，2|MFAFBF，故选项D正确，故选：BCD三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。13偶函数2()()xxef xaRae的值域为【答案】(0，12【详解】由
21、题意知，()()fxf x，所以22xxxxeeaeae，即221xxxxeeaeae，解得1a，所以21()11xxxxef xeee因为0 xe，所以1122xxxxyeeee，当且仅当1xxee，即0 x 时，等号成立，所以10()2f x，即函数()f x的值域为(0，12故答案为：(0，1214已知二项式261()(axax为实常数）展开式的常数项为 45，等比数列na的前n项和nS满足2(nnSab b为实常数），则数列nnSa的前 5 项和为【答案】12916【详解】二项式261()(axax为实常数）展开式的通项公式为612 316()(1)rrrrrTCax，令1230r，求
22、得4r，可得常数项为4645Ca，3a等比数列na的前n项和nS满足2(nnSab b为实常数），112aSab，当2n时，1112(2)3 2nnnnnnaSSabab，226aa，3412aa，由3212aaaa，求得3ba ，13a，公比2q，(12)(21)312nnnaS，1212nnnnSa，数列nnSa的前 5 项和为：37153112912481616，故答案为：1291615已知51()()mxxxx的展开式中常数项为40，则展开式中41x的系数为【答案】16【详解】展开式的常数项为3232325511()()101040mxC xC xmxxx ，解得3m ，则展开式中含4
23、1x的项为55445541311()()16xCC xxxxx，所以41x的系数为16，故答案为：1616已知实数a，b，c满足2022c babe（其中0)b，则(2022)abc的最小值为【答案】34e【详解】22(2022)(0)c bc bcbbabcbebcb c ec e be，设2()(0)xxf xxe，22222()()xxxxxex exxfxee，所以()f x在(0,2)上单调递增，在(2,)上单调递减，且()0f x 恒成立，所以()maxf xf（2）24e，设()xg xxe，()(1)xg xxe，所以()g x在(,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，所以1()(1)ming xge 故原式f（b）g（c）23414()eee ，当且仅当b2且c1 时取等号故答案为：34e