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1、线性系统的能控性和能观性线性系统的能控性和能观性v动态系统的能控性和能观性是揭示动态系统不变的本质特征的两个重要的基本结构特性。卡尔曼在60年代初首先提出状态能控性和能观性。其后的发展表明,这两个概念对回答被控系统能否进行控制与综合等基本性问题,对于控制和状态估计问题的研究,有着极其重要的意义。系统能控性指的是控制作用对被控系统的状态和输出进行控制的可能性。能观性反映由能直接测量的输入输出的量测值来确定反映系统内部动态特性的状态的可能性。q为什么经典控制理论没有涉及到这两个结构性问题?v这是因为经典控制理论所讨论的是SISO系统输入输出的分析和综合问题,它的输入输出间的动态关系可以唯一地由传递
2、函数所确定。因此,给定输入,则一定会存在唯一的输出与之对应。v反之,对期望输出信号,总可找到相应的输入信号(即控制量)使系统输出按要求进行控制,不存在能否控制的问题。此外,输出一般是可直接测量,不然,则应能间接测量。v否则,就无从对进行反馈控制和考核系统所达到的性能指标。v因此,在这里不存在输出能否测量(观测)的问题。所以,无论是从理论还是实践,经典控制理论和技术一般不涉及到能否控制和能否观测的问题。v现代控制理论中着眼于对表征MIMO系统内部特性和动态变化的状态进行分析、优化和控制。状态变量向量的维数一般比输入向量的维数高,这里存在多维状态能否由少维输入控制的问题。此外,状态变量是表征系统动
3、态变化的一组内部变量,有时并不能直接测量或间接测量,故存在能否利用可测量或观测的输出输出的信息来构造系统状态的问题。v能控性的直观讨论v状态能控性反映输入u(t)对状态x(t)的控制能力。如果状态变量x(t)由任意初始时刻的任意初始状态引起的运动都能由输入(控制项)来影响,并能在有限时间内控制到空间原点,那么称系统是能控的,或者更确切地说,是状态能控的。否则,就称系统为不完全能控的。v下面通过实例来说明能控性的意义。该电桥系统中,电源电压u(t)为输入变量,并选择两电容器两端的电压为状态变量x1(t)和x2(t)。试分析电源电压u(t)对两个状态变量的控制能力。例 某电桥系统的模型如图4-1所
4、示。电桥系统电桥系统 由电路理论知识可知,若电桥系统是平衡的(例Z1=Z2=Z3=Z4),电容C2的电压x2(t)是不能通过输入电压u(t)改变的,即状态变量x2(t)是不能控的,则系统是不完全能控的。若电桥系统是不平衡的,两电容的电压x1(t)和x2(t)可以通过输入电压u(t)控制,则系统是能控的。由状态空间模型来看,当选择两电容器两端电压为状态变量x1(t)和x2(t)时,可得如下状态方程:由上述状态方程可知,状态变量x2(t)的值,即电桥中电容C2的电压,是自由衰减的,并不受输入u的控制。因此,该电压的值不能在有限时间内衰减至零,即该状态变量是不能由输入变量控制到原点。具有这种特性的系
5、统称为状态不能控的。例 某并联双水槽系统如图所示,其截面积均为A,它们通过阀门O均匀地输入等量液体,即其流量QO相同。并联双水槽系统并联双水槽系统 当阀门1和2的开度不变时,设它们在平衡工作点邻域阀门阻力相等并可视为常数,记为R。图中h1(t)和h2(t)分别为水槽液面高度,Q1(t)和Q2(t)分别为流量。q该双水槽系统的状态能控性可分析如下:对本例的流体力学系统,假设对两个水槽的流入和流出的水流体已处于平衡。下面仅考虑流量QO的变化量QO所引起的水槽水位的变化。由各水槽中所盛水量的平衡关系和流量与压力(水面高度)的关系,有其中代表平衡工作点附近的变化量。选上述方程中变化量h1和h2为状态变
6、量,将状态变量带入方程中并消去中间变量Q1和Q2消去,则有解上述状态方程,可得由上述解可知,当初始状态x1(0)和x2(0)不等时,则x1(t)和x2(t)的状态轨迹完全不相同,即在有限时间内两条状态轨线不相交。因此,对该系统,无论如何控制流入的流量QO(t),都不能使两水槽的液面高度的变化量h1(t)和h2(t)在有限时间内同时为零,即液面高度不完全能进行任意控制。v上面用实际系统初步说明了能控性的基本含义,能控性在系统状态空间模型上的反映可由如下两个例子说明。给定系统的状态空间模型与结构图分别为q本例中,状态变量x1的运动只受初始状态x1(0)的影响,与输入无关,即输入u(t)不能控制x1
7、(t)的运动,而且x1(t)不能在有限时间内衰减到零。因此,状态x1(t)不能控,则整个系统是状态不完全能控的。1/s-1-21/sp由该状态方程可知,状态变量x1(t)和x2(t)都可由输入u单独控制,可以说,x1(t)和x1(t)都是单独能控的。对该状态方程求解后可得x1(t)-x2(t)=e-3tx1(0)-x2(0)即状态x1(t)和x1(t)总是相差一个固定的,不受u(t)控制的函数值。给定系统的状态空间模型为v因此,x1(t)和x1(t)不能在有限时间内同时被控制到零或状态空间中的任意状态,只能被控制在满足由状态方程解所规定的状态空间中的曲线上。v所以,虽然状态x1(t)和x2(t
8、)都是单独能控的,但整个系统并不能控。v前面4个例子,可通过直观分析来讨论系统的状态能控性,但对维数更高、更复杂的系统,直观判断能控性是困难的。下面将通过给出状态能控性的严格定义,来导出判定系统能控性的充要条件。v状态能控性的定义状态能控性的定义v由状态方程vx(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)v及状态方程求解公式可知,状态的变化主要取决于系统的初始状态和初始时刻之后的输入,与输出y(t)无关。因此研究讨论状态能控性问题,即输入u(t)对状态x(t)能否控制的问题,只需考虑系统在输入u(t)的作用和状态方程的性质,与输出y(t)和输出方程无关。v对线性连续系统,我们有如下状态能控性定义
9、。q定义定义 若线性连续系统x(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)对初始时刻t0(t0T,T为时间定义域)和初始状态x(t0),存在另一有限时刻t1(t1t0,t1T),可以找到一个控制量u(t),能在有限时间t0,t1内把系统状 态从初始状态x(t0)控制到原点,即x(t1)=0,则称t0时刻的状态x(t0)能控;若对t0时刻的状态空间中的所有状态都能控,则称系统在t0时刻状态完全能控;若系统在所有时刻状态完全能控,则称系统状态完全能控,简称为系统能控。即,若逻辑关系式t0T x(t0)t1T(t1t0)u(t)(tt0,t1)(x(t1)=0)为真,则称系统状态完全能控。若存在某个状
10、态x(t0)不满足上述条件,称此系统是状态不完全能控的,简称系统为状态不能控。即,若逻辑关系式t0T x(t0)t1T u(t)(t1t0)(tt0,t1)(x(t1)0)为真,则称系统状态不完全能控。对上述状态能控性的定义有如下讨论:1.控制时间t0,t1是系统状态由初始状态转移到原点所需的有限时间。v对时变系统,控制时间的长短,即t1-t0的值,与初始时刻t0有关。v对于定常系统,该控制时间与t0无关。所以,对于线性定常系统状态能控性,可不必在定义中强调“在所有时刻状态完全能控在所有时刻状态完全能控”,而为“某一时刻状态完全能某一时刻状态完全能控控,则系统状态完全能控则系统状态完全能控”。
11、即,若逻辑关系式t0T x(t0)t1T(t1t0)u(t)(tt0,t1)(x(t1)=0)为真,则称线性定常连续系统(A,B)状态完全能控。2.在上述定义中,对输入u(t)没有加任何约束,只要能使状态方程的解存在即可。v如果矩阵A(t)和B(t)以及向量u(t)的每个元素都是t的分段连续函数,则状态方程存在唯一解。vu(t)为分段连续的条件,在工程上是很容易满足的。3.在状态能控性定义中,对输入u(t)和状态x(t)所处的空间都没有加任何约束条件。在实际工程系统中,输入变量空间和状态空间都不为无限制条件的线性空间,因此上述能控性的定义对工程实际系统还需作具体的分析。线性定常连续系统的状态能
12、控性判别线性定常连续系统的状态能控性判别线性定常连续系统状态能控性判据有许多不同形式,下面分别讨论常用的代数判据代数判据和模态判据模态判据。1.代数判据代数判据定理 (线性定常连续系统能控性秩判据)线性定常连续系统(A,B)状态完全能控的充要条件为下述条件之一成立:1.矩阵函数e-AtB的各行函数线性独立,即不存在非零常数向量fRn,使得 fe-AtB02.如下定义的能控性矩阵 Qc=B AB An-1B满秩,即 rankQc=rankB AB An-1B=n v定理给出的是线性定常连续系统状态能控性充要的两个判据,可直接用于能控性判定。由于检验e-AtB的各行是否函数线性独立相对困难一些,因
13、此实际应用中通常用定理的条件2。条件2我们亦称为线性定常连续系统状态能控性的代数判据。例例1 试判断如下系统的状态能控性解 由状态能控性的代数判据有故因此,该系统状态完全能控。例例2 试判断如下系统的状态能控性将上述矩阵的第3行加到第2行中去,则可得矩阵显然其秩为2。而系统的状态变量维数n=3,所以状态不完全能控。解 由状态能控性的代数判据有2.模态判据模态判据v在给出线性定常连续系统状态能控性模态判据之前,先讨论状态能控性的如下性质:线性定常系统经线性变换后状态能控性保持不变。线性定常系统经线性变换后状态能控性保持不变。下面对该结论作简单证明。v设线性变换阵为P,则系统(A,B)经线性变换
14、后为 ,并有由于因此系统 的状态能控性等价于(A,B)的状态能控性,即线性变换不改变状态能控性。v基于上述结论,可利用线性变换将一般状态空间模型变换成约当规范形,通过分析约当规范形(对角线规范形视为其特例)的能控性来分析原状态空间模型的能控性。下面讨论线性定常连续系统约当规范形的状态能控性模态判据。约当块和约当矩阵v矩阵的约当块的定义为v由l个约旦块Ji组成的块对角的矩阵称为约旦矩阵,如J=block-diagJ1 J2 Jlv下述矩阵均为约旦矩阵上述第一个约旦矩阵有两个约旦块,分别为11维的特征值2的约旦块和33维的特征值-1的约旦块;第二个约旦矩阵有三个约旦块,分别为11维的特征值3的约旦
15、块以及11维和22维的特征值-1的两个约旦块。q由约旦块和约旦矩阵的定义可知,对角线矩阵可视为约旦矩阵的特例对角线矩阵可视为约旦矩阵的特例,其每个约旦块的维数为11。在本课程中,若未加以特别指出的话若未加以特别指出的话,则所有对约旦矩阵则所有对约旦矩阵有关的结论都同样适用于对角线矩阵。有关的结论都同样适用于对角线矩阵。定理对为约当规范形的线性定常连续系统(A,B),有:1)若A为每个特征值都只有一个约当块的约当矩阵,则系统能控的充要条件为对应对应A的每个约当块的的每个约当块的B的分块的最后一行都不全为零的分块的最后一行都不全为零;2)若A为某个特征值有多于一个约当块的约当矩阵,则系统能控的充要
16、条件为对应对应A的每个特征值的所有约旦块的的每个特征值的所有约旦块的B的分块的最后一的分块的最后一行线性无关行线性无关。v两点说明:状态能控性模态判据讨论的是约当规范形。v若系统的状态空间模型不为约当规范形,则可根据线性变换不改变状态能控性的性质,先将状态空间模型变换成约旦规范形,v然后再利用模态判据判别状态能控性;模态判据不仅可判别出状态能控性,而且更进一步地指出是系统的哪一模态(特征值或极点)和哪一状态不能控。v这对于进行系统分析和反馈校正是非常有帮助的。q解 由定理可知,A为特征值互异的对角线矩阵,且B中各行不全为零,故系统状态完全能控。例 试判断如下系统的状态能控性。q解 A的每个特征
17、值都只有一个约旦块,但对应于特征值-4的约旦块的B的分块的最后一行全为零,故状态x1和x2不能控,则系统状态不完全能控。状态空间x1-x2-x3不完全能控状态子空间x1-x2不完全能控状态变量x3完全能控状态变量x2完全不能控状态变量x1完全不能控q解 由于A中特征值-4的两个约旦块所对应的B的分块的最后一行线性无关,且A中特征值-3的约旦块所对应的B的分块的最后一行不全为零,故系统状态完全能控。q解 由于A中特征值-4的两个约旦块所对应的B的分块的最后一行线性相关,故该系统的状态x1,x2和x4不完全能控,则系统状态不完全能控。状态空间x1-x2-x3-x4不完全能控状态子空间x1-x2-x
18、4不完全能控状态变量x3完全能控?v由模态判据结论2可知,对单输入系统的状态能控性,有如下推论。v推论 若单输入线性定常连续系统(A,B)的约旦规范形的系统矩阵为某个特征值有多于一个约旦块的约旦矩阵,则该系统状态不完全能控。v状态能控性的模态判据在应用时需将一般的状态空间模型变换成约旦规范形,属于一种间接方法。下面我们给出另一种形式的状态能控性模态判据,称为PBH秩判据。v该判据属于一种直接法。v定理 线性定常连续系统(A,B)状态完全能控的充必条件为:对于所有的A的特征值,下式成立:rankI-A B=n q解 由方程|I-A|=0,可解得矩阵A的特征值分别为1,2和3。对特征值1=1,有q
19、例 试判断如下系统的状态能控性。对特征值2=2,有对特征值3=3,有由定理可知,因为对应于特征值3,定理的条件不成立,故该系统状态不完全能控。q能控性判据小结判定方法特点判据矩阵指数函数判据代数判据模态判据1模态判据2矩阵函数e-AtB的各行函数线性独立能控性矩阵Qc=B AB An-1B满秩约旦标准形中同一特征值对应的B矩阵分块的最后一行线性无关对于所有特征值,rankI-A B=n需要求矩阵指数函数并判定函数相关,计算复杂1.计算简便可行。2.缺点为不知道状态空间中哪些变量(特征值/极点)能控1.易于分析状态空间中哪些变量(特征值/极点)能控。2.缺点为需变换成约旦标准形1.易于分析哪些特
20、征值(极点)能控。2.缺点为需求系统的特征值线性定常连续系统的输出能控性线性定常连续系统的输出能控性q在控制系统分析和设计中,系统的被控制量往往不是系统的状态变量,而是系统的输出变量。因此,有必要研究系统的输出能否控制的问题。经典控制理论讨论的为SISO系统输入输出的分析和综合问题,其输入输出间动态关系可以唯一地由传递函数所确定。因此,对给定的期望输出响应,输入则唯一地确定,不存在输出能否控制的问题。但对于MIMO系统,由于输入向量和输出向量是多维的,因此,存在r维的输入能否控制m维的输出的能控性问题。v定义若线性定常连续系统(A,B,C,D),对初始时刻t0(t0T,T为系统的时间定义域)和
21、任意初始输出值y(t0),v存在另一有限时刻t1(t1t0,t1T),可以找到一个输入控制向量u(t),v能在有限时间t0,t1内把系统从初始输出y(t0)控制到原点,即y(t1)=0,则称系统输出完全能控,简称为系统输出能控。v即,若数学逻辑关系式y(t0)t1T u(t)(t1t0)(tt0,t1)(y(t1)=0)为真,则称系统输出完全能控。若系统存在某个初始输出值y(t0)不满足上述条件,则称此系统是输出不完全能控的,简称为输出不能控。v定理 线性定常连续系统(A,B,C,D)输出完全能控的充要条件为输出能控性矩阵CB CAB CAn-1B D满秩,即rank CB CAB CAn-1
22、B D=m其中m为输出变量向量的维数。v例例试判断如下系统的输出能控性q解 由输出能控性的代数判据有rankCB CAB D=rank2 0 0=1=m故系统输出完全能控。q 对该系统,因为故系统是状态不完全能控的。v因此,输出能控性与状态能控性是不等价的两个不同概念,它们之间亦没有必然的联系。线性时变连续系统的状态能控性线性时变连续系统的状态能控性v以上讨论的状态能控性判据是针对线性定常连续系统而言的,对时变系统不成立。下面给出线性时变连续系统状态能控性的充分必要判据。v定理定理(格拉姆矩阵判据)线性时变连续系统(A(t),B(t)在初始时刻t0上状态完全能控的充分必要条件为:存在t1(t1
23、t0),使得如下能控格拉姆(Gram)矩阵为非奇异的v在应用由定理给出的线性时变连续系统的状态能控的判据时,需先求出时变的系统矩阵A(t)的状态转移矩阵(t,t0),然后再求能控格拉姆矩阵Wc(t1,t0),计算量较大。而且状态转移矩阵(t,t0)的计算,对一般的时变矩阵A(t)还无法得到以有限项表示的解析解。因此,利用定理判定线性时变系统的状态能控性有一定困难。下面给出一个较为实用的时变系统状态能控性判据,该判据只需利用矩阵A(t)和B(t)的信息即可。v(秩判据)定定理理若对初始时刻t0,存在时间t1(t1t0),使得线性时变连续系统(A(t),B(t)的系统矩阵A(t)和输入矩阵B(t)
24、中的各元素在时间区间t0,t1内对时间t分别是(n-2)和(n-1)阶连续可导,定义再定义如下线性时变系统的能控性矩阵若能控性矩阵Qc(t)满足则称时变系统在初始时刻t0上状态完全能控。v值得指出的是,秩判据给出的仅是一个系统状态能控的充分条件,即不满足这个定理的并不一定是不能控的。v例例 试判断如下时变系统在t0=0的状态能控性。v解解(1)采用能控格拉姆矩阵判据。首先求系统的状态转移矩阵,考虑到该系统的系统矩阵满足故状态转移矩阵可写成因此,格拉姆能控性矩阵Wc(0,tf),为由于当tf0时,detWc(0,tf)0。v所以系统在时间t0=0时是状态完全能控的。v(2)由于A(t)和B(t)高阶连续可导,可采用秩判据来判定。由显然,只要t0,就有rank Qc(t)=n=2。v所以系统在时间t0=0时是状态完全能控的。