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1、第三章 线性系统的能控性和能观测性3.1 能控性和能观测性的定义能控性状态点的能控性 对t0,x0，存在t1t0 和容许控制u(t),t属于t0,t1,使系统状态从x0 x(t1)=0 称此x0在t0时刻能控。系统的能控性 状态空间中的所有x0，在t0时刻都能控，则称系统在t0时刻完全能控。系统不完全能控：存在一个或一些非零状态在t0时刻不能控，则称系统在t0时刻不完全能控。能观测性能观测性研究x0是否可由输出和输出完全确定的问题。3.2 线性连续时间系统的能控性判据1 线性定常系统的能控性判据反设系统不能控。利用规范分散定理，存在等价变换矩阵P，使设为 的特征值，则存在行向量，满足2 能控性
2、指数（只对定常线性系统定义，系统完全能控）K=n时，Qk即为能控性判别矩阵。有时，在k=n.故又若rank B=r=p注：单输入系统p=1,系统的能控性指数为n.简化计算能控性判别矩阵。不必计算到A的(n-1)次幂乘以B。最多只需计算到(n-r)次幂。能控性指数集 线性非奇异变换不改变能控性指数和能控性指数集4 线性时变系统的能控性判据3.3 线性连续时间系统的能观测性判据3.4 对偶性原理与能控性判据对偶，自学。3.7 MIMO系统的能控规范形和能观测规范形系统完全能控时，rank Qc=n;系统完全能观测时，rank Qo=n.从中必可找出n个线性无关的列或行。不同的找法，会找出不同的列（
3、行）。由它们构成的变换矩阵将原系统方程变换成不同的规范形。1 搜索线性无关的列（行）的两种方案以从Qc中找寻线性无关的列或行为例。系统完全能控，rank Qc=n.Qc中有且最多仅有n个线性无关的列。如何找出它们？用格栅图表示。方案 I 列搜索该搜索方法的特点是，是其左边的向量的线性组合。方案II 行搜索注：这种方法和确定能控性指数集时的搜索方法相同。这样找到的 不能表示成其左边的各列的线性组合。它与找到的所有列都线性相关。性质：如果说 与它的前面的列线性相关，则 亦必是这样。2 旺纳姆(Wohnam)规范形（以能控规范形为例，能观形与之对偶）按方案I搜索Qc中的n个线性无关列，得根据上述这种
4、搜索方法的特点，有根据以上特点构造状态空间中的新的“基”T关于旺纳姆能控规范形的证明“表达”相似变换即变换后的矩阵的第i列是Aei这个向量相应于新的基T的表达。对式（3.184)类似于SISO系统（3.166)利用凯莱-哈密尔顿定理，此处利用c 的各列是Aei关于新的基的表达。所以，与v1以后的基向量无关，故A中第v1列之前，v1行以下均为0。对式（3.186)只有Ae21与前面的基向量有关，其余Ae22,Ae2v2只与本组基向量有关。故它们对新的基的表达为同理，对（3.187)-(3.190)只有Ae31,Ael1联系前面的基，基余都与本组基向量有关。所以可确定A c的形式如前所示。Bc的形式可按相同的方式说明余类推。所以，Bc的形式如前所示。3 龙伯格规范形3.8 线性系统的结构分解能控性和能观测性在线性非奇异变换下保持不变。线性定常系统按能控性的结构分解分解成能控的和不能控的两部分。如何分解？1.计算2.从中任意选取k个线性无关的列3.选取n-k个列向量 ，使下列矩阵满秩4.取 ，即可导出系统按能控性分解的规范表达式Why?对B同理。Notes:线性定常系统按能观测性的分解线性定常系统结构的规范分解不完全能控、不完全能观测的线性定常系统