线性系统的能控性与能观测性.ppt

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1、第4章 线性系统的能控性和能观测性 第第4章章 线性系统的能控性与能观测性线性系统的能控性与能观测性 本本章章主主要要介介绍绍定定性性分分析析方方法法，即即对对决决定定系系统统运运动动行行为为和和综综合合系系统统结结构构有有重重要要意意义义的的关关键键性性质质（如如可可控控性性、可可观观测测性性、稳稳定性等）进行定性研究。定性等）进行定性研究。在在线线性性系系统统的的定定性性分分析析中中，一一个个很很重重要要的的内内容容是是关关于于系系统统的的可可控控性性、可可观观测测性性分分析析。系系统统的的可可控控、可可观观测测性性是是由由卡卡尔尔曼曼于于60年年代代首首先先提提出出的的，事事后后被被证证

2、明明这这是是系系统统的的两两个个基基本本结结构构属属性。性。本本章章首首先先给给出出可可控控性性、可可观观测测性性的的严严格格的的数数学学定定义义，然然后后导导出出判判别别线线性性系系统统的的可可控控性性和和可可观观测测性性的的各各种种准准则则，这这些些判判别准则无论在理论分析中还是在实际应用中都是很有用的。别准则无论在理论分析中还是在实际应用中都是很有用的。1第4章 线性系统的能控性和能观测性 4.1 能控性和能观测性的定义能控性和能观测性的定义 4.2 线性连续系统的能控性判据线性连续系统的能控性判据4.3 线性连续系统的能观测性判据线性连续系统的能观测性判据4.5 能控规范型和能观测规范

3、型能控规范型和能观测规范型第第4章章 线性系统的能控性与能观测性线性系统的能控性与能观测性4.4 对偶性对偶性4.6 连续时间线性时不变系统的结构分解连续时间线性时不变系统的结构分解2第4章 线性系统的能控性和能观测性 4.1 能控性和能观测性的定义能控性和能观测性的定义 一能控性与能观测性的物理概念一能控性与能观测性的物理概念 系系系系统统统统的的的的可可可可控控控控性性性性和和和和可可可可观观观观性性性性，就就就就是是是是指指指指系系系系统统统统内内内内的的的的所所所所有有有有状态是否可以由输入影响和是否可由输出反映。状态是否可以由输入影响和是否可由输出反映。状态是否可以由输入影响和是否可

4、由输出反映。状态是否可以由输入影响和是否可由输出反映。p能能控控性性问问题题:已已知知某某系系统统的的的的当当前前时时刻刻及及其其状状态态,试试问问是是否否存存在在一一个个容容许许控控制制,使使得得系系统统在在该该控控制制的的作作用用下于有限时间后到达某希望的待定状态下于有限时间后到达某希望的待定状态?p能能观观性性问问题题:已已知知某某系系统统及及其其在在某某时时间间段段上上的的输输入入输输出出,试试问问可可否否依依据据这这一一时时间间段段上上的的输输入入和和输输出出决决定定系统这一时间段上的状态系统这一时间段上的状态?3第4章 线性系统的能控性和能观测性 例例4-1：给定系统的状态空间描述

5、为：给定系统的状态空间描述为结结构构图图表表明明：通通过过控控制制量量u可可以以控控制制状状态态x1和和x2，所所以以系系统统完完全全能能控控；但但输输出出y只只能能反反映映状状态态变变量量x2，不不能反映状态变量能反映状态变量x1，所以系统不完全能观测。，所以系统不完全能观测。图图4-1 系统结构图系统结构图4第4章 线性系统的能控性和能观测性 二二 能控性定义能控性定义1状态可控状态可控考虑考虑n维线性时变系统的状态方程维线性时变系统的状态方程如果对取定初始时刻如果对取定初始时刻 的一个非零初始状态的一个非零初始状态x(t0)=x0，存在一个时刻，存在一个时刻 和一个无约束和一个无约束的容

6、许控制的容许控制u(t)，使状态由，使状态由x(t0)=x0转移转移到到t1时的时的x(t1)=0，则称此，则称此x0是在时刻是在时刻t0可控的可控的.5第4章 线性系统的能控性和能观测性 2系统可控系统可控如如果果状状态态空空间间中中的的所所有有非非零零状状态态都都是是在在t0（）时时刻刻可可控控的的，则则称称系系统统在在时时刻刻t0是是完完全全可可控控的的，简简称称系系统统在在时时刻刻t0可可控控。若若系系统统在在所所有时刻都是可控的，则称系统是一致可控的。有时刻都是可控的，则称系统是一致可控的。考虑考虑n维线性时变系统的状态方程维线性时变系统的状态方程6第4章 线性系统的能控性和能观测性

7、 3系统不完全可控系统不完全可控 对于线性时变系统对于线性时变系统取取定定初初始始时时刻刻 ，如如果果状状态态空空间间中中存存在在一一个个或或一一些些非非零零状状态态在在时时刻刻t0是是不不可可控控的的，则则称称系系统统在在时时刻刻t0是是不不完完全全可可控控的的，也也称称为为系系统统是是不不可控的。可控的。7第4章 线性系统的能控性和能观测性 4状态可达与系统可达状态可达与系统可达 对于线性时变系统对于线性时变系统 若若存存在在能能将将状状态态x(t0)=0转转移移到到x(tf)=xf的的控控制制作作用，则称状态用，则称状态xf是是t0时刻可达的。时刻可达的。若若xf对对所所有有时时刻刻都都

8、是是可可达达的的，则则称称状状态态xf为为完完全全可可达达到到或或一一致致可可达达。若若系系统统对对于于状状态态空空间间中中的的每每一一个个状状态态都都是是时时刻刻t0可可达达的的，则则称称该该系系统统是是t0时时刻完全可达的，或简称系统是刻完全可达的，或简称系统是t0时刻可达的。时刻可达的。8第4章 线性系统的能控性和能观测性 三能观测性定义三能观测性定义1系统完全可观测系统完全可观测 对于线性时变系统对于线性时变系统如如果果取取定定初初始始时时刻刻 ，存存在在一一个个有有限限时时刻刻 ,对对于于所所有有 ，系系统统的的输输出出y(t)能能唯唯一一确确定定状状态态向向量量的的初初值值x(t0

9、)，则则称称系系统统在在t0,t1内内是是完完全全可可观观测测的的，简简称称可可观观测测。如如果果对对于于一一切切t1t0系系统统都都是是可可观观测测的的，则则称称系系统统在在t0,)内是完全可观测的。内是完全可观测的。9第4章 线性系统的能控性和能观测性 2系统不可观测系统不可观测 对于线性时变系统对于线性时变系统如如果果取取定定初初始始时时刻刻 ，存存在在一一个个有有限限时时刻刻 ,对对于于所所有有 ，系系统统的的输输出出y(t)不不能能唯唯一一确确定定所所有有状状态态的的初初值值xi(t0)，i=0,1,n，即即至至少少有有一一个个状状态态的的初初值值不不能能被被y(t)确确定定，则则称

10、称系系统统在在t0,t1内内是是不不完完全全可可观观测测的的，简简称不可观测。称不可观测。10第4章 线性系统的能控性和能观测性 线性定常系统为完全能控的充要条件是，线性定常系统为完全能控的充要条件是，存在一个有限时刻存在一个有限时刻 ，使如下定义的格拉姆矩阵，使如下定义的格拉姆矩阵非奇异。非奇异。4.2 线性连续系统的能控性判据线性连续系统的能控性判据()一、线性定常连续系统的可控性判据（一、线性定常连续系统的可控性判据（）1 1格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据注注意意：在在应应用用该该判判据据时时需需计计算算eAt，这这在在A的的维维数数较较高时并非易事，所以高时并

11、非易事，所以此判据主要用于理论分析中此判据主要用于理论分析中。11第4章 线性系统的能控性和能观测性 证证：充充分分性性：已已知知W0,t1为为非非奇奇异异，欲欲证证系系统统为为完完全全可可控控，采采用用构构造造法法来来证证明明。对对任任一一非非零零初初始始状状态态x0可构造控制可构造控制u(t)为：为：则则u(t)作用下系统状态作用下系统状态x(t)在在t1时刻的结果时刻的结果:这这表表明明：对对任任一一取取定定的的初初始始状状态态x00，都都存存在在有有限限时时刻刻t10和和控控制制u(t)，使使状状态态由由x0转转移移到到t1时时刻刻的的状状态态x(t1)=0，根据定义可知系统为完全可控

12、。，根据定义可知系统为完全可控。12第4章 线性系统的能控性和能观测性 必必要要性性：已已知知系系统统完完全全可可控控，欲欲证证W(0,t1)非非奇奇异异。反反设设W(0,t1)为奇异为奇异，即存在某个非零向量，即存在某个非零向量 ，使，使其中其中|为范数，故其必为非负。欲使上式成立，必有为范数，故其必为非负。欲使上式成立，必有13第4章 线性系统的能控性和能观测性 因系统完全可控，根据定义对此非零向量因系统完全可控，根据定义对此非零向量 应有应有 0此此结结果果与与假假设设 相相矛矛盾盾，即即W(0,t1)为为奇奇异异的的反反设设不不成成立立。因此，若系统完全可控，因此，若系统完全可控，W(

13、0,t1)必为非奇异。必为非奇异。14第4章 线性系统的能控性和能观测性 2 2 秩判据秩判据 线性定常系统为完全能控的充要条件是：线性定常系统为完全能控的充要条件是：能控判别阵能控判别阵能控性判据能控性判据补充补充:秩判据秩判据 线性定常系统为完全能控的充要条件是：线性定常系统为完全能控的充要条件是：其中其中:该方法是秩判据的改该方法是秩判据的改进，特别适用于多输进，特别适用于多输入系统，可减少不必入系统，可减少不必要的计算。要的计算。15第4章 线性系统的能控性和能观测性 证证明明：充充分分性性：已已知知rankQ=n，欲欲证证系系统统完完全全可可控控，采用反证法。反设系统为不完全可控，则

14、有：采用反证法。反设系统为不完全可控，则有：为奇异，这意味着存在某个非零为奇异，这意味着存在某个非零n维常向量维常向量使使将上式求导直到将上式求导直到(n-1)次，再在所得结果中令次，再在所得结果中令t=0，则，则可得到可得到:16第4章 线性系统的能控性和能观测性 由由于于0，所所以以上上式式意意味味着着S为为行行线线性性相相关关的的，即即rankSn。这这显显然然与与已已知知rankS=n相相矛矛盾盾。因因而而反反设不成立，系统应为完全可控，充分性得证。设不成立，系统应为完全可控，充分性得证。必必要要性性：已已知知系系统统完完全全可可控控，欲欲证证rankS=n，采采用用反反证证法法。反反

15、设设rankSn，这这意意味味着着S为为行行线线性性相相关关，因因此此必必存存在在一一个个非非零零n维维常常向向量量 使使成立。成立。17第4章 线性系统的能控性和能观测性（由凯莱（由凯莱哈密尔顿定理）哈密尔顿定理）18第4章 线性系统的能控性和能观测性 因因为为已已知知0，若若上上式式成成立立，则则格格拉拉姆姆矩矩阵阵W(0,t1)为为奇奇异异，即即系系统统为为不不完完全全可可控控，和和已已知知条条件件相相矛矛盾盾，所所以反设不成立。于是有以反设不成立。于是有rankS=n，必要性得证。，必要性得证。19第4章 线性系统的能控性和能观测性 例：已知例：已知判断其能控性。判断其能控性。解：解：

16、系统阶次系统阶次，确定出可控判别阵，确定出可控判别阵，所以系统为完全可控。，所以系统为完全可控。20第4章 线性系统的能控性和能观测性 例：判断下列系统的可控性例：判断下列系统的可控性解：解：矩阵的第二行与第三行线性相关，故矩阵的第二行与第三行线性相关，故rankQ=23，系统不可控。，系统不可控。21第4章 线性系统的能控性和能观测性 例：用可控性判别矩阵例：用可控性判别矩阵 判别上例所示系统的可判别上例所示系统的可控性。控性。解：解：n=3,系统输入向量是系统输入向量是2维的列向量，即维的列向量，即p=2。显见矩阵显见矩阵S3-2的第二行与第三行线性相关，的第二行与第三行线性相关，故故 ，

17、系统不可控。，系统不可控。22第4章 线性系统的能控性和能观测性 3PBH秩判据（秩判据（）线性定常系统线性定常系统 完全可控的充分必要条件是：对矩阵完全可控的充分必要条件是：对矩阵A的所有特征的所有特征值值 ，均成立，或等价地表示为均成立，或等价地表示为注注：当当系系统统矩矩阵阵A的的维维数数较较高高时时，应应用用秩秩判判据据可可能能不不太方便，此时可考虑用太方便，此时可考虑用PBH判据试一下。判据试一下。23第4章 线性系统的能控性和能观测性 证证明明：，为为多多项项式式矩矩阵阵，且且对对复复数数域域上上除除i以以外外的的所所有有s都都有有det(sI-A)0，即即ranksI-A=n，进

18、而有，进而有ranksI-A B=n，所以只要证明，所以只要证明 即可。即可。必要性：必要性：系统完全可控，欲证上式成立，采用反证法。系统完全可控，欲证上式成立，采用反证法。反设对某个反设对某个i 有有rankiI A B n，则意味着，则意味着 iIA B为行线性相关。由此，必存在一个非零常向量为行线性相关。由此，必存在一个非零常向量，使，使成立。考虑到问题的一般性，由上式可得到：成立。考虑到问题的一般性，由上式可得到：24第4章 线性系统的能控性和能观测性 进而可得进而可得:于是有于是有因已知因已知0，所以欲使上式成立，必有，所以欲使上式成立，必有这这意意味味着着系系统统不不完完全全可可控

19、控，显显然然与与已已知知条条件件相相矛矛盾盾。因此，反设不成立，即因此，反设不成立，即rankiI A B=n成立。成立。充充分分性性：已已知知式式rankiI A B=n成成立立，欲欲证证系系统统完完全全可可控控。采采用用反反证证法法：利利用用和和上上述述相相反反的的思思路路，即即可可证证得充分性。得充分性。25第4章 线性系统的能控性和能观测性 例：已知线性定常系统状态方程为例：已知线性定常系统状态方程为判断系统的可控性。判断系统的可控性。解：解：根据状态方程可写出根据状态方程可写出26第4章 线性系统的能控性和能观测性 特征方程：特征方程：解得解得A的特征值为：的特征值为：1）当）当 时

20、，有时，有 27第4章 线性系统的能控性和能观测性 2）当）当 时，有时，有 3）当）当 时，有时，有 所以系统是完全可控的。所以系统是完全可控的。28第4章 线性系统的能控性和能观测性 4PBH特征向量判据特征向量判据线性定常系统线性定常系统 完完全全可可控控的的充充分分必必要要条条件件是是：A不不能能有有与与B的的所所有有列列相相正正交交的的非非零零左左特特征征向向量量。即即对对A的的任任一一特特征征值值i，使同时满足，使同时满足的特征向量的特征向量 。注：注：PHB特征向量判据主要用于理论分析中，特别是线性特征向量判据主要用于理论分析中，特别是线性系统的复频域分析中系统的复频域分析中。2

21、9第4章 线性系统的能控性和能观测性 证明：必要性：证明：必要性：已知系统完全可控，反设存在一个向已知系统完全可控，反设存在一个向量量0，使式，使式 成立，则有成立，则有由由于于0，所所以以上上式式意意味味着着S为为行行线线性性相相关关的的，即即rankSk时，时，的全部的全部p p个列将线性个列将线性相关于它的左边各列，此时相关于它的左边各列，此时 的秩不再增加，的秩不再增加，即即 称称为系统的能控性指数。为系统的能控性指数。37第4章 线性系统的能控性和能观测性 定理：能控性指数满足定理：能控性指数满足 其中，其中，为矩阵为矩阵A A的最小多项式次数，的最小多项式次数，n n为系统的阶次。

22、为系统的阶次。38第4章 线性系统的能控性和能观测性 定理：线性定常系统完全能控的充要条件是：定理：线性定常系统完全能控的充要条件是：注：该方法是秩判据的改进，特别适用于多输入注：该方法是秩判据的改进，特别适用于多输入 系统，可减少不必要的计算。系统，可减少不必要的计算。其中：其中：39第4章 线性系统的能控性和能观测性 三三 线性时变系统的能控性判据线性时变系统的能控性判据1 1 格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据 线性时变系统在时刻线性时变系统在时刻 为完全能控的充要条件是，为完全能控的充要条件是，存在一个有限时刻存在一个有限时刻 ，使如下定义的格拉姆，使如下定义的格拉姆矩阵矩阵非奇异。非奇异。

23、40第4章 线性系统的能控性和能观测性 2 2 秩判据秩判据 线性时变系统在时刻线性时变系统在时刻 为完全能控的充分条件是，为完全能控的充分条件是，存在一个有限时刻存在一个有限时刻 ，使下式成立，使下式成立能控性判据能控性判据41第4章 线性系统的能控性和能观测性 4.3 线性连续系统的能观测性判据线性连续系统的能观测性判据()()一线性定常连续系统的能观测性判据一线性定常连续系统的能观测性判据1.格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据 线性定常系统线性定常系统完完全全可可观观测测的的充充分分必必要要条条件件是是，存存在在有有限限时时刻刻t10，使如下定义的格拉姆矩阵，使如下定义的格拉姆矩阵为非奇异。为

24、非奇异。注注意意：在在应应用用该该判判据据时时需需计计算算eAt，这这在在A的的维维数数较较高高时时并非易事，所以此判据主要用于理论分析中。并非易事，所以此判据主要用于理论分析中。42第4章 线性系统的能控性和能观测性 2.秩判据（秩判据（）线性定常系统线性定常系统完全可观测的充分必要条件是完全可观测的充分必要条件是:或或其中：其中：n是系统的维数，是系统的维数，称为系统的可观测性判别阵，简称可观测性阵。称为系统的可观测性判别阵，简称可观测性阵。43第4章 线性系统的能控性和能观测性 例：判断下列系统的可观性：例：判断下列系统的可观性：(1)解：解：(1)系统不完全可观测系统不完全可观测(2)

25、(2)系统完全可观测系统完全可观测44第4章 线性系统的能控性和能观测性 例：证明如下系统总是完全可观测的。例：证明如下系统总是完全可观测的。证明：证明：系统是完全可观测的。系统是完全可观测的。该题说明：该题说明：可观测标准型系统是完全可观测的。可观测标准型系统是完全可观测的。45第4章 线性系统的能控性和能观测性 补充：可观测性判别矩阵补充：可观测性判别矩阵 （）线性定常连续系统的状态方程线性定常连续系统的状态方程其其中中：x为为n维维状状态态向向量量；y为为q维维输输出出向向量量；A和和C分分别别为为(nn)和和(qn)常常阵阵。该该线线性性定定常常连连续续系系统完全可观测的充要条件是：统

26、完全可观测的充要条件是：其中：其中：适用于多输出系统适用于多输出系统46第4章 线性系统的能控性和能观测性 例：判断系统的可观性。例：判断系统的可观性。解：解：系统输出向量是系统输出向量是2维的列向量，即维的列向量，即q=2。故故 ，系统完全可观测。，系统完全可观测。47第4章 线性系统的能控性和能观测性 3.PBH3.PBH秩判据秩判据秩判据秩判据 （）线性定常系统线性定常系统完完全全可可观观测测的的充充分分必必要要条条件件是是：对对矩矩阵阵A的的所所有有特征值特征值 ，均有，均有成立。或等价地表示为成立。或等价地表示为48第4章 线性系统的能控性和能观测性 4.PBH特征向量判据特征向量判

27、据 线性定常系统线性定常系统完完全全可可观观测测的的充充分分必必要要条条件件是是：A没没有有与与C的的所所有有行行相相正正交交的的非非零零右右特特征征向向量量。即即对对A的的任任一一特征值特征值 ，使同时满足，使同时满足的特征向量的特征向量 。注：注：PHB特征向量判据主要用于理论分析中特征向量判据主要用于理论分析中。49第4章 线性系统的能控性和能观测性 5.约当规范型判据约当规范型判据1 1）对角规范型系统）对角规范型系统）对角规范型系统）对角规范型系统(无重特征值无重特征值无重特征值无重特征值)可观测性判别可观测性判别可观测性判别可观测性判别（）当当矩矩阵阵A的的特特征征值值 为为两两两

28、两相相异异时时，线线性定常连续系统性定常连续系统完全可观测的充分必要条件是：其对角线规范型完全可观测的充分必要条件是：其对角线规范型 中，中，不包含元素全为零的不包含元素全为零的列列列列。50第4章 线性系统的能控性和能观测性 例：已知线性定常系统的对角线规范型为例：已知线性定常系统的对角线规范型为判断系统的可观测性。判断系统的可观测性。解：由于此规范型中解：由于此规范型中 不包含元素全为零的不包含元素全为零的列，故系统完全可观测。列，故系统完全可观测。51第4章 线性系统的能控性和能观测性 2 2）约当规范型系统）约当规范型系统）约当规范型系统）约当规范型系统(有重特征值有重特征值有重特征值

29、有重特征值)可观测性判别可观测性判别可观测性判别可观测性判别 当当系系统统矩矩阵阵A有有重重特特征征值值时时，线线性性定定常常连连续系统续系统完完全全可可观观测测的的充充分分必必要要条条件件是是：由由其其导导出出的的约约当规范型当规范型中中，中中与与同同一一特特征征值值的的各各约约当当块块对对应应的的各各子子块的第一列组成的矩阵是块的第一列组成的矩阵是列列列列线性无关的线性无关的。52第4章 线性系统的能控性和能观测性 例：约当标准型系统如下：例：约当标准型系统如下：试判断其可观测性。试判断其可观测性。解：解：所以：系统完全可观测。所以：系统完全可观测。是列线性无关的；是列线性无关的；是列线性

30、无关的；是列线性无关的；53第4章 线性系统的能控性和能观测性 完全可控且完全可观测的子系统组合后不一完全可控且完全可观测的子系统组合后不一定保持原有的可控性或可观测性。定保持原有的可控性或可观测性。例：设完全可控且完全可观测的子系统为例：设完全可控且完全可观测的子系统为求出并联组合系统的状态空间描述，并判断并联求出并联组合系统的状态空间描述，并判断并联组合系统的可控性和可观测性。组合系统的可控性和可观测性。54第4章 线性系统的能控性和能观测性 解：子系统并联组合后的系统解：子系统并联组合后的系统 可控性判别矩阵：可控性判别矩阵：55第4章 线性系统的能控性和能观测性 可观性判别矩阵可观性判

31、别矩阵该并联组合系统不完全可控且不完全可观测。该并联组合系统不完全可控且不完全可观测。56第4章 线性系统的能控性和能观测性 二二能观测性指数能观测性指数 对线性定常系统，定义对线性定常系统，定义kqkq nn 矩阵：矩阵：能观性指数：矩阵能观性指数：矩阵 的秩随着的秩随着k k单调增加，直单调增加，直 至至k=k=。在。在kk时，时，的秩不再增加，的秩不再增加，即即 称称为线性定常系统的能观测性指数。为线性定常系统的能观测性指数。57第4章 线性系统的能控性和能观测性 定理：能观测性指数满足定理：能观测性指数满足 其中，其中，为矩阵为矩阵A A的最小多项式次数，的最小多项式次数，n n为系统

32、的阶次。为系统的阶次。58第4章 线性系统的能控性和能观测性 定理：线性定常系统完全能观的充要条件是：定理：线性定常系统完全能观的充要条件是：定理：线性定常系统的能控性指数和能观测定理：线性定常系统的能控性指数和能观测性指数在状态的非奇异变换下保持不变。性指数在状态的非奇异变换下保持不变。59第4章 线性系统的能控性和能观测性 三三 线性时变系统的能观测性判据线性时变系统的能观测性判据1 1 格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据 线性时变系统在时刻线性时变系统在时刻 为完全能观的充要为完全能观的充要条件是，存在一个有限时刻条件是，存在一个有限时刻 ，使如下定义的格拉姆矩阵使如下定义的格拉姆矩阵非奇异。

33、非奇异。60第4章 线性系统的能控性和能观测性 2 2 秩判据秩判据 线性时变系统在时刻线性时变系统在时刻 为完全能观的充分为完全能观的充分条件是，存在一个有限时刻条件是，存在一个有限时刻 ，使下式成立使下式成立61第4章 线性系统的能控性和能观测性 能控性能控性能观性能观性意义意义输入输入 状态状态控制状态状态 输出输出估计估计代数判据代数判据 rankB AB An-1B=nrankC A C (A)n-1C=n模态判据模态判据1同一特征值的约旦同一特征值的约旦块对应块对应B的分块的的分块的最后一行是否相关最后一行是否相关同一特征值的约旦同一特征值的约旦块对应块对应C的分块的的分块的第一列

34、是否相关第一列是否相关rank I-A B=n rank I-A C=n 模态判据模态判据2从前面的讨论中可以看出从前面的讨论中可以看出,系统状态能控性和能观性系统状态能控性和能观性,无论是从定义或判据无论是从定义或判据方面来看方面来看,在形式和结构上都极为相似。这种相似关系可以总结成下表在形式和结构上都极为相似。这种相似关系可以总结成下表:4.4 4.4 对偶性对偶性62第4章 线性系统的能控性和能观测性 一一 对偶系统对偶系统 考虑线性时变系统考虑线性时变系统 线性时变系统的对偶系统的状态空间描述为：线性时变系统的对偶系统的状态空间描述为：式中：式中：-n-n维行向量，协态；维行向量，协态

35、；-输出，输出，p p维行向量；维行向量；-输入，输入，q q维行向量。维行向量。（1 1）（2 2）显然显然,若系统若系统(A,B,C)是一个是一个p维输入维输入,q维输出的维输出的n阶系统阶系统,则其对偶系统是一个则其对偶系统是一个q维输入维输入,p维输出的维输出的n阶系统。阶系统。63第4章 线性系统的能控性和能观测性 下图是对偶系统下图是对偶系统 和和 的结构图。从图中可以看出的结构图。从图中可以看出,两系统互为对偶意两系统互为对偶意味着输入端与输出味着输入端与输出端互换端互换;信号传递方向的相信号传递方向的相反反;信号引出点和相加信号引出点和相加点的互换点的互换,对应矩阵对应矩阵的转

36、置的转置,以及时间的以及时间的倒转。倒转。64第4章 线性系统的能控性和能观测性 二二 对偶原理对偶原理 对偶系统的状态转移矩阵之间满足如下关系：对偶系统的状态转移矩阵之间满足如下关系：线性时变系统的完全能控等同于其对偶系线性时变系统的完全能控等同于其对偶系统的完全能观测，线性时变系统的完全能观测统的完全能观测，线性时变系统的完全能观测等同于其对偶系统的完全能控。等同于其对偶系统的完全能控。65第4章 线性系统的能控性和能观测性 补充题：补充题：确定使下列系统状态完全能控的待定参确定使下列系统状态完全能控的待定参数的数的a，b，c取值范围取值范围（1）（2）ac0,b任意任意 a,b,c为任何

37、值为任何值都不能控都不能控 66第4章 线性系统的能控性和能观测性 例例:已知系统的传递函数为已知系统的传递函数为设系统状态完全可控且完全可观设系统状态完全可控且完全可观,试求试求a的范围。的范围。解：解：可控标准型实现，检查可观性：可控标准型实现，检查可观性：67第4章 线性系统的能控性和能观测性 解解得得 a1=1；a2=2；a3=4；答案：只需答案：只需a1 1、a2 2 和和 a3 4。68第4章 线性系统的能控性和能观测性 4.5 4.5 能控规范形和能观测规范形能控规范形和能观测规范形 一一 单变量系统的能控能观规范形单变量系统的能控能观规范形1 1 非奇异线性变换的不变特性非奇异

38、线性变换的不变特性 系系统统经经过过非非奇奇异异线线性性变变换换后后，不不会会改改变变系系统统原原有有特特性性(包包括括系系统统特特征征值值、传传递递函函数数矩矩阵阵、可可控控性性、可可观观性性、能能控控性性指指数数和和能能观观性性指指数数等等)，这这就就是是所所谓谓的的非非奇奇异异线线性性变变换的不变特性。换的不变特性。69第4章 线性系统的能控性和能观测性 对单输入对单输入-单输出线性定常系统，如果其状态空间单输出线性定常系统，如果其状态空间描述具有如下形式描述具有如下形式 则称此状态空间描述为可控规范形。则称此状态空间描述为可控规范形。2 2 能控规范形能控规范形70第4章 线性系统的能

39、控性和能观测性 结论：对于完全能控的单输入结论：对于完全能控的单输入单输出系统单输出系统设系统的特征多项式为设系统的特征多项式为引入非奇异线性变换阵引入非奇异线性变换阵P-1：71第4章 线性系统的能控性和能观测性 作变换作变换 ，即可导出可控标准型为：，即可导出可控标准型为：式中：式中：其中：其中：72第4章 线性系统的能控性和能观测性 证明：证明：1）系统完全可控，必有）系统完全可控，必有所以向量所以向量 是线性无关的。是线性无关的。取变换矩阵为取变换矩阵为式中：式中：，有，有73第4章 线性系统的能控性和能观测性 所以：所以：由于由于S和和都是线性无关的，显然向量都是线性无关的，显然向量

40、也是线性无关的。应用凯莱也是线性无关的。应用凯莱-哈密顿定理得到哈密顿定理得到74第4章 线性系统的能控性和能观测性 书写成矩阵形式为：书写成矩阵形式为：所以：所以：75第4章 线性系统的能控性和能观测性 2）记变换矩阵）记变换矩阵P的行向量为的行向量为pi，因，因PQ=I，即，即故：故：3）对于向量）对于向量 ，由，由 计算得计算得76第4章 线性系统的能控性和能观测性 3 3 能观测规范形能观测规范形 对单输入对单输入-单输出线性定常系统，如果其状单输出线性定常系统，如果其状态空间描述具有如下形式态空间描述具有如下形式 则称此状态空间描述为能观测规范形。则称此状态空间描述为能观测规范形。7

41、7第4章 线性系统的能控性和能观测性 结论：对于完全可观测的单输入结论：对于完全可观测的单输入单输出系统单输出系统引入非奇异线性变换阵引入非奇异线性变换阵P：78第4章 线性系统的能控性和能观测性 作变换作变换 ，即可导出可控标准型为：，即可导出可控标准型为：式中：式中：其中：其中：79第4章 线性系统的能控性和能观测性 1 1 搜索线性无关行或列的方案搜索线性无关行或列的方案考虑考虑n n维多输入维多输入-多输出线性定常系统多输出线性定常系统其能控判别阵能观判别阵分别为：其能控判别阵能观判别阵分别为：多变量系统的能控规范形和能观规范形多变量系统的能控规范形和能观规范形二 寻找线性寻找线性 无

42、关的列无关的列 寻找线性寻找线性 无关的行无关的行 80第4章 线性系统的能控性和能观测性(1)(1)列向搜索方案列向搜索方案搜索步骤：搜索步骤：第第1 1步：对栅格图的左第步：对栅格图的左第1 1列，若列，若 非零，在非零，在乘积乘积 格内划格内划。转入下一格，若。转入下一格，若 和和 线线性无关，则在其格内划性无关，则在其格内划。如此等等，直到首。如此等等，直到首次出现次出现 和和 线性相关，在其线性相关，在其格内划格内划，并停止第，并停止第1 1列的搜索，得到一组线性列的搜索，得到一组线性无关的列向量为：无关的列向量为：，长度为，长度为 。81第4章 线性系统的能控性和能观测性 第第2

43、2步步：向右转入第向右转入第2 2列，若列，若 和和 线性无关，则在其格内划线性无关，则在其格内划。转入下一格，若转入下一格，若 和和 线性无线性无关，则在其格内划关，则在其格内划。如此等等，直到首次出现。如此等等，直到首次出现 和和 线性相线性相关，在其格内划关，在其格内划，并停止第，并停止第2 2列的搜索，得到一组线列的搜索，得到一组线性无关的列向量为：性无关的列向量为：，长度为，长度为 。82第4章 线性系统的能控性和能观测性 第第l l l l步：步：向右转入第向右转入第l l列，若列，若 和和 线性线性无关，则在其格内划无关，则在其格内划。如此等等，直到首次出。如此等等，直到首次出现

44、现 和和 线性相关，在其格内划线性相关，在其格内划，并停止第，并停止第l l列的搜索，列的搜索，得到一组线性无关的列向量为：得到一组线性无关的列向量为：长度为长度为 。83第4章 线性系统的能控性和能观测性 第第l l+1+1步：若步：若 停止计算。并停止计算。并且，上述且，上述l l组列向量即为按列向搜索方案找到的组列向量即为按列向搜索方案找到的 中中n n个线性无关列向量。个线性无关列向量。84第4章 线性系统的能控性和能观测性(2)(2)行向搜索方案行向搜索方案搜索步骤：搜索步骤：第第1 1步：步：，即，即B B中有中有r r个列是线性无个列是线性无关量。对栅格图的第关量。对栅格图的第1

45、 1行，若行，若 非零，在非零，在格内划格内划。由左至右找出。由左至右找出r r个线性无关向量：个线性无关向量：并在对应格内划并在对应格内划。85第4章 线性系统的能控性和能观测性 第第2 2步：转入第步：转入第2 2行，从行，从 格到格到 由左至由左至右进行搜索。若线性相关则在其格内划右进行搜索。若线性相关则在其格内划，否，否则划则划。第第l l步：转入第步：转入第l l行，从行，从 格到格到 由左至由左至右进行搜索。若线性相关则在其格内划右进行搜索。若线性相关则在其格内划，否，否则划则划。86第4章 线性系统的能控性和能观测性 第第l l+1+1步：若至此找到步：若至此找到n n个线性无关

46、列向量，个线性无关列向量，则结束搜索。栅格图中划则结束搜索。栅格图中划格对应的列向量组格对应的列向量组就是按行向搜索方案找到的就是按行向搜索方案找到的 中中n n个线性无关个线性无关列向量。列向量。87第4章 线性系统的能控性和能观测性 2 2 旺纳姆能控规范形旺纳姆能控规范形考虑多输入考虑多输入-多输出线性定常系统多输出线性定常系统得到得到 中中n n个线性无关的列向量（列向搜索）：个线性无关的列向量（列向搜索）：其中其中其中其中88第4章 线性系统的能控性和能观测性 进一步可导出：进一步可导出：基于此，定义相应的基组为：基于此，定义相应的基组为：89第4章 线性系统的能控性和能观测性 表示

47、：表示：基于此，定义相应的基组为：基于此，定义相应的基组为：90第4章 线性系统的能控性和能观测性 依此类推，直到：依此类推，直到：基于此，定义相应的基组为：基于此，定义相应的基组为：在各基组的基础上，得到非奇异变换阵：在各基组的基础上，得到非奇异变换阵：91第4章 线性系统的能控性和能观测性 结论：对完全能控的多输入结论：对完全能控的多输入-多输出线性定多输出线性定常系统，引入非奇异变换常系统，引入非奇异变换 ，可导出其，可导出其旺纳姆能控规范形为：旺纳姆能控规范形为：92第4章 线性系统的能控性和能观测性 93第4章 线性系统的能控性和能观测性 结论：对完全能观的多输入结论：对完全能观的多

48、输入-多输出线性定常系多输出线性定常系统，利用对偶性原理，则可导出其旺纳姆能观规范形为：统，利用对偶性原理，则可导出其旺纳姆能观规范形为：3 3 旺纳姆能观规范形旺纳姆能观规范形94第4章 线性系统的能控性和能观测性 95第4章 线性系统的能控性和能观测性 4 4 龙伯格能控规范形龙伯格能控规范形考虑完全能控的多输入考虑完全能控的多输入-多输出线性定常系统多输出线性定常系统得到得到 中中n n个线性无关的列向量（行向搜索）：个线性无关的列向量（行向搜索）：其中其中96第4章 线性系统的能控性和能观测性 令：令：取取P P的每个块阵中的末的每个块阵中的末行构成变换阵行构成变换阵S:S:97第4章

49、 线性系统的能控性和能观测性 结论：对完全能控的多输入结论：对完全能控的多输入-多输出线性定多输出线性定常系统，引入非奇异变换常系统，引入非奇异变换 ，可导出其，可导出其龙伯格能控规范形为：龙伯格能控规范形为：98第4章 线性系统的能控性和能观测性 99第4章 线性系统的能控性和能观测性 结论结论：对不完全能控的系统，引入线：对不完全能控的系统，引入线性非奇异变换性非奇异变换 ，即可导出系统按，即可导出系统按能控性结构分解的规范表达式能控性结构分解的规范表达式一一 线性定常系统按能控性的结构分解线性定常系统按能控性的结构分解连续时间线性时不变系统的结构分解连续时间线性时不变系统的结构分解4.6

50、P P矩阵如矩阵如何确定？何确定？100第4章 线性系统的能控性和能观测性 nn非奇异变换矩阵非奇异变换矩阵P-1的构造方法：的构造方法：1）从从可可控控性性判判别别阵阵 中中任任意意的的选选取取k个个线线性性无无关关的的列向量，记为列向量，记为 。2）在在n维维实实数数空空间间中中任任意意选选取取尽尽可可能能简简单单的的(n-k)个个列列向向量量记记为为 ，使使它它们们和和 线线性性无无关。关。这样就可以构成这样就可以构成nn非奇异变换矩阵非奇异变换矩阵101第4章 线性系统的能控性和能观测性 展开写有：展开写有：令令 ，则可定义，则可定义可控子系统动态方程为：可控子系统动态方程为：不可控子