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1、第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性 4.1 4.1 定常离散系统的能控性定常离散系统的能控性4.2 4.2 定常连续系统的能控性定常连续系统的能控性4.3 4.3 定常系统的能观性定常系统的能观性4.4 4.4 线性时变系统的能控性及能观性线性时变系统的能控性及能观性4.5 4.5 能控性及能观性的对偶关系能控性及能观性的对偶关系4.6 4.6 线性定常系统的结构分解线性定常系统的结构分解4.7 4.7 能控性、能观性与传递函数矩阵的关系能控性、能观性与传递函数矩阵的关系4.8 4.8 能控标准形和能观标准形能控标准形和能观标准形4.9 4.9 系统的实现系统的实现
2、在现代控制理论中，能控性和能观性是两个重要在现代控制理论中，能控性和能观性是两个重要的基本概念的基本概念状态空间模型建立了输入、状态、输出之间的关系状态方程反映控制输入对状态的影响输出方程反映系统输出对状态的依赖两个基础性概念：两个基础性概念：能控性与能观性能控性与能观性两个基本问题：两个基本问题：在有限时间内，控制作用能否使系统从初始状态转在有限时间内，控制作用能否使系统从初始状态转移到要求的状态？移到要求的状态？指控制作用对状态变量的支配能力，指控制作用对状态变量的支配能力，称之为状态的称之为状态的能控性问题。能控性问题。在有限时间内，能否通过对系统输出的测定来估计在有限时间内，能否通过对
3、系统输出的测定来估计系统的初始状态？系统的初始状态？系统的输出量（或观测量）能否反映系统的输出量（或观测量）能否反映状态变量，称之为状态的状态变量，称之为状态的能观性问题。能观性问题。桥桥形形电电路路(a)(a)两两个个电电容容相相等等。选选各各自自的的电电压压为为状状态态变变量量，且且设设电电容容上上的的初初始始电电压压为为零零，根根据据电电路路理理论论，则则两两个个状状态态分分量量恒恒相相等等。相相平平面面图图(b)(b)中中相相轨轨迹迹为为一一条条直直线线，因因此此系系统统状状态态只只能能在在相相平平面面的的一一条条直直线线上上移移动动，不不论论电电源源电电压压如如何何变变动动，都都不不
4、能能使使系系统统的的状状态态变变量离开这条直线量离开这条直线,显然，它是显然，它是不完全能控的不完全能控的。例例4.0.14.0.1 例例4.0.24.0.2 选择电感中的电流以及电容上的电压作为选择电感中的电流以及电容上的电压作为状态变量。当电桥平衡时，电感中的电流作为状态变量。当电桥平衡时，电感中的电流作为电路的一个状态是不能由输出变量来确定的，电路的一个状态是不能由输出变量来确定的，所以该电路是所以该电路是不能观测的不能观测的。4.1 4.1 定常离散系统的能控性定常离散系统的能控性4.1.14.1.1 定常离散系统的能控性定义定常离散系统的能控性定义线性定常离散系统的状态方程线性定常离
5、散系统的状态方程(4.1.1)定定义义4.1.1 对对于于系系统统(4.1.1)，若若对对某某个个初初始始状状态态x(0),存存在在控控制制向向量量序序列列u(0),u(1),u(n-1)，使使系系统统从从第第0步步的的状状态态向向量量开开始始，在在第第n步步到到达达零零状状态态，即即x(n)=0，那那么么就就称称状状态态x(0)是是能能控控的的。如如果果系系统统的的所所有有状状态态都都是是能能控控的的，则则称称系系统统是是状状态态完完全全能能控控的的，简称能控。简称能控。4.1.2 4.1.2 单输入离散系统能控性的判定条件单输入离散系统能控性的判定条件单输入线性定常离散系统的状态方程单输入
6、线性定常离散系统的状态方程(4.1.2)定理定理4.1.1 单输入线性定常离散系统完全能控的充单输入线性定常离散系统完全能控的充分必要条件是，矩阵分必要条件是，矩阵b,Ab,An-1b的秩为的秩为n。该矩阵称为系统的能控性矩阵，以该矩阵称为系统的能控性矩阵，以U Uc c表示，于是表示，于是此能控性判据可以写成此能控性判据可以写成rankUc=rank b,Ab,An-1b=n.(4.1.5)例例4.1.14.1.1 满足能控性的充分必要条件，故该系统能控。满足能控性的充分必要条件，故该系统能控。4.1.3 4.1.3 多输入离散系统能控性的判定条件多输入离散系统能控性的判定条件多输入线性定常
7、离散系统的状态方程多输入线性定常离散系统的状态方程(4.1.9)定理定理4.1.2 多输入线性定常离散系统完全能控的多输入线性定常离散系统完全能控的充分必要条件是，矩阵充分必要条件是，矩阵B,AB,An-1B的秩为的秩为n。该矩阵称为系统的能控性矩阵，以该矩阵称为系统的能控性矩阵，以Uc表示表示，于是，于是此能控性判据可以写成此能控性判据可以写成rankUc=rankB,AB,An-1B=n.(4.1.10),多输入与单输入系统的能控性判据形式上完全相多输入与单输入系统的能控性判据形式上完全相同。同。但多输入系统有以下特点：但多输入系统有以下特点：(1)多输入系统的能控性矩阵是一个多输入系统的
8、能控性矩阵是一个nnp矩阵。根矩阵。根据判据，只要求它的秩等于据判据，只要求它的秩等于n，所以在计算时不一，所以在计算时不一定需要将能控性矩阵算完，算到哪一步发现充要定需要将能控性矩阵算完，算到哪一步发现充要条件已满足就可以停下来，不必再计算下去。条件已满足就可以停下来，不必再计算下去。(2)为了把系统的某一初始状态转移到零状态，存为了把系统的某一初始状态转移到零状态，存在着许许多多的方式，因此我们可以在其中选择在着许许多多的方式，因此我们可以在其中选择最优的控制方式。例如选择控制向量的范数最小。最优的控制方式。例如选择控制向量的范数最小。例例4.1.24.1.2 只要计算出矩阵只要计算出矩阵
9、 B B,ABAB 的秩，即可的秩，即可 4.2 4.2 定常连续系统的能控性定常连续系统的能控性4.2.1 4.2.1 线性定常连续系统的能控性定义线性定常线性定常连续系统的能控性定义线性定常连续系统的状态方程连续系统的状态方程(4.2.1)定定义义4.2.1 4.2.1 对对于于系系统统(4.2.1)(4.2.1)，若若存存在在一一分分段段连连续续控控制制向向量量u u(t t)，能能在在有有限限时时间间区区间间 t t0 0,t t1 1 内内将将系系统统从从初初始始状状态态x x(t t0 0)转转移移到到任任意意终终端端状状态态x x(t t1 1)，那那么么就就称称此此状状态态是是
10、能能控控的的。若若系系统统任任意意t t0 0时时刻刻的的所所有有状状态态x x(t t0 0)都都是是能能控控的的，就就称称此此系系统统是是状状态完全能控的，简称能控。态完全能控的，简称能控。定定理理4.2.1 4.2.1 系系统统(4.2.1)(4.2.1)状状态态完完全全能能控控的的充充分分必必要条件是能控性矩阵要条件是能控性矩阵的秩为的秩为n n，即，即4.2.2 4.2.2 线性定常连续系统的能控性判据线性定常连续系统的能控性判据 能控性判据的第一种形式能控性判据的第一种形式此时，能控性矩阵为此时，能控性矩阵为nn维，即要求阵是非奇维，即要求阵是非奇异的。异的。注注 如果系统是单输入
11、系统，即控制变量维数如果系统是单输入系统，即控制变量维数,则则 系统的状态完全能控性的判据为系统的状态完全能控性的判据为 易知易知例例4.2.1 4.2.1 考察如下系统的能控性考察如下系统的能控性其秩为其秩为3，该系统能控，该系统能控 从而从而其秩为其秩为2 2，所以系统不能控，所以系统不能控 例例4.2.2 4.2.2 判断线性定常系统判断线性定常系统注注 对照一下定常连续系统与定常离散系统能控对照一下定常连续系统与定常离散系统能控性判别条件，发现两者是一致的，这有其内在联性判别条件，发现两者是一致的，这有其内在联系。如果离散系统的系矩阵和控制矩阵与连续系系。如果离散系统的系矩阵和控制矩阵
12、与连续系统的系统矩阵和控制矩阵相同，则它们的能控性统的系统矩阵和控制矩阵相同，则它们的能控性相同。相同。对于一个线性系统来说，经过线性非奇异状对于一个线性系统来说，经过线性非奇异状态变换后，其状态能控性不变。态变换后，其状态能控性不变。定理定理4.2.2 如果线性定常系统如果线性定常系统 的系统矩阵的系统矩阵A具有互不相同的特征值，则系统具有互不相同的特征值，则系统能控的充要条件是，系统经线性非奇异变换后能控的充要条件是，系统经线性非奇异变换后 A阵变换成对角标准形，它的状态方程阵变换成对角标准形，它的状态方程其中，其中，不包含元素全为不包含元素全为0 0的行。的行。能控性判据的第二种形式能控
13、性判据的第二种形式状态变量状态变量 x x3 3 不受控制不受控制 例例4.2.3 4.2.3 此系统是不能控的此系统是不能控的此此方方法法的的优优点点在在于于很很容容易易判判断断出出能能控控性性，并并且且将将不不能能控的部分确定下来，但它的缺点是要进行等价变换。控的部分确定下来，但它的缺点是要进行等价变换。例例4.2.4 4.2.4 下列系统是能控的下列系统是能控的定理定理4.2.3 4.2.3 若线性定常系统若线性定常系统的系统矩阵具有重特征值，且对应于每一个重特征值只的系统矩阵具有重特征值，且对应于每一个重特征值只有一个约当块，则系统状态完全能控的充要条件是，经有一个约当块，则系统状态完
14、全能控的充要条件是，经线性非奇异变换后，系统化为约当标准形线性非奇异变换后，系统化为约当标准形其中，其中，矩阵中与每个约当块最后一行相对应的矩阵中与每个约当块最后一行相对应的那些行，其各行的元素不全为零。那些行，其各行的元素不全为零。4.2.3 4.2.3 线性定常连续系统的输出能控性线性定常连续系统的输出能控性设系统的状态空间表达式为设系统的状态空间表达式为定义定义4.2.2 如果在一个有限的区间如果在一个有限的区间 t t0 0,t t1 1 内，内，存在适当的控制向量存在适当的控制向量u u(t t),),使系统能从任意的初使系统能从任意的初始输出始输出y y(t t0 0)转移到任意指
15、定最终输出转移到任意指定最终输出y y(t t1 1)，则，则称系统是输出完全能控的。称系统是输出完全能控的。系统输出完全能控的充分必要条件是矩阵系统输出完全能控的充分必要条件是矩阵的秩为的秩为q q，q q为输出变量的个数为输出变量的个数例例4.2.9 4.2.9 判断系统判断系统是否具有状态能控性和输出能控性。是否具有状态能控性和输出能控性。秩为秩为1 1，等于输出变，等于输出变量的个数，因此系统量的个数，因此系统是输出能控的。是输出能控的。秩为秩为1 1，所以系统，所以系统是状态不能控的。是状态不能控的。4.2.4 4.2.4 利用利用MatlabMatlab判定系统能控性判定系统能控性
16、可可以以利利用用MatlabMatlab来来进进行行系系统统能能控控性性的的判判断断。MatlabMatlab提提供供了了各各种种矩矩阵阵运运算算和和矩矩阵阵各各种种指指标标（如如矩矩阵阵的的秩秩等等）的的求求解解，而而能能控控性性的的判判断断实实际际上上就就是是一一些些矩矩阵阵的的运运算算。MatlabMatlab中中的的求求矩矩阵阵的的秩秩是是通通过过一一个个函函数数得得到到的的，这这个个函数是函数是rank(M)rank(M)。A=0,1,0,0;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,5,0;B=0;1;0;-2;C=1,0,0,0;D=0;Uc=B,A*B,A2*B,A3*B;ra
17、nk(Uc)ans=4 A=0,1,0,0;3,0,0,2;0,0,0,1;0,-2,0,0;B=0;1;0;0;C=1,0,0,0;D=0;Uc=B,A*B,A2*B,A3*B;rank(Uc)ans=34.3.1 4.3.1 定常离散系统的能观性定常离散系统的能观性定定义义4.3.14.3.1 对对于于上上述述系系统统，在在已已知知输输入入u u(t t)的的情情况况下下，若若能能依依据据第第0 0步步及及以以后后n n-1-1步步的的输输出出观观测测值值y y(0 0),),y y(1),(1),y y(n n-1)-1)，唯唯一一地地确确定定出出第第0 0步步上上的的状状态态x x(0
18、 0)，则则称称状状态态x(0)x(0)是是能能观观测测的的。如如果果系系统统的的任任何何状状态态都都是是能能观观测测的的，则则称称系系统统是状态完全能观测的，简称能观测。是状态完全能观测的，简称能观测。考虑离散系统考虑离散系统 4.3 4.3 线性时变系统的能控性及能观性线性时变系统的能控性及能观性定定理理4.3.1 4.3.1 对对于于线线性性定定常常离离散散系系统统，状状态态完完全全能观测的充分必要条件是矩阵能观测的充分必要条件是矩阵 的秩为的秩为n n。矩阵称为能观测性矩阵，记为。矩阵称为能观测性矩阵，记为O O。例例4.3.3 4.3.3 判断下列系统的能观测性判断下列系统的能观测性
19、于是系统的能观测性矩阵为于是系统的能观测性矩阵为秩为秩为3 3，所以系统能观。，所以系统能观。例例4.3.4 4.3.4 系统状态方程仍如上例，而观测方程为系统状态方程仍如上例，而观测方程为秩小于秩小于3 3，所以系统不能观。，所以系统不能观。4.3.2 4.3.2 定常连续系统的能观性定常连续系统的能观性定定义义4.3.2 对对于于线线性性定定常常系系统统，在在任任意意给给定定的的输输入入u(t)下下，能能够够根根据据输输出出量量y(t)在在有有限限时时间间区区间间t0,t1内内的的测测量量值值，唯唯一一地地确确定定系系统统在在t0时时刻刻的的初初始始状状态态x(t0)，就就称状态称状态x(
20、t0)是能观测的。是能观测的。若若在在任任意意初初始始状状态态系系统统都都能能观观测测，则则称称系系统统是是状状态完全能观测的，简称能观测的。态完全能观测的，简称能观测的。定理定理4.3.2 4.3.2 线性定常连续系统状态完全能观测线性定常连续系统状态完全能观测的充分必要条件是能观性矩阵的充分必要条件是能观性矩阵的秩为的秩为n n。能观性判据的第一种形式能观性判据的第一种形式例例4.3.5 4.3.5 判断下列系统的能观性。判断下列系统的能观性。秩等于秩等于2 2，所以系统是能观测的。，所以系统是能观测的。能观性判据的第二种形式能观性判据的第二种形式定定理理4.3.3 4.3.3 若若线线性
21、性定定常常系系统统的的状状态态矩矩阵阵有有互互不不相相同同的的特特征征值值，则则系系统统状状态态能能观观测测的的充充要要条条件件是是经经线线性性等等价价变变换把矩阵化成对角标准形后，系统的状态空间表达式换把矩阵化成对角标准形后，系统的状态空间表达式 其中，矩阵其中，矩阵不包含元素全为零的列。不包含元素全为零的列。定定理理4.3.4 4.3.4 设设线线性性定定常常系系统统的的状状态态矩矩阵阵有有不不同同的的重重特特征征值值，且且对对应应于于每每一一重重特特征征值值只只有有一一个个约约当当块块。则则系系统统状状态态完完全全能能观观测测的的充充要要条条件件是是，经经线线性性等等价价变变换换将矩阵化
22、成约当标准形后，系统的状态空间表达式将矩阵化成约当标准形后，系统的状态空间表达式 中，与每个约当块第一列相对应的中，与每个约当块第一列相对应的 矩阵的所有矩阵的所有 各列，其元素不全为零。各列，其元素不全为零。4.3.3 4.3.3 利用利用MatlabMatlab判定系统能观性判定系统能观性 A=0,1,0,0;3,0,0,2;0,0,0,1;0,-2,0,0;B=0;1;0;0;C=1,0,0,0;D=0;Uo=C,C*A,C*A2,C*A3;rank(Uo)ans=34.4 4.4 线性时变系统的能控性及能观性线性时变系统的能控性及能观性4.4.1 4.4.1 线性时变系统的能控性判据线
23、性时变系统的能控性判据 定理定理4.4.1 4.4.1 线性时变系统线性时变系统在在定定义义时时间间区区间间 t t0 0,t t1 1 内内，状状态态完完全全能能控控的的充充要条件是要条件是GramGram矩阵矩阵非奇异非奇异。式中。式中 为时变系统状态转移矩阵。为时变系统状态转移矩阵。推推论论：假假设设矩矩阵阵A A和和B B是是n n-1-1次次连连续续可可微微的的，在在时间区间时间区间 t t0 0,t t1 1 上，若有上，若有则系统是状态完全能控的，其中分块矩阵则系统是状态完全能控的，其中分块矩阵,例例4.4.14.4.1 秩为秩为3，所以系统是完全能控，所以系统是完全能控4.4.
24、2 4.4.2 线性时变系统能观性的判据线性时变系统能观性的判据定理定理4.4.2 4.4.2 线性时变系统线性时变系统定义在时间区间定义在时间区间t0,t1内，状态完全能观测的充内，状态完全能观测的充分必要条件是分必要条件是Gram矩阵矩阵为非奇异。为非奇异。推论：如果矩阵推论：如果矩阵A和和C满足满足n-1次连续可微的条件次连续可微的条件在时间区间在时间区间t0,t1内，又有内，又有则系统是状态完全能观测的。其中分块矩阵则系统是状态完全能观测的。其中分块矩阵，例例4.4.2 4.4.2 其秩等于其秩等于3，所以系统是状态完全能观的。，所以系统是状态完全能观的。4.5 4.5 能控性与能观性
25、的对偶关系能控性与能观性的对偶关系4.5 4.5 能控性与能观性的对偶关系能控性与能观性的对偶关系对偶系统对偶系统 对偶系统结构图对偶系统结构图 系统系统 状态完全能控的充要条件和系统状态完全能控的充要条件和系统 状态完全能观的充要条件相同；状态完全能观的充要条件相同；系统系统 状态完全能观的充要条件与系统状态完全能观的充要条件与系统 完全能观的充要条件相同。完全能观的充要条件相同。（对偶原理）（对偶原理）两个系统的传递函数矩阵的关系两个系统的传递函数矩阵的关系 把系统能控或能观测部分同不能控或不能把系统能控或能观测部分同不能控或不能观测的部分区分开来，将有利于更深入了解观测的部分区分开来，将
26、有利于更深入了解系统的内部结构。系统的内部结构。标准分解标准分解 采用系统坐标变换的方法对状态空间进行采用系统坐标变换的方法对状态空间进行分解，将其划分成能控（能观）部分与不能控分解，将其划分成能控（能观）部分与不能控（不能观）部分。（不能观）部分。4.6 4.6 线性定常系统的结构分解线性定常系统的结构分解4.6 4.6 线性定常系统的结构分解线性定常系统的结构分解4.6.1 4.6.1 系统能控性分解系统能控性分解设系统的状态空间表达式为设系统的状态空间表达式为假假设设系系统统的的能能控控性性矩矩阵阵的的秩秩n1n（n为为状状态态向向量量维数），即系统不完全能控。维数），即系统不完全能控。
27、关于系统的能控性分解，有如下结论。关于系统的能控性分解，有如下结论。定理定理4.6.1 存在非奇异矩阵存在非奇异矩阵Tc，对系统进行状态，对系统进行状态变换变换 ，可使系统的状态空间表达式变换，可使系统的状态空间表达式变换成成 其中其中在变换后的系统中，将前在变换后的系统中，将前n1维部分提出来，得到维部分提出来，得到下式下式这部分构成这部分构成n1维能控子系统。维能控子系统。而后而后n-n1维子系统维子系统为不能控子系统为不能控子系统。关键关键 变换矩阵变换矩阵Tc的构造的构造求法如下：求法如下：在能控性矩阵在能控性矩阵 中选择中选择n n1 1个线性无关的列向量；个线性无关的列向量；将所得
28、列向量作为矩阵将所得列向量作为矩阵T Tc c的前的前n n1 1个列，其余列个列，其余列 可以在保证可以在保证T Tc c为非奇异矩阵的条件下任意选择为非奇异矩阵的条件下任意选择例例4.6.14.6.1 对下列系统进行能控性分解。对下列系统进行能控性分解。能控性矩阵的秩能控性矩阵的秩 可知系统不完全能控可知系统不完全能控 在能控性矩阵中任选两列线性无关的列向量。在能控性矩阵中任选两列线性无关的列向量。为计算简单，选取其中的第为计算简单，选取其中的第1列和第列和第2列。易知它们列。易知它们是线性无关的。是线性无关的。再选任一列向量，与前两个列向量线性无关。再选任一列向量，与前两个列向量线性无关
29、。变换矩阵变换矩阵 状态变换后的系统状态空间表达式状态变换后的系统状态空间表达式 二维能控子系统二维能控子系统 系统能控性分解结构图系统能控性分解结构图 定理定理4.6.24.6.2 能控子系统的传递函数矩阵与原系能控子系统的传递函数矩阵与原系统的传递函数矩阵相同，即统的传递函数矩阵相同，即.因为因为4.6.24.6.2 系统能观性分解系统能观性分解设系统的状态空间表达式为设系统的状态空间表达式为 假假设设系系统统的的能能观观性性矩矩阵阵的的秩秩n2n（n为为状状态态向量维数），即系统不完全能控。向量维数），即系统不完全能控。关于系统的能观性分解，有如下结论。关于系统的能观性分解，有如下结论。
30、定理定理4.6.3 存在非奇异矩阵存在非奇异矩阵To，对系统进行状态，对系统进行状态变换变换 ，可使系统的状态空间表达式变，可使系统的状态空间表达式变换成换成 其中其中 在变换后的系统中，将前在变换后的系统中，将前n2维部分提出来，得到维部分提出来，得到下式下式这部分构成这部分构成n2维能观子系统。维能观子系统。而后而后n-n2维子系统维子系统为不能观子系统。为不能观子系统。方法如下方法如下:从能观性矩阵中选择从能观性矩阵中选择n2个线性无关的行向量。个线性无关的行向量。将所求行向量作为将所求行向量作为 的前的前n2个行，其余的行个行，其余的行 对于能观性分解，变换矩阵的求法有其特殊对于能观性
31、分解，变换矩阵的求法有其特殊性。应由构造其逆做起，即先求。性。应由构造其逆做起，即先求。可以在保证可以在保证 为非奇异矩阵的条件下任意选择。为非奇异矩阵的条件下任意选择。例例4.6.24.6.2 系统同例系统同例4.6.1，进行能观性分解。进行能观性分解。计算能观性矩阵的秩计算能观性矩阵的秩 任选其中两行线性无关的行向量，再选任一个与任选其中两行线性无关的行向量，再选任一个与之线性无关的行向量，得之线性无关的行向量，得 状态变换后的系统状态空间表达式状态变换后的系统状态空间表达式 二维能观子系统二维能观子系统 系统能观性分解结构图系统能观性分解结构图 定理定理4.6.44.6.4 能观子系统与
32、原系统的传递函数矩能观子系统与原系统的传递函数矩阵相同阵相同 4.6.3 4.6.3 系统按能控性与能观性进行标准分解系统按能控性与能观性进行标准分解定理定理4.6.5 4.6.5 设系统状态空间表达式为设系统状态空间表达式为经过线性状态变换经过线性状态变换,可以化为下列形式可以化为下列形式4.74.7 能控性、能观性与传递函数矩阵的关系能控性、能观性与传递函数矩阵的关系单输入单输出系统的状态空间表达式单输入单输出系统的状态空间表达式 4.7.1 4.7.1 单输入单输出系统单输入单输出系统系统的传递函数系统的传递函数 定理定理4.7.1 系统能控能观的充要条件是传递函数系统能控能观的充要条件
33、是传递函数g(s)中没有零极点对消现象。中没有零极点对消现象。一个系统的传递函数所表示的是该系统既能控一个系统的传递函数所表示的是该系统既能控又能观的那一部分子系统。又能观的那一部分子系统。一个系统的传递函数若有零、极点对消现象，一个系统的传递函数若有零、极点对消现象，则视状态变量的选择不同，系统或是不能控的则视状态变量的选择不同，系统或是不能控的或是不能观的。或是不能观的。两个推论两个推论 一个系统的分解与所选择状态变量有关一个系统的分解与所选择状态变量有关 举例举例 微分方程微分方程 传递函数传递函数 选择不同的状态变量会有不同的结果！选择选择系统的状态方程与输出方程系统的状态方程与输出方
34、程 能控性矩阵能控性矩阵 能观性矩阵能观性矩阵 可分解为能控能观和不能控能观两部分子系统可分解为能控能观和不能控能观两部分子系统 引入中间变量引入中间变量z，将传递函数写成，将传递函数写成 选择选择则有则有选择状态变量选择状态变量 系统的状态空间表达式系统的状态空间表达式 能控性矩阵能控性矩阵 能观测性矩阵能观测性矩阵 可分解为能控能观和能控不能观两部分子系统可分解为能控能观和能控不能观两部分子系统4.7.2 4.7.2 多输入多输出系统多输入多输出系统传递函数矩阵传递函数矩阵 定理定理4.7.2 如果在传递矩阵如果在传递矩阵 G(s)中，中，与与Cadj(sI-A)B之间没有非常数公因，则该
35、系之间没有非常数公因，则该系统是能控且能观测的。（仅为充分条件）统是能控且能观测的。（仅为充分条件）例例 4.7.2 4.7.2 能控能观 存在公因式 能能观观标标准准形形是是指指在在一一组组基基底底下下，将将能能观观性性矩矩阵阵中中的的A 和和 C 表现为能观的标准形式表现为能观的标准形式适适当当选选择择状状态态空空间间的的基基底底，对对系系统统进进行行状状态态线线性性变变换，把状态空间表达式的一般形式化为标准形式换，把状态空间表达式的一般形式化为标准形式能能控控标标准准形形是是指指在在一一组组基基底底下下，将将能能控控性性矩矩阵阵中中的的A 和和 B 表现为能控的标准形式表现为能控的标准形
36、式4.84.8 能控标准形和能观标准形能控标准形和能观标准形4.84.8 能控标准形和能观标准形能控标准形和能观标准形4.8.14.8.1 系统的能控标准形系统的能控标准形定定理理4.8.1 4.8.1 如如果果系系统统 是是能能控控的的，那那么么必必存存在在一一非非奇奇异异变变换换 使使其其变变换换成成能能控控标标准准形形 线性变换矩阵线性变换矩阵 例例4.8.14.8.1 线性定常系统线性定常系统能控性矩阵能控性矩阵 逆矩阵逆矩阵 4.8.2 4.8.2 系统的能观标准形系统的能观标准形，定定理理 4.8.2 如如果果系系统统是是能能观观测测的的，那那么么必必存存在在一非奇异变换将系统变换
37、为能观标准形一非奇异变换将系统变换为能观标准形例例4.8.24.8.2 能观性矩阵能观性矩阵 4.94.9 系统的实现系统的实现4.9.1 4.9.1 单输入单输出系统的实现问题单输入单输出系统的实现问题由传递函数矩阵或相应的脉冲响应来建立系统由传递函数矩阵或相应的脉冲响应来建立系统的状态空间表达式的工作，称为实现问题。的状态空间表达式的工作，称为实现问题。换言之，若状态空间描述是传递函数矩阵的实换言之，若状态空间描述是传递函数矩阵的实现，则必有现，则必有在所有可能的实现中，维数最小的实现称为最在所有可能的实现中，维数最小的实现称为最小实现。小实现。单输入单输出系统系统传递函数的一般形式为单输
38、入单输出系统系统传递函数的一般形式为 当其具有严格真分式有理函数时，其实现形式当其具有严格真分式有理函数时，其实现形式为为 的能控标准形实现的能控标准形实现 的能观标准形实现的能观标准形实现 对于多输入多输出系统而言，讨论其实现对于多输入多输出系统而言，讨论其实现问题要满足如下条件：问题要满足如下条件：u输出向量为输出向量为 维维u传递函数矩阵为传递函数矩阵为 阵，它的每一个阵，它的每一个元素都是一个有理分式元素都是一个有理分式u严格真分式传递函数矩阵，即严格真分式传递函数矩阵，即u实现形式为实现形式为 4.9.2 4.9.2 多输入多输出系统的实现问题多输入多输出系统的实现问题当当 阵的阵的
39、 时，可采用能控性实现。时，可采用能控性实现。式中，式中，为为 各元素分母的首一最各元素分母的首一最小公分母的各项系数小公分母的各项系数 为多项式矩阵为多项式矩阵 的系数矩阵，而的系数矩阵，而采用能观性实现，可使实现的维数较低采用能观性实现，可使实现的维数较低 。当当 阵的阵的 时，可采用能观性实现。时，可采用能观性实现。对于给定的传递函数矩阵的最小实现，并不是对于给定的传递函数矩阵的最小实现，并不是唯一的，但它们的维数应该是相同的。唯一的，但它们的维数应该是相同的。定理定理 4.9.1 4.9.1 传递函数矩阵传递函数矩阵 的最小实现的最小实现 和和 的的充要条件是系统状态完全能控且完全能观
40、测。充要条件是系统状态完全能控且完全能观测。4.9.3 4.9.3 传递函数矩阵的最小实现传递函数矩阵的最小实现根根据据上上述述判判断断最最小小实实现现的的准准则则，构构造造最最小小实实现现的途径为：的途径为：(1)(1)求传递函数矩阵的任何一种能控形或能观形求传递函数矩阵的任何一种能控形或能观形 实现，再检查实现的能观性或能控性，若已实现，再检查实现的能观性或能控性，若已是能控能观，则必是最小实现。是能控能观，则必是最小实现。否则的话，采用结构分解定理，对系统进行否则的话，采用结构分解定理，对系统进行 能观性或能控性的分解，找出既能控又能观能观性或能控性的分解，找出既能控又能观的子空间，从而
41、得到最小实现。的子空间，从而得到最小实现。(2)(2)多输入多输出系统的最小实现算法多输入多输出系统的最小实现算法(1)(1)将将 展开成展开成 找出找出 ，其中，其中 。(2)(2)如果如果 中各元素的最小公分母的次数为中各元素的最小公分母的次数为 构造构造 矩阵如下：矩阵如下：(3)(3)如果矩阵如果矩阵 的秩为的秩为 ，则构造，则构造 矩阵矩阵 和和 矩阵矩阵 ，使得如下矩阵等式，使得如下矩阵等式 成立成立式中式中 和和 分别是分别是 和和 的单位矩阵，即它们的主对角线元素为的单位矩阵，即它们的主对角线元素为 ，其，其余为零。余为零。是用行和列的基本运算（可由计算机是用行和列的基本运算（可由计算机辅助设计程序来求）顺序而得到的。于是辅助设计程序来求）顺序而得到的。于是,例例4.9.1 4.9.1 已知已知求它的最小实现。求它的最小实现。解：解：的最小公分母是的最小公分母是且且系统的输入维数系统的输入维数 ,输出维数输出维数 ,和和 根据算法则可求得：根据算法则可求得：由此由此 矩阵矩阵 的秩的秩根据算法有根据算法有此系统为最小实现。此系统为最小实现。