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1、 线性系统的能控性和能观线性系统的能控性和能观性性目录目录(1/1)(1/1)目目 录录q概述概述q4.1 线性连续系统的能控性线性连续系统的能控性q4.2 线性连续系统的能观性线性连续系统的能观性q4.3 线性定常离散系统的能控性和能观性线性定常离散系统的能控性和能观性q4.4 对偶性原理对偶性原理q4.5 线性系统的结构性分解和零极点相消线性系统的结构性分解和零极点相消q4.6 能控规范形和能观规范形能控规范形和能观规范形q4.7 实现问题实现问题q4.8 Matlab问题问题q本章小结本章小结线性连续系统的能观性线性连续系统的能观性(1/2)(1/2)4.2 线性连续系统的能观性线性连续
2、系统的能观性q本节主要讨论线性定常连续系统的状态能观性问题。q关键问题:1.基本概念:状态能观性2.基本方法:状态能观性的判别方法3.状态能观性的物理意义和在状态空间中的几何意义重点喔!要理解喔!线性连续系统的能观性线性连续系统的能观性(2/2)(2/2)q本节首先从物理直观性来讨论状态能观性的基本含义,然后再引出状态能观性的定义。下面将看到,这种从直观到抽象的讨论,对于理解能观性严格定义的确切含义是有益的。q本节讲授顺序为:能观性的直观讨论能观性的直观讨论状态能观性的定义状态能观性的定义线性定常连续系统的状态能观性判据线性定常连续系统的状态能观性判据能观性的直观讨论能观性的直观讨论(1(1/
3、14)/14)4.2.1 能观性的直观讨论能观性的直观讨论q状态能观性反映系统外部可直接或间接测量的输出y(t)和输入u(t)来确定或识别系统状态的能力。如果系统的任何内部运动状态变化都可由系统的外部输出和输入唯一地确定,那么称系统是能观的,或者更确切地说,是状态能观的。否则,就称系统为状态不完全能观的。q下面通过几个例子来说明能观性的意义。能观性的直观讨论能观性的直观讨论(2(2/14)/14)q例 考虑右图所示的电网络系统由输出变量的值确定状态变量值的能力问题。当电阻R1=R2,电感L1=L2,输入电压u(t)=0,以及两个状态变量的初始状态x1(t0)=x2(t0)且为任意值时,必定有i
4、3(t)=0,即输出变量y(t)恒为零。因此,由恒为零的输出y(t)显然不能确定通过两个电感的电流值i1(t)和i2(t),即由输出y(t)不能确定状态变量x1(t)和x2(t)的值。q该电网络模型中,u(t)为输入电压,y(t)=i3(t)为输出变量,通过两电感的电流i1(t)和i2(t)分别为状态变量x1(t)和x2(t)。图图4-4电网络电网络能观性的直观讨论能观性的直观讨论(3(3/14)/14)但当电阻R1R2或电感L1L2时,则上述由输出y(t)不能确定状态变量x1(t)和x2(t)的值的特性可能不成立。这种能由输出变量值确定状态变 量值的特性称为状态能观,若由输出变量值不能唯一确
5、定出状态变量值的特性则称为状态不能观。能观性的直观讨论能观性的直观讨论(4/14)4/14)从状态空间模型上看，当选择两电感的电流i1(t)和i2(t)分别为状态变量x1(t)和x2(t)时，状态空间模型为能观性的直观讨论能观性的直观讨论(5/14)5/14)当电路中电阻值R1=R2=R,电感值L1=L2=L时,若输入电压u(t)突然短路,即u(t)=0,则状态方程为显然,当状态变量的初始状态为x1(t0)=x2(t0)且为任意值 时,上 述 状 态 方 程 的 解 必 有 x1(t)=x2(t),故 有y(t)=i3(t)=0,即输出变量y(t)恒为零。因此,由观测到的恒为零的输出变量y(t
6、)不能确定状态变量x1(t)和x2(t)的值,即由输出i3(t)不能确定通过两个电感的电流值i1(t)和i2(t)。能观性的直观讨论能观性的直观讨论(6/14)6/14)但当电路中电阻值R1R2或电感值L1L2时,则上述由输出y(t)不能确定状态变量x1(t)和x2(t)的值的特性可能不成立。这种由可测量的输出变量的值能惟一确定状态变量的值的特性称为状态能观,若不能惟一确定则称为状态不能观。能观性的直观讨论能观性的直观讨论(7/14)7/14)q补充例1 右图所示的电网络中,电源电压u(t)为输入,电压y(t)为输出,并分别取电容电压uC(t)和电感电流iL(t)为状态变量x1(t)和x2(t
7、)。因此,由输出变量y(t)显然不能确定电压值uC(t),即由输出y(t)不能确定状态变量x1(t)的值。故,该电网络在开关K断开后,是状态不能观的。当开关K在t0时刻断开后,显然电容C和电阻R1构成一阶衰减电路,电容电压uC(t)的变化只与初始状态uC(t0)有关,与衰减电路外其他信号无关。能观性的直观讨论能观性的直观讨论(8/14)8/14)q例例 考虑间歇化学反应器的由输出变量的值确定状态变量的值的能力问题。设间歇化学反应器内进行如下常见的化学反应式中，k1和k2为反应速率常数。上述化学反应式可代表一大类化工操作,通常希望中间产物B的产量尽可能大,副产品C尽可能小,因而要求防止后面的反应
8、继续进行下去。能观性的直观讨论能观性的直观讨论(9/14)9/14)q设上述化学反应式中的第1步反应是二级反应,第2步反应是一级反应。这样,可得如下间歇化学反应器内的物料平衡方程(状态方程)和输出方程式中，C1(t)、C2(t)和C3(t)分别是A、B和C的浓度。能观性的直观讨论能观性的直观讨论(10/14)10/14)q由上述物料平衡的动态方程可知,副产品C的浓度C3(t)的值不仅决定于产品B的浓度C2(t),而且还决定于C3(t)在初始时刻t0的值C3(t0)。因此,若在生产过程中,能直接检测到的输出量为产品B的浓度C2(t),则副产品C的浓度C3(t)的值是不可知的,即为不能观的。若选择
9、C1(t),C2(t)和C3(t)为状态变量,则上述化学反应过程为状态不完全能观的。q上面用实际系统初步说明了能控性的基本含义,能控性在系统状态空间模型上的反映可由如下两个例子说明。能观性的直观讨论能观性的直观讨论(11/14)11/14)q补充例 给定系统的状态空间模型与结构图分别为q本例中,输出变量y(t)即为状态变量x1(t)。因此,由y(t)的测量值可直接得到x1(t)的值,即状态变量x1(t)可由输出唯一确定。1/s-2-21/s能观性的直观讨论能观性的直观讨论(12/14)12/14)而由状态变量x2(t)所满足的状态方程及其运动状态的解可知,x2(t)的运动轨迹由x2(t)的初始
10、状态x2(t0),x1(t)和输入u(t)三者共同决定。因此,由测量到的输出y(t)和输入u(t)并不能唯一确定出状态变量x2(t)的值,即状态x2(t)是状态不能观的。因此,整个系统的状态是不完全能观的。能观性的直观讨论能观性的直观讨论(13/14)13/14)q补充例 给定系统的状态空间模型为q由状态方程可知:状态变量x1(t)和x2(t)可分别由初始状态x1(t0)和x2(t0)唯一决定,并可表示为xi(t)=e-txi(0)i=1,2能观性的直观讨论能观性的直观讨论(14/14)14/14)因此,输出变量y(t)可表示为y(t)=e-tx1(0)+x2(0)由y(t)的解可知,由y(t
11、)并不能唯一地分别确定初始状态x1(t0)和x2(t0),进而唯一地确定状态变量x1(t)和x2(t),即x1(t)和x2(t)是状态不能观的,整个系统的状态是不完全能观的。q前面4个例子,可通过直观分析来讨论系统的状态能观性,但对维数更高、更复杂的系统,直观判断能观性是困难的。下面将通过给出状态能观性的严格定义,来导出判定状态能观性的充要条件。状态能观性的定义状态能观性的定义(1/6)(1/6)4.2.2 状态能观性的定义状态能观性的定义q对线性系统而言,状态能观性只与系统的输出y(t),以及系统矩阵A和输出矩阵C有关,与系统的输入u(t)和输入矩阵B无关,即讨论状态能观性时,只需考虑系统的
12、自由运动即可。q上述结论可证明如下:对线性定常系统(A,B,C),其状态和输出的解分别为简单否?状态能观性的定义状态能观性的定义(2/6)(2/6)因为矩阵A,B,C和输入u(t)均已知,故上式的右边第二项可以计算出来,也是已知项。故可以定义如下辅助输出:研究状态能观性问题,即为上式对任意的初始状态x(t0)能否由辅助输出y-(t)来唯一确定的问题。所以线性系统状态能观性仅与输出y(t),以及系统矩阵A和输出矩阵C有关,与输入矩阵B和输入u(t)无关。也就是说,分析线性系统的能观性时,只需考虑齐次状态方程和输出方程即可。因此,我们有如下线性系统状态能观性的定义。q对线性连续系统,我们有如下状态
13、能观性定义。状态能观性的定义状态能观性的定义(3/6)(3/6)能观性定义能观性定义q定义定义4-3 若线性连续系统对初始时刻t0(t0T,T为时间定义域)和初始状态x(t0),存在另一有限时刻t1(t1t0,t1T),根据在有限时间区间t0,t1内量测到的输出y(t),能够唯一地确定系统在t0时刻的初始状态x(t0),则称在t0时刻的状态x(t0)能观;若对t0时刻的状态空间中的所有状态都能观,则称系统在t0时刻状态完全能观;状态能观性的定义状态能观性的定义(4/6)(4/6)能观性定义能观性定义若系统在所有时刻状态完全能观,则称系统状态完全能观,简称为系统能观。即,若逻辑关系式为真,则称系
14、统状态完全能观。若存在某个状态x(t0)不满足上述条件,称此系统是状态不完全能观的,简称系统为状态不能观。状态能观性的定义状态能观性的定义(5/6)(5/6)q对上述状态能观性的定义有如下注记。1.对于线性定常系统,由于系统矩阵A(t)和输出矩阵C(t)都为常数矩阵,与时间无关,v因此不必在定义中强调“在所有时刻状态完全能观”,v而为“某一时刻状态完全能观,则系统状态完全能观”。即,若逻辑关系式为真,则称线性定常连续系统(A,C)状态完全能观。状态能观性的定义状态能观性的定义(6/6)(6/6)2.上述定义中的输出观测时间为t0,t1,并要求t0t0。这是因为,输出变量y(t)的维数m一般总是
15、小于状态变量x(t)的维数n。否则,若m=n且输出矩阵C(t)可逆,则x(t)=C-1(t)y(t)即状态变量x(t)可直接由输出y(t)确定。由于mt0),使得如下能观格拉姆矩阵为非奇异的比较一下能控格比较一下能控格拉姆矩阵判据拉姆矩阵判据线性时变连续系统的状态能观性(3/11)q证明证明 1)证明条件的充分性，即证明若存在t1(t1t0),使得能观格拉姆矩阵是非奇异的,即存在,则系统是状态完全能观的。设x0为初始时刻t0的任意给定的非零初始状态,则状态空间模型(A(t),C(t)的解为将上述输出的解表达式两边左乘(t0,t)C(t),并在t0,t1区间内积分,得线性时变连续系统的状态能观性
16、(4/11)若 存在,即有因为系统输出y(t)可测且A(t)和C(t)已知,故上式右边是已知的。因此,上式表明,如果存在t1(t1t0),使得能观格拉姆矩阵是非奇异的,那么通过在时间区间t0,t1内测量到的y(t)可惟一地计算出系统任意的初始状态x0。于是状态能观性得以证明。线性时变连续系统的状态能观性(5/11)q2)证明条件的必要性证明条件的必要性，即证明若系统是状态完全能观的,则一定存在t1(t1t0),使得能观格拉姆矩阵Wo(t0,t1)是非奇异的。采用反证法证明。假设不存在t1(t1t0),使得能观格拉姆矩阵Wo(t0,t1)是非奇异的,但系统是状态完全能观的。对任意的t1(t1t0
17、),能观格拉姆矩阵Wo(t0,t1)是奇异的,则必定存在某个非零的初始状态向量x0Rn,使得即线性时变连续系统的状态能观性(6/11)考虑到输出的解为即因为y(t)是t的有限分段时间连续函数,故上式成立的条件为线性时变连续系统的状态能观性(7/11)上式表明x0为不能观状态,即系统为状态不完全能观。这和前面的假设条件相矛盾,故假设不成立。因此,若系统是状态完全能观的,则一定存在t1(t1t0),使得能观格拉姆矩阵Wo(t0,t1)是非奇异的。于是必要性得以证明。线性时变连续系统的状态能观性(8/11)q在应用由定理4-10给出的线性时变连续系统的状态完全能观判据时,需先求出时变的系统矩阵A(t
18、)的状态转移矩阵(t,t0),再求系统的能观格拉姆矩阵Wo(t1,t0),计算困难且计算量较大。下面给出一个较为实用的时变系统状态能观性判据,该判据只需利用A(t)和C(t)的信息即可。线性时变连续系统的状态能观性(9/11)q定定理理4-11 若对初始时刻t0,存在时间t1(t1t0),使得线性时变连续系统的系统矩阵A(t)和输出矩阵C(t)中的各元素在时间区间t0,t1内对时间t分别是(n-2)和(n-1)阶连续可导,定义再定义如下时变系统的能观性矩阵若能观性矩阵Qo满足则称时变系统在初始时刻t0上状态完全能观。线性时变连续系统的状态能观性(10/11)例4-10q定理4-11的证明可由参考文献6中找到,这里不再给出。值得指出的是,定理4-11给出的仅是一个充分条件，即不满足这个定理的并不一定是不能观的。q例例4-10 试判断如下时变系统在初始时刻t0=1的状态能观性。q解解 由于A(t)与C(t)高阶连续可导,因此采用秩判据。线性时变连续系统的状态能观性(11/11)由定理4-11,有容易判别t1时,rank Qo(t)3=n,所以系统在初始时刻t0=1上是状态完全能观的。