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1、会计学1线性连续系统的能控性线性连续系统的能控性能观性反映由能直接测量的输入输出的量测值来确定反映系统内部动态特性的状态的可能性。能观性反映由能直接测量的输入输出的量测值来确定反映系统内部动态特性的状态的可能性。q为什么经典控制理论没有涉及到这两个结构性问题?第1页/共57页vv这是因为经典控制理论所讨论的是这是因为经典控制理论所讨论的是SISOSISO系统输入输出的分析和综合问题系统输入输出的分析和综合问题,它的输入输出间的动态关系可以唯一地由传递函数所确定。它的输入输出间的动态关系可以唯一地由传递函数所确定。因此因此,给定输入给定输入,则一定会存在唯一的输出与之对应。则一定会存在唯一的输出
2、与之对应。反之反之,对期望输出信号对期望输出信号,总可找到相应的输入信号总可找到相应的输入信号(即控制量即控制量)使系统输出按要求进行控制使系统输出按要求进行控制,不存在能否控制的问题。不存在能否控制的问题。此外此外,输出一般是可直接测量输出一般是可直接测量,不然不然,则应能间接测量。则应能间接测量。否则否则,就无从对进行反馈控制和考核系统所达到的性能指标。就无从对进行反馈控制和考核系统所达到的性能指标。因此因此,在这里不存在输出能否测量在这里不存在输出能否测量(观测观测)的问题。的问题。所以所以,无论是从理论还是实践无论是从理论还是实践,经典控制理论和技术一般不涉及到能否控制和能否观测的问题
3、。经典控制理论和技术一般不涉及到能否控制和能否观测的问题。第2页/共57页vv现代控制理论中着眼于对表征现代控制理论中着眼于对表征MIMOMIMO系统内部特性和动态变化的状态进行分析、优化和控制。系统内部特性和动态变化的状态进行分析、优化和控制。状态变量向量的维数一般比输入向量的维数高状态变量向量的维数一般比输入向量的维数高,这里存在多维状态能否由少维输入控制的问题。这里存在多维状态能否由少维输入控制的问题。此外此外,状态变量是表征系统动态变化的一组内部变量状态变量是表征系统动态变化的一组内部变量,有时并不能直接测量或间接测量有时并不能直接测量或间接测量,故存在能否利用可测量或故存在能否利用可
4、测量或观测的输出输出的信息来构造系统状态的问题。观测的输出输出的信息来构造系统状态的问题。第3页/共57页vv能控性的直观讨论能控性的直观讨论vv状态能控性反映输入状态能控性反映输入u u(t t)对状态对状态x x(t t)的控制能力。的控制能力。如果状态变量如果状态变量x x(t t)由任意初始时刻的任意初始状态引起的运动都能由输入由任意初始时刻的任意初始状态引起的运动都能由输入(控制项控制项)来影响来影响,并能在有限时间内控制到空间原点并能在有限时间内控制到空间原点,那么称系统是能控的那么称系统是能控的,或者更确切地说或者更确切地说,是状态能控的。是状态能控的。否则否则,就称系统为不完全
5、能控的。就称系统为不完全能控的。vv下面通过实例来说明能控性的意义下面通过实例来说明能控性的意义 。第4页/共57页该电桥系统中,电源电压u(t)为输入变量,并选择两电容器两端的电压为状态变量x1(t)和x2(t)。试分析电源电压u(t)对两个状态变量的控制能力。例例 某电桥系统的模型如图某电桥系统的模型如图4-14-1所示所示 。电桥系统电桥系统 第5页/共57页由电路理论知识可知由电路理论知识可知,若电桥系统是平衡的若电桥系统是平衡的(例例Z Z1 1=Z Z2 2=Z Z3 3=Z Z4 4),),电容电容C C2 2的电压的电压x x2 2(t t)是不能通过输入电压是不能通过输入电压
6、u u(t t)改变的改变的,即状态变量即状态变量x x2 2(t t)是不能控的是不能控的,则则系统是不完全能控的。系统是不完全能控的。若电桥系统是不平衡的,两电容的电压x1(t)和x2(t)可以通过输入电压u(t)控制,则系统是能控的。第6页/共57页由状态空间模型来看由状态空间模型来看,当选择两电容器两端电压为状态变量当选择两电容器两端电压为状态变量x x1 1(t t)和和x x2 2(t t)时时,可得如下状态方程可得如下状态方程:由上述状态方程可知,状态变量x2(t)的值,即电桥中电容C2的电压,是自由衰减的,并不受输入u的控制。v因此,该电压的值不能在有限时间内衰减至零,即该状态
7、变量是不能由输入变量控制到原点。v具有这种特性的系统称为状态不能控的。第7页/共57页例例 某并联双水槽系统如图所示某并联双水槽系统如图所示,其截面积均为其截面积均为AA,它们通过阀门它们通过阀门O O均匀地输入等量均匀地输入等量液体液体,即其流量即其流量Q QO O相同。相同。并联双水槽系统并联双水槽系统 第8页/共57页当阀门当阀门1 1和和2 2的开度不变时的开度不变时,设它设它们在平衡工作点邻域们在平衡工作点邻域阀门阻力相等并可视阀门阻力相等并可视为常数为常数,记为记为R R。图中h1(t)和h2(t)分别为水槽液面高度,Q1(t)和Q2(t)分别为流量。q该双水槽系统的状态能控性可分
8、析如下:对本例的流体力学系统,假设对两个水槽的流入和流出的水流体已处于平衡。下面仅考虑流量QO的变化量QO所引起的水槽水位的变化。第9页/共57页由各水槽中所盛水量的平衡关系和流量与压力由各水槽中所盛水量的平衡关系和流量与压力(水面高度水面高度)的关系的关系,有有其中代表平衡工作点附近的变化量。第10页/共57页选上述方程中变化量h1和h2为状态变量,将状态变量带入方程中并消去中间变量Q1和Q2消去,则有解上述状态方程,可得第11页/共57页由上述解可知由上述解可知,当初始状态当初始状态x x1 1(0)(0)和和x x2 2(0)(0)不等时不等时,则则x x1 1(t t)和和x x2 2
9、(t t)的状态轨迹完全不相同的状态轨迹完全不相同,即在有限时间内两条状态即在有限时间内两条状态轨线不相交。轨线不相交。因此因此,对该系统对该系统,无论如何控制流入的流量无论如何控制流入的流量 Q QO O(t t),),都不能使两水槽的液面高度的变化量都不能使两水槽的液面高度的变化量 h h1 1(t t)和和 h h2 2(t t)在有限时在有限时间内同时为零间内同时为零,即液面高度不完全能进行任意控制。即液面高度不完全能进行任意控制。vv上面用实际系统初步说明了能控性的基本含义上面用实际系统初步说明了能控性的基本含义,能控性在系统状态空间模型上的反映可由如下两个例子说明。能控性在系统状态
10、空间模型上的反映可由如下两个例子说明。第12页/共57页给定系统的状态空间模型与结构图分别为给定系统的状态空间模型与结构图分别为q本例中,状态变量x1的运动只受初始状态x1(0)的影响,与输入无关,即输入u(t)不能控制x1(t)的运动,而且x1(t)不能在有限时间内衰减到零。因此,状态x1(t)不能控,则整个系统是状态不完全能控的。1/s-1-21/s第13页/共57页p由该状态方程可知,状态变量x1(t)和x2(t)都可由输入u单独控制,可以说,x1(t)和x1(t)都是单独能控的。对该状态方程求解后可得x1(t)-x2(t)=e-3tx1(0)-x2(0)即状态x1(t)和x1(t)总是
11、相差一个固定的,不受u(t)控制的函数值。给定系统的状态空间模型为给定系统的状态空间模型为第14页/共57页因此因此,x x1 1(t t)和和x x1 1(t t)不能在有限时间内同不能在有限时间内同时被控制到零或状态空间中的任意时被控制到零或状态空间中的任意状态状态,只能被控制在满足由状态方程只能被控制在满足由状态方程解所规定的状态空间中的曲线上。解所规定的状态空间中的曲线上。所以所以,虽然状态虽然状态x x1 1(t t)和和x x2 2(t t)都是单独能都是单独能控的控的,但整个系统并不能控。但整个系统并不能控。vv前面前面4 4个例子个例子,可通过直观分析来讨论系统的状态能控性可通
12、过直观分析来讨论系统的状态能控性,但对但对维数更高、更复杂的系统维数更高、更复杂的系统,直观判断能控性是困难的。直观判断能控性是困难的。下面将通过给出状态能控性的严格定义下面将通过给出状态能控性的严格定义,来导出判定系统来导出判定系统能控性的充要条件。能控性的充要条件。第15页/共57页vv状态能控性的定义状态能控性的定义状态能控性的定义状态能控性的定义vv由状态方程由状态方程vvx x(t t)=)=AA(t t)x x(t t)+)+B B(t t)u u(t t)vv及状态方程求解公式可知及状态方程求解公式可知,状态的变化主要取决于系统的初始状态和初始时刻之后状态的变化主要取决于系统的初
13、始状态和初始时刻之后的输入的输入,与输出与输出y y(t t)无关。无关。因此研究讨论状态能控性问题因此研究讨论状态能控性问题,即输入即输入u u(t t)对对状态状态x x(t t)能能否控制否控制的问题的问题,只需考虑系统在输入只需考虑系统在输入u u(t t)的的作用和状态作用和状态方程的性质方程的性质,与输出与输出y y(t t)和输出方程和输出方程无关。无关。vv对线性连续系统对线性连续系统,我们有如下状态能控性定义。我们有如下状态能控性定义。第16页/共57页q定义定义 若线性连续系统x(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)对初始时刻t0(t0T,T为时间定义域)和初始状态x(
14、t0),存在另一有限时刻t1(t1t0,t1T),可以找到一个控制量u(t),能在有限时间t0,t1内把系统状 态从初始状态态从初始状态x x(t t0 0)控制到原点控制到原点,即即x x(t t1 1)=0,)=0,则称则称t t0 0时刻的状态时刻的状态x x(t t0 0)能控能控;若对若对t t0 0时刻的状态空间中的所有状态都能控时刻的状态空间中的所有状态都能控,则称系统在则称系统在t t0 0时刻状态完全能控时刻状态完全能控;第17页/共57页若系统在所有时刻状态完全能控若系统在所有时刻状态完全能控,则称系统状态完全能控则称系统状态完全能控,简称为系统能控。简称为系统能控。即即,
15、若逻辑关系式若逻辑关系式 t t0 0 T T x x(t t0 0)t t1 1 T T(t t1 1 t t0 0)u u(t t)(t t t t0 0,t t1 1)()(x x(t t1 1)=0)=0)为真为真,则称系统状态完全能控。则称系统状态完全能控。若存在某个状态若存在某个状态x x(t t0 0)不满足上述条件不满足上述条件,称此系统是状态不完全能控的称此系统是状态不完全能控的,简称系统为状态不能控。简称系统为状态不能控。即即,若逻辑关系式若逻辑关系式t t0 0 T T x x(t t0 0)t t1 1 T T u u(t t)()(t t1 1 t t0 0)(t t
16、 t t0 0,t t1 1)(x x(t t1 1)0)0)为真为真,则称系统状态不完全能控。则称系统状态不完全能控。第18页/共57页对上述状态能控性的定义有如下讨论对上述状态能控性的定义有如下讨论:1.1.控制时间控制时间 t t0 0,t t1 1 是系统状态由初始状态转移到原点所是系统状态由初始状态转移到原点所需的有限时间。需的有限时间。对时变系统对时变系统,控制时间的长短控制时间的长短,即即t t1 1-t t0 0的的值值,与初始时刻与初始时刻t t0 0有关。有关。对于定常系统对于定常系统,该控制时间与该控制时间与t t0 0无关。无关。所以所以,对于线性定常系统状态能控性对于
17、线性定常系统状态能控性,可不必在定义中强调可不必在定义中强调“在所有时刻状态完全能控在所有时刻状态完全能控在所有时刻状态完全能控在所有时刻状态完全能控”,而为而为“某一时刻状态某一时刻状态某一时刻状态某一时刻状态完全能控完全能控完全能控完全能控,则系统状态完全能控则系统状态完全能控则系统状态完全能控则系统状态完全能控”。即即,若逻辑关系式若逻辑关系式 t t0 0 T T x x(t t0 0)t t1 1 T T(t t1 1 t t0 0)u u(t t)(t t t t0 0,t t1 1)()(x x(t t1 1)=0)=0)为真为真,则称线性定常连续系统则称线性定常连续系统(AA,
18、B B)状状态完全能控。态完全能控。第19页/共57页2.2.在上述定义中在上述定义中,对输入对输入u u(t t)没有加任何约束没有加任何约束,只要能使状态方程的解存在即可。只要能使状态方程的解存在即可。如果矩阵如果矩阵AA(t t)和和B B(t t)以及向量以及向量u u(t t)的每个元素都是的每个元素都是t t的分段连续函数的分段连续函数,则状态方程存则状态方程存在唯一解。在唯一解。u u(t t)为分段连续的条件为分段连续的条件,在工程上是很容易满足的。在工程上是很容易满足的。3.3.在状态能控性定义中在状态能控性定义中,对输入对输入u u(t t)和状态和状态x x(t t)所处
19、的空间都没有加任何约束条件。所处的空间都没有加任何约束条件。在实际工程系统中在实际工程系统中,输入变量空间和状态空间都不为无限制条件的线性空间输入变量空间和状态空间都不为无限制条件的线性空间,因此因此上述能控性的定义对工程实际系统还需作具体的分析。上述能控性的定义对工程实际系统还需作具体的分析。第20页/共57页线性定常连续系统的状态能控性判别线性定常连续系统的状态能控性判别线性定常连续系统的状态能控性判别线性定常连续系统的状态能控性判别线性定常连续系统状态能控性判据有许多不同形式线性定常连续系统状态能控性判据有许多不同形式,下面分别讨论常用的下面分别讨论常用的代数判据代数判据代数判据代数判据
20、和和模态判据模态判据模态判据模态判据。第21页/共57页1.1.代数判据代数判据代数判据代数判据定理定理 (线性定常连续系统能控性秩判据线性定常连续系统能控性秩判据)线性定常连续系统线性定常连续系统(AA,B B)状态完全能控的充要条件为下述条件之一成立状态完全能控的充要条件为下述条件之一成立:1.1.矩阵函数矩阵函数e e-At-AtB B的各行函数线性独立的各行函数线性独立,即不存在非零常数向量即不存在非零常数向量f f R Rn n,使得使得 f f e e-AtAtB B 0 02.2.如下定义的能控性矩阵如下定义的能控性矩阵 Q Qc c=B ABB AB AAn n-1-1B B
21、满秩满秩,即即 rankrankQ Qc c=rank=rankB ABB AB AAn n-1-1B=B=n n 第22页/共57页vv定理定理给出的是线性定常连续系统状态能控性充要的两个判据给出的是线性定常连续系统状态能控性充要的两个判据,可直接用于能控性判定。可直接用于能控性判定。由于检验由于检验e e-AtAtB B的各行是否函数线性独立相对困难一些的各行是否函数线性独立相对困难一些,因此实际应用中通常用定理的条件因此实际应用中通常用定理的条件2 2。条件条件2 2我们亦称为线性定常连续系统状态能控性的代数判据。我们亦称为线性定常连续系统状态能控性的代数判据。第23页/共57页例例例例
22、1 1 试判断如下系统的状态能控性试判断如下系统的状态能控性解 由状态能控性的代数判据有第24页/共57页故故因此,该系统状态完全能控。第25页/共57页例例例例2 2 试判断如下系统的状态能控性试判断如下系统的状态能控性第26页/共57页将上述矩阵的第3行加到第2行中去,则可得矩阵显然其秩为2。而系统的状态变量维数n=3,所以状态不完全能控。解解 由状态能控性的代数判据有由状态能控性的代数判据有第27页/共57页2.2.模态判据模态判据模态判据模态判据vv在给出线性定常连续系统状态能控性模态判据之前在给出线性定常连续系统状态能控性模态判据之前,先讨论状态能控性的如下性质先讨论状态能控性的如下
23、性质:线性定常系统经线性变换后状态能控性保持不变。线性定常系统经线性变换后状态能控性保持不变。线性定常系统经线性变换后状态能控性保持不变。线性定常系统经线性变换后状态能控性保持不变。下面对该结论作简单证明。下面对该结论作简单证明。设线性变换阵为设线性变换阵为P P,则系统则系统(AA,B B)经线性变换经线性变换 后为后为 ,并有并有第28页/共57页由于由于因此系统 的状态能控性等价于(A,B)的状态能控性,即线性变换不改变状态能控性。第29页/共57页vv基于上述结论基于上述结论,可利用线性变换将一般状态空间模型变换成约当规范形可利用线性变换将一般状态空间模型变换成约当规范形,通过分析约当
24、规范通过分析约当规范形形(对角线规范形视为其特例对角线规范形视为其特例)的能控性来分析原状态空间模型的能控性。的能控性来分析原状态空间模型的能控性。下面讨论线性定常连续系统约当规范形的状态能控性模态判据。下面讨论线性定常连续系统约当规范形的状态能控性模态判据。第30页/共57页约当块和约当矩阵约当块和约当矩阵n n矩阵的约当块的定义为矩阵的约当块的定义为n n由由l l个约旦块个约旦块J Ji i组成的块对角的矩阵称为约旦矩阵组成的块对角的矩阵称为约旦矩阵,如如J J=block-diag=block-diagJ J1 1 J J2 2 J Jl l 第31页/共57页n n下述矩阵均为约旦矩
25、阵下述矩阵均为约旦矩阵上述第一个约旦矩阵有两个约旦块,分别为11维的特征值2的约旦块和33维的特征值-1的约旦块;第二个约旦矩阵有三个约旦块,分别为11维的特征值3的约旦块以及11维和22维的特征值-1的两个约旦块。第32页/共57页q由约旦块和约旦矩阵的定义可知,对角线矩阵可视为约旦矩阵的特例对角线矩阵可视为约旦矩阵的特例,其每个约旦块的维数为11。在本课程中,若未加以特别指出的话若未加以特别指出的话,则所有对约旦矩则所有对约旦矩阵有关的结论都同样适用于对角线矩阵。阵有关的结论都同样适用于对角线矩阵。第33页/共57页定理定理对为约当规范形的线性定常连续系统对为约当规范形的线性定常连续系统(
26、AA,B B),),有有:1)1)若若AA为每个特征值都只有一个约当块的约当矩阵为每个特征值都只有一个约当块的约当矩阵,则系统则系统能控的充要条件为能控的充要条件为对应对应对应对应A A的每个约当块的的每个约当块的的每个约当块的的每个约当块的B B的分块的最后的分块的最后的分块的最后的分块的最后一行都不全为零一行都不全为零一行都不全为零一行都不全为零;2)2)若若AA为某个特征值有多于一个约当块的约当矩阵为某个特征值有多于一个约当块的约当矩阵,则系统则系统能控的充要条件为能控的充要条件为对应对应对应对应A A的每个特征值的所有约旦块的的每个特征值的所有约旦块的的每个特征值的所有约旦块的的每个特
27、征值的所有约旦块的B B的分块的最后一行线性无关的分块的最后一行线性无关的分块的最后一行线性无关的分块的最后一行线性无关。第34页/共57页vv两点说明两点说明:状态能控性模态判据讨论的是约当规范形。状态能控性模态判据讨论的是约当规范形。若系统的状态空间模型不为约当规范形若系统的状态空间模型不为约当规范形,则可根据线性变换不改变状态能控性的性质则可根据线性变换不改变状态能控性的性质,先将状态空间模型变换成约旦规范形先将状态空间模型变换成约旦规范形,然后再利用模态判据判别状态能控性然后再利用模态判据判别状态能控性;模态判据不仅可判别出状态能控性模态判据不仅可判别出状态能控性,而且更进一步地指出是
28、系统的哪一模态而且更进一步地指出是系统的哪一模态(特征值或极点特征值或极点)和哪一状态不能控。和哪一状态不能控。这对于进行系统分析和反馈校正是非常有帮助的。这对于进行系统分析和反馈校正是非常有帮助的。第35页/共57页q解 由定理可知,A为特征值互异的对角线矩阵,且B中各行不全为零,故系统状态完全能控。例例 试判断如下系统的状态能控性。试判断如下系统的状态能控性。第36页/共57页q解 A的每个特征值都只有一个约旦块,但对应于特征值-4的约旦块的B的分块的最后一行全为零,故状态x1和x2不能控,则系统状态不完全能控。状态空间x1-x2-x3不完全能控状态子空间x1-x2不完全能控状态变量x3完
29、全能控状态变量x2完全不能控状态变量x1完全不能控第37页/共57页q解 由于A中特征值-4的两个约旦块所对应的B的分块的最后一行线性无关,且A中特征值-3的约旦块所对应的B的分块的最后一行不全为零,故系统状态完全能控。第38页/共57页q解 由于A中特征值-4的两个约旦块所对应的B的分块的最后一行线性相关,故该系统的状态x1,x2和x4不完全能控,则系统状态不完全能控。状态空间x1-x2-x3-x4不完全能控状态子空间x1-x2-x4不完全能控状态变量x3完全能控?第39页/共57页n n由模态判据结论由模态判据结论2 2可知可知,对单输入系统的状态能控性对单输入系统的状态能控性,有如下有如
30、下推论。推论。n n推论推论 若单输入线性定常连续系统若单输入线性定常连续系统(AA,B B)的约旦规范形的系的约旦规范形的系统矩阵为某个特征值有多于一个约旦块的约旦矩阵统矩阵为某个特征值有多于一个约旦块的约旦矩阵,则该系则该系统状态不完全能控。统状态不完全能控。n n状态能控性的模态判据在应用时需将一般的状态空间模型状态能控性的模态判据在应用时需将一般的状态空间模型变换成约旦规范形变换成约旦规范形,属于一种间接方法。属于一种间接方法。n n下面我们给出另一种形式的状态能控性模态判据下面我们给出另一种形式的状态能控性模态判据,称为称为PBHPBH秩判据。秩判据。n n该判据属于一种直接法。该判
31、据属于一种直接法。第40页/共57页n n定理定理 线性定常连续系统线性定常连续系统(AA,B B)状态完全能控的充必条件为状态完全能控的充必条件为:对于所有的对于所有的A A的特征值的特征值,下式成立下式成立:rankrank I I-AA B B=n n 第41页/共57页q解 由方程|I-A|=0,可解得矩阵A的特征值分别为1,2和3。对特征值1=1,有q例 试判断如下系统的状态能控性。第42页/共57页对特征值2=2,有对特征值3=3,有由定理可知,因为对应于特征值3,定理的条件不成立,故该系统状态不完全能控。第43页/共57页q能控性判据小结判定方法特点判据矩阵指数函数判据代数判据模
32、态判据1模态判据2矩阵函数e-AtB的各行函数线性独立能控性矩阵Qc=B AB An-1B满秩约旦标准形中同一特征值对应的B矩阵分块的最后一行线性无关对于所有特征值,rankI-A B=n需要求矩阵指数函数并判定函数相关,计算复杂1.计算简便可行。2.缺点为不知道状态空间中哪些变量(特征值/极点)能控1.易于分析状态空间中哪些变量(特征值/极点)能控。2.缺点为需变换成约旦标准形1.易于分析哪些特征值(极点)能控。2.缺点为需求系统的特征值第44页/共57页线性定常连续系统的输出能控性线性定常连续系统的输出能控性q在控制系统分析和设计中,系统的被控制量往往不是系统的状态变量,而是系统的输出变量
33、。因此,有必要研究系统的输出能否控制的问题。经典控制理论讨论的为SISO系统输入输出的分析和综合问题,其输入输出间动态关系可以唯一地由传递函数所确定。因此,对给定的期望输出响应,输入则唯一地确定,不存在输出能否控制的问题。但对于MIMO系统,由于输入向量和输出向量是多维的,因此,存在r维的输入能否控制m维的输出的能控性问题。第45页/共57页n n定义定义若线性定常连续系统若线性定常连续系统(AA,B B,C C,D D),),n n对初始时刻对初始时刻t t0 0(t t0 0 T T,T T为系统的时间定义域为系统的时间定义域)和任意初始和任意初始输出值输出值y y(t t0 0),),n
34、 n存在另一有限时刻存在另一有限时刻t t1 1(t t1 1 t t0 0,t t1 1 T),T),可以可以找到一个输入控制向量找到一个输入控制向量u u(t t),),n n能在有限时间能在有限时间 t t0 0,t t1 1 内把系统从初始内把系统从初始输出输出y(y(t t0 0)控制到原点控制到原点,即即y y(t t1 1)=0,)=0,则称系统输出完全能控则称系统输出完全能控,简称为系统输出能控。简称为系统输出能控。n n即即,若数学逻辑关系式若数学逻辑关系式 y y(t t0 0)t t1 1 T T u u(t t)()(t t1 1 t t0 0)(t t t t0 0,
35、t t1 1)(y y(t t1 1)=0)=0)为真为真,则称系统输出完全能控。则称系统输出完全能控。第46页/共57页n n若系统存在某个初始输出值若系统存在某个初始输出值y(y(t t0 0)不满足上述条件不满足上述条件,则称则称此系统是输出不完全能控的此系统是输出不完全能控的,简称为输出不能控。简称为输出不能控。n n定理定理 线性定常连续系统线性定常连续系统(AA,B B,C C,D D)输出完全能控的充要条输出完全能控的充要条件为输出能控性矩阵件为输出能控性矩阵 CBCB CABCAB CACAn n-1-1B B D D 满秩满秩,即即rank rank CBCB CABCAB
36、CACAn n-1-1B B D D=m m其中其中m m为输出变量向量的维数。为输出变量向量的维数。第47页/共57页n n例例例例试判断如下系统的输出能控性试判断如下系统的输出能控性q解 由输出能控性的代数判据有rankCB CAB D=rank2 0 0=1=m故系统输出完全能控。q 对该系统,因为故系统是状态不完全能控的。第48页/共57页n n因此因此,输出能控性与状态能控性是不等价的两个不同概念输出能控性与状态能控性是不等价的两个不同概念,它它们之间亦没有必然的联系。们之间亦没有必然的联系。第49页/共57页线性时变连续系统的状态能控性线性时变连续系统的状态能控性线性时变连续系统的
37、状态能控性线性时变连续系统的状态能控性n n以上讨论的状态能控性判据是针对线性定常连续系统而言以上讨论的状态能控性判据是针对线性定常连续系统而言的的,对时变系统不成立。对时变系统不成立。n n下面给出线性时变连续系统状态能控性的充分必要判据。下面给出线性时变连续系统状态能控性的充分必要判据。n n定理定理定理定理 (格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据)线性时变连续系统线性时变连续系统(AA(t t),),B B(t t)在初始在初始时刻时刻t t0 0上状态完全能控的充分必要条件为上状态完全能控的充分必要条件为:n n存在存在t t1 1(t t1 1 t t0 0),),使得如下能控格拉姆使得如下
38、能控格拉姆(Gram)(Gram)矩阵为非奇异的矩阵为非奇异的第50页/共57页n n在在应应用用由由定定理理给给出出的的线线性性时时变变连连续续系系统统的的状状态态能能控控的的判判据据时时,需需先先求求出出时时变变的的系系统统矩矩阵阵AA(t t)的的状状态态转转移移矩矩阵阵(t t,t t0 0),),然然后后再求能控格拉姆矩阵再求能控格拉姆矩阵WWc c(t t1 1,t t0 0),),计算量较大。计算量较大。n n而而且且状状态态转转移移矩矩阵阵(t t,t t0 0)的的计计算算,对对一一般般的的时时变变矩矩阵阵AA(t t)还无法得到以有限项表示的解析解。还无法得到以有限项表示的
39、解析解。n n因因此此,利利用用定定理理判判定定线线性性时时变变系系统统的的状状态态能能控控性性有有一一定定困难。困难。n n下下面面给给出出一一个个较较为为实实用用的的时时变变系系统统状状态态能能控控性性判判据据,该该判据只需利用判据只需利用矩矩阵阵AA(t t)和和B B(t t)的信息即可。的信息即可。第51页/共57页n n (秩秩判判据据)定定定定理理理理若若对对初初始始时时刻刻t t0 0,存存在在时时间间t t1 1(t t1 1 t t0 0),),使使得得线线性性时时变变连连续续系系统统(AA(t t),),B B(t t)的的系系统统矩矩阵阵AA(t t)和和输输入入矩矩阵
40、阵B B(t t)中中的的各各元元素素在在时时间间区区间间 t t0 0,t t1 1 内内对对时时间间t t分分别别是是(n n-2)-2)和和(n n-1)-1)阶阶连连续续可可导导,定义定义n n再定义如下线性时变系统的能控性矩阵再定义如下线性时变系统的能控性矩阵n n若能控性矩阵若能控性矩阵Q Qc c(t t)满足满足则称时变系统在初始时刻则称时变系统在初始时刻t t0 0上状态完全能控。上状态完全能控。第52页/共57页n n值值得得指指出出的的是是,秩秩判判据据给给出出的的仅仅是是一一个个系系统统状状态态能能控控的的充充分分条件条件,即不满足这个定理的并不一定是不能控的。即不满足
41、这个定理的并不一定是不能控的。n n例例例例 试判断如下时变系统在试判断如下时变系统在t t0 0=0=0的状态能控性。的状态能控性。第53页/共57页n n解解解解 (1)(1)采用能控格拉姆矩阵判据。采用能控格拉姆矩阵判据。n n首首先先求求系系统统的的状状态态转转移移矩矩阵阵,考考虑虑到到该该系系统统的的系系统统矩矩阵阵满足满足故状态转移矩阵可写成故状态转移矩阵可写成第54页/共57页n n因此因此,格拉姆能控性矩阵格拉姆能控性矩阵WWc c(0,(0,t tf f),),为为n n由于由于n n当当t tf f00时时,det,detWWc c(0,(0,t tf f)0)0。n n所所以以系系统统在在时时间间t t0=00=0时时是是状状态态完完全全能能控的。控的。第55页/共57页n n(2)(2)由于由于AA(t t)和和B B(t t)高阶连续可导高阶连续可导,可采用秩判据来判定。可采用秩判据来判定。n n由由n n显然显然,只要只要t t0,0,就有就有rank rank Q Qc c(t t)=)=n n=2=2。n n所所以以系系统统在在时时间间t t0 0=0=0时时是是状状态态完完全全能能控控的。的。第56页/共57页