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1、第三章圆锥曲线的方程第三章圆锥曲线的方程3.13.1椭圆椭圆3.1.13.1.1椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程学习目标学习目标1.1.了解椭圆的实际背景了解椭圆的实际背景,经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程,培养直培养直观想象的核心素养观想象的核心素养.2.2.理解并掌握椭圆的定义理解并掌握椭圆的定义,培养数学抽象的核心素养培养数学抽象的核心素养.3.3.掌握椭圆的标准方程及其推导过程掌握椭圆的标准方程及其推导过程,提升数学运算的核心素养提升数学运算的核心素养.知识梳理知识梳理自主探究自主探究师生互动师生互动合作探究合作探究知识梳理知识梳理自主探究自主探
2、究知识探究知识探究1.1.椭圆的定义椭圆的定义平面内与两个定点平面内与两个定点F F1 1,F,F2 2的距离的的距离的 等于等于 的点的轨的点的轨迹叫做椭圆迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的这两个定点叫做椭圆的 ,两两 间的距离叫做椭圆的焦间的距离叫做椭圆的焦距距,焦距的一半称为焦距的一半称为 .思考思考1:1:定义中要求常数大于定义中要求常数大于|F|F1 1F F2 2|,|,当该常数等于当该常数等于|F|F1 1F F2 2|时时,点的轨迹是什么点的轨迹是什么?小于小于|F|F1 1F F2 2|时时,点的轨迹又是什么点的轨迹又是什么?答案答案:当常数等于当常数等于|F|F1 1F F2
3、 2|时时,动点的轨迹为线段动点的轨迹为线段F F1 1F F2 2;当常数小于当常数小于|F|F1 1F F2 2|时时,动点动点的轨迹不存在的轨迹不存在.和和常数常数(大于大于|F|F1 1F F2 2|)|)焦点焦点焦点焦点半焦距半焦距做一做做一做1:1:设设F F1 1,F,F2 2为定点为定点,|F,|F1 1F F2 2|=6,|=6,动点动点M M满足满足|MF|MF1 1|+|MF|+|MF2 2|=10,|=10,则动点则动点M M的轨迹的轨迹是是()A.A.椭圆椭圆 B.B.直线直线C.C.圆圆D.D.线段线段解析解析:因为因为|MF|MF1 1|+|MF|+|MF2 2|
4、=10|F|=10|F1 1F F2 2|=6,|=6,由椭圆定义知由椭圆定义知,动点动点M M的轨迹为椭圆的轨迹为椭圆.故选故选A.A.A A2.2.椭圆的标准方程椭圆的标准方程若若|F|F1 1F F2 2|=2c,|MF|=2c,|MF1 1|+|MF|+|MF2 2|=2a(ac0),|=2a(ac0),则则椭椭圆圆的的标标准准方方程程、焦焦点点坐坐标标及及a,b,ca,b,c的关系如表的关系如表:思考思考2:2:如何根据椭圆的标准方程确定焦点的位置如何根据椭圆的标准方程确定焦点的位置?答案答案:比较比较x x2 2,y,y2 2的分母的分母,x,x2 2的分母大时的分母大时,焦点在焦
5、点在x x轴上轴上,反之在反之在y y轴上轴上.(-c,0),(c,0)(-c,0),(c,0)(0,-c),(0,c)(0,-c),(0,c)a a2 2-b-b2 2C C解析解析:由由b b2 2=25,a=25,a2 2=169,=169,知知c c2 2=a=a2 2-b-b2 2=144,=144,所以所以c=12,c=12,又焦点在又焦点在y y轴上轴上,所以椭圆的焦点坐标为所以椭圆的焦点坐标为(0,12),(0,-12).(0,12),(0,-12).故选故选C.C.师生互动师生互动合作探究合作探究探究点一探究点一椭圆的定义在焦点三角形中的应用椭圆的定义在焦点三角形中的应用 变
6、式探究变式探究2 2 在本例中在本例中,若把若把“F F1 1PFPF2 2=60=60”,改为改为“PFPF1 1F F2 2=90=90”,其其余条件不变余条件不变,试求试求PFPF1 1F F2 2的面积的面积.方法总结方法总结(1)(1)椭圆的定义具有双向作用椭圆的定义具有双向作用,即若即若|MF|MF1 1|+|MF|+|MF2 2|=2a(2a|F|=2a(2a|F1 1F F2 2|),|),则点则点M M的轨的轨迹是椭圆迹是椭圆;反之反之,椭圆上任意一点椭圆上任意一点M M到两焦点的距离之和必为到两焦点的距离之和必为2a.2a.(2)(2)椭圆上一点椭圆上一点P P与椭圆的两个
7、焦点与椭圆的两个焦点F F1 1,F,F2 2构成的构成的PFPF1 1F F2 2称为焦点三角形称为焦点三角形.解解关于椭圆的焦点三角形的问题关于椭圆的焦点三角形的问题,通常要利用椭圆的定义通常要利用椭圆的定义,结合正弦定理、结合正弦定理、余弦定理等知识求解余弦定理等知识求解.探究点二探究点二求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程 例例2 2 根据下列条件根据下列条件,写出椭圆的标准方程写出椭圆的标准方程.(1 1)两两个个焦焦点点坐坐标标分分别别是是(0 0,5 5),(0 0,-5 5),椭椭圆圆上上一一点点P P到到两两焦焦点点的的距距离离和和为为26;26;例例2 2 根据下列条件根据下列
8、条件,写出椭圆的标准方程写出椭圆的标准方程.方法总结方法总结(1)(1)利用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤利用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤定位定位,确定焦点在哪个轴上确定焦点在哪个轴上;定量定量,依据条件及依据条件及a a2 2=b=b2 2+c+c2 2确定确定a,b,ca,b,c的值的值;写出标准方程写出标准方程.(3)(3)当椭圆过两定点时当椭圆过两定点时,常设椭圆方程为常设椭圆方程为AxAx2 2+By+By2 2=1(A0,B0,=1(A0,B0,且且A AB),B),将点的坐标代将点的坐标代入解方程组求得系数入解方程组求得系数.针对训练针对训练 根据下列条件根据下列条件,求椭
9、圆的标准方程求椭圆的标准方程.针对训练针对训练 根据下列条件根据下列条件,求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程.(2)(2)经过点经过点(2,-3)(2,-3)且与椭圆且与椭圆9x9x2 2+4y+4y2 2=36=36有共同的焦点有共同的焦点.探究点三探究点三椭圆标准方程的应用椭圆标准方程的应用角度角度1 1利用椭圆的标准方程求参数利用椭圆的标准方程求参数方法总结方法总结根据椭圆焦点位置求椭圆方程中的参数取值范围时根据椭圆焦点位置求椭圆方程中的参数取值范围时,考虑含考虑含x x2 2,y,y2 2项对应的项对应的分母都大于分母都大于0,0,然后根据焦点所在坐标轴确定对应分母的大小然后根据焦点所在
10、坐标轴确定对应分母的大小.角度角度2 2利用椭圆的标准方程确定椭圆的基本量利用椭圆的标准方程确定椭圆的基本量 例例4 4 椭圆椭圆mxmx2 2+ny+ny2 2=-mn(mn0)=-mn(mn0)的焦点坐标为的焦点坐标为()方法总结方法总结由椭圆的标准方程可以确定焦点坐标或求参数的值由椭圆的标准方程可以确定焦点坐标或求参数的值(或取值范围或取值范围).).(1)(1)求求椭椭圆圆的的焦焦点点坐坐标标时时,若若方方程程不不是是标标准准方方程程,则则应应先先将将其其化化为为标标准准方方程程,确确定定a a2 2,b,b2 2的的值值和和焦焦点点所所在在的的坐坐标标轴轴,再再利利用用关关系系式式a
11、 a2 2=b=b2 2+c+c2 2求求出出c,c,即即可可写写出焦点坐标出焦点坐标.解解析析:由由题题意意知知a a2 2=16,b=16,b2 2=12,c=12,c2 2=a=a2 2-b-b2 2=4,c=2,=4,c=2,焦焦点点在在y y轴轴上上,所所以以椭椭圆圆的的焦焦点坐标为点坐标为(0,2).(0,2).故选故选D.D.角度角度3 3点与椭圆的位置关系点与椭圆的位置关系方法总结方法总结(2)(2)先由椭圆的标准方程求出先由椭圆的标准方程求出a,c,a,c,再利用下面的结论再利用下面的结论:|PF|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|2a|2a|2a点点P P在椭圆外在椭圆
12、外.与椭圆定义有关的轨迹问题与椭圆定义有关的轨迹问题探究点四探究点四方法总结方法总结(1)(1)对椭圆定义的三点说明对椭圆定义的三点说明椭圆是在平面内定义的椭圆是在平面内定义的,所以所以“平面内平面内”这一条件不能忽视这一条件不能忽视.定义中到两定点的距离之和是常数定义中到两定点的距离之和是常数,而不能是变量而不能是变量.常数常数2a2a必须大于两定点间的距离必须大于两定点间的距离,否则轨迹不是椭圆否则轨迹不是椭圆,这是判断一曲线这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件是否为椭圆的限制条件.(2)(2)椭圆定义的两个应用椭圆定义的两个应用若若|MF|MF1 1|+|MF|+|MF2 2|=2a(2a
13、|F|=2a(2a|F1 1F F2 2|0),|0),则动点则动点M M的轨迹是椭圆的轨迹是椭圆.若点若点M M在椭圆上在椭圆上,则则|MF|MF1 1|+|MF|+|MF2 2|=2a.|=2a.针对训练针对训练 已知圆已知圆A:(x+3)A:(x+3)2 2+y+y2 2=100,=100,圆圆A A内一定点内一定点B(3,0),B(3,0),圆圆P P过点过点B B且与圆且与圆A A内切内切,求圆心求圆心P P的轨迹方程的轨迹方程.学海拾贝学海拾贝椭圆的各种方程形式椭圆的各种方程形式 典例探究典例探究 (1)(1)若方程若方程x x2 2+ky+ky2 2=2=2表示焦点在表示焦点在y
14、 y轴上的椭圆轴上的椭圆,求求k k的取值范围的取值范围;方法总结方法总结由椭圆的标准方程可以确定焦点坐标或求参数的值由椭圆的标准方程可以确定焦点坐标或求参数的值(或取值范围或取值范围),),在求解在求解这类问题时这类问题时,必须先确定焦点位置必须先确定焦点位置,从而可得从而可得a a2 2,b,b2 2的值的值.当焦点不确定时当焦点不确定时,应注意分类讨论应注意分类讨论,分别求值分别求值.另外另外,应注意当应注意当a a2 2=b=b2 2时时,方程表示圆方程表示圆,应排除这应排除这种情况种情况.当堂检测当堂检测C CB BA A4.4.已知已知B,CB,C是两个定点是两个定点,|BC|=8,|BC|=8,且且ABCABC的周长等于的周长等于18,18,则三角形的顶点则三角形的顶点A A的轨迹方程的轨迹方程为为.