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1、2023/3/271双曲线抛物线圆椭圆3.1.1 椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程“传说中的”飞碟几何几何代数代数圆圆:平面内平面内到定点距离等于定长的到定点距离等于定长的动点的轨迹动点的轨迹.椭圆是满足什椭圆是满足什么几何条件的么几何条件的点的轨迹呢？点的轨迹呢？数数 学学 实实 验验观察并思考下面两个问题：观察并思考下面两个问题：(1)(1)动点运动出的动点运动出的轨迹轨迹是什么？是什么？(2)(2)动点满足怎样的动点满足怎样的几何条件几何条件？（1 1）在平面内在平面内（2 2）到两定点到两定点F1，F2的距离等于定长的距离等于定长(线线总长总长2a，MF1+MF2=2a)F1F2M（3
2、 3）定长定长2 2a|F|F1 1F F2 2|结合实验以及结合实验以及“圆的定义圆的定义”,思考讨论应该如思考讨论应该如何定义椭圆？它应该包含几个要素？何定义椭圆？它应该包含几个要素？当当MF1+MF2=F1F2，动点，动点M M轨迹轨迹为为线段线段当当MF1+MF22c，即，即ac，故，故a2-c20，令令a2-c2=b2，其中，其中b0，代入上式，代入上式,可得：可得：两边同时除以两边同时除以a2(a2-c 2)得：得：xyOF2(c,0)F1(-c,0)M(x,y)方程方程 叫做叫做椭圆的标准方程椭圆的标准方程4椭圆标准方程分析焦点在焦点在x轴轴上上焦点坐标是焦点坐标是F1(-c，0
3、)、F2(c，0)b2=a2c2xyOF2(c,0)F1(-c,0)M(x,y)思考思考2023/3/27如果椭圆的如果椭圆的焦点在焦点在y轴轴上，焦点是上，焦点是F1(0,-c)、F2(0,c)方程是怎样呢？方程是怎样呢？xy这个也是这个也是椭圆的标准方程椭圆的标准方程 OxyMF1(-c,0)F2(c,0)yxOF1F2M(0,-c)(0,c)椭圆的标准方程的再认识：（1 1）形式）形式（2 2）三个参数满足）三个参数满足a2=b2+c2（3 3）椭圆的标准方程中，）椭圆的标准方程中，x2 2与与y2 2的分母哪一个大，的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上则焦点在哪一个轴上1.判定下列椭圆的
4、焦点在哪个轴，并指明判定下列椭圆的焦点在哪个轴，并指明a2、b2，写出焦点坐标，写出焦点坐标答：在 x 轴.（-3，0）和（3，0）答：在 y 轴.（0，-5）和（0，5）答：在y 轴.（0，-1）和（0，1）小试牛刀小试牛刀焦点在分母大的那个轴上焦点在分母大的那个轴上从椭圆标准方程判断焦点位置：哪个分母大，焦点就在哪个轴上哪个分母大，焦点就在哪个轴上图图 形形焦点坐标焦点坐标定定 义义a、b、c 关系关系焦点位置判断焦点位置判断xyF1 1F2 2POxyF1 1F2 2PO标准方程标准方程平面内到两个定点的距离之平面内到两个定点的距离之和和为为常数常数(大于大于|F1F2|)的点的轨迹是椭
5、圆的点的轨迹是椭圆.问题：问题：根据表格比较两种标准方程结构之间的异同？根据表格比较两种标准方程结构之间的异同？课本练习例例1 1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(-2,0),(2,0),(2,0),并且经过点并且经过点 .求它的标准方程求它的标准方程.解解:因为椭圆的焦点在因为椭圆的焦点在x轴上轴上,所以设它的标准方程为所以设它的标准方程为由椭圆的定义知由椭圆的定义知所以所以又因为又因为 ,所以所以因此因此,所求椭圆的标准方程为所求椭圆的标准方程为定定义义法法另解另解:因为椭圆的焦点在因为椭圆的焦点在x轴上轴上,所以设它所以设它的标准方程为的标准方程为
6、:联立联立,因此因此,所求椭圆的标准方程为所求椭圆的标准方程为:又又焦点的坐标为焦点的坐标为待待定定系系数数法法2023/3/2722(3)(方法一)当椭圆的焦点在x轴上时,优化设计86页例12023/3/2723当椭圆的焦点在y轴上时,2023/3/2724利用待定系数法求椭圆的标准方程利用待定系数法求椭圆的标准方程:当焦点位置不确定时,可设椭圆方程为mx2+ny2=1(mn,m0,n0).因为它包括焦点在x轴上(mn)两类情况,所以可以避免分类讨论,从而简化了运算.【变式训练1】求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)中心在原点,焦点在坐标轴上,且经过两点(2,0)和(0,1);(方法二)设
7、椭圆的方程为Ax2+By2=1(A0,B0,AB).解:(1)设椭圆方程为mx2+ny2=1(m0,n0,mn).因为椭圆过(2,0)和(0,1)两点,【变式训练1】求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)中心在原点,焦点在坐标轴上,且经过两点(2,0)和(0,1);(2)(方法一)因为椭圆的焦点在y轴上,探究二探究二椭圆的定的定义及其及其应用用在PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos 60,即25=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|PF2|.由椭圆的定义得10=|PF1|+|PF2|,即100=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|PF2|.
8、-,得3|PF1|PF2|=75,|PF1|PF2|=25,在本例中,把“F1PF2=60”改为“F1PF2=90”,其余条件不变,试求PF1F2的面积.解:在PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2,25=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|PF2|,由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=10,例例2 如图，在圆如图，在圆 上任取一点上任取一点P，过点，过点P作作x轴的轴的垂线段垂线段PD，D为垂足为垂足.当点当点P在圆上运动时，线段在圆上运动时，线段PD的的中点中点M的轨迹是什么？为什么？的轨迹是什么？为什么？解：解：设点设点M M的坐标为（的坐标为（x,y）,点点
9、P P的坐标为（的坐标为（x0,y0）,则则因为点因为点P P（x0,y0）在圆）在圆把点把点0=x，y0=2y代入方程代入方程，得，得即即所以点所以点M M的轨迹是一个椭圆的轨迹是一个椭圆.例例3 3 如图，设点如图，设点A，B的坐标分别是的坐标分别是(-5(-5，0)0)和和(5(5，0),0),直线直线AM,BMAM,BM相交于点相交于点M M，且它们的斜率之积是，且它们的斜率之积是 ,求求点点M M的轨迹方程的轨迹方程.yAxMBO解：解：设点设点M的坐标（的坐标（x,y）,因为点因为点A的坐标是（的坐标是（-5,0）,所以所以,直线直线AM的斜率为的斜率为同理，直线同理，直线BM的斜
10、率的斜率由已知有由已知有化简，得点化简，得点M的轨迹方程为的轨迹方程为优化设计88页解析:设Q(x,y),P(x0,y0),由点Q是线段OP的中点知x0=2x,y0=2y.反思感悟 利用椭圆定义求动点轨迹方程的三个步骤【易错辨析易错辨析】忽略椭圆方程中的条件ab而致误以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:错误的原因是没有注意椭圆的标准方程中ab这个条件,当a=b时,方程并不表示椭圆.随堂练习随堂练习A.4B.5C.8D.10解析:|PF1|+|PF2|=2a=10.答案:DA.(4,0)B.(0,4)C.(3,0)D.(0,3)解析:椭圆的焦点在y轴上,且
11、c=3,故焦点坐标为(0,3).答案:D3.已知椭圆的焦点在y轴上,其上任意一点到两焦点的距离之和为8,焦距为2 ,则此椭圆的标准方程为.答案:a0,且a1 5.已知B,C是两个定点,|BC|=8,且ABC的周长为18,求这个三角形顶点A的轨迹方程.解:以过B,C两点的直线为x轴,线段BC的中点为原点,建立平面直角坐标系.由|BC|=8,可知点B(-4,0),C(4,0).由|AB|+|BC|+|AC|=18,得|AB|+|AC|=10|BC|=8.因此,点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆,这个椭圆上的点与两个焦点的距离之和为2a=10,即a=5,且点A不能在x轴上.由a=5,c=4,得b2=9.图图 形形方方 程程焦焦 点点F(c，0)0)F(0(0，c)a,b,c之间的关系之间的关系c2 2=a2 2-b2 2MF1 +MF2 =2a (2a2c0)定定 义义1 12 2yoFFMx1oFyx2FM注注:共同点共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是方程的左边是平方和，右边是1.不同点不同点：焦点在：焦点在x轴的椭圆轴的椭圆 项分母较大项分母较大.焦点在焦点在y轴的椭圆轴的椭圆 项分母较大项分母较大.课堂小结课堂小结