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1、对数及其运算对数及其运算新课引入新课引入上节课我们学习指数函数，研究细上节课我们学习指数函数，研究细胞分裂时，曾经归纳出，第胞分裂时，曾经归纳出，第x次分次分裂后，细胞的个数为裂后，细胞的个数为y=2x；给定分；给定分裂的次数裂的次数x，我们可以求出细胞个，我们可以求出细胞个数数y。有时我们会遇到这样的问题。有时我们会遇到这样的问题:已知一个细胞分裂已知一个细胞分裂x次后细胞的个数次后细胞的个数是是1024，问这个细胞分裂了几次，问这个细胞分裂了几次？即：即：2x=1024，则，则x=？所以须要创立新的符号,能在已知底数和幂的值时,表示出该指数的表达式.这就是我们本节课将要学习的对数对数及对数
2、符号对数符号.又看如下问题:现今我国总产值每年比上年约平均增长8%,问经过几年,总产值是今年的2倍?设今年总产值为a亿元,经过x年,总产值是今年的2倍,则可列式:a(1+8%)x=2a,即得 1.08x=2 此式的x如何解出(表达出)呢?新课引入可是也有不少与上列数学式同类的式子,还不易解决和表达.例如：形成概念 一般地,如果a(a0,a1)的 b 次幂等于N,即ab=N,那么数b叫做以以a a为底为底 N N的对数的对数,记作：logaN=b(式中的a叫做对数的底数,N叫做真数.)(对数式“logaN”表示的意思就是:一个乘方的底数是a,乘方的结果是N时所“对应的那个指数对应的那个指数”)书
3、写格式：logaN对数等式logaN=b写为乘方等式就是ab=N,乘方等式ab=N,写为对数等式就是logaN=b但要注意两式中字母a,N,b的称呼的异同.logaN=b 就是 ab=N底数底数底数底数真数真数幂幂对数对数指数指数(a0,a1(a0,a1)形成概念概念深化概念深化由对数式定义:logaN=b ab=N(a0,a1)可知,不论b是什么实数,总有ab0,即式ab=N中的幂N永远是正数,也即式logaN中的真数N永远是正数.因此负数和零没有对数负数和零没有对数.例如：式log20,log3(-3),以及log05,log-23,log12等都无意义.有了对数知识,前面提出的“已知底数
4、和幂的值已知底数和幂的值,如何用如何用(含有含有底数和幂的底数和幂的)式子去表达出与其对应的指数式子去表达出与其对应的指数”之之问题就迎刃而解了.例如,因为42=16,所以底数为4,幂为16,对数(对应的指数)是2,就可写为 log416=2从事例:20=1,写为对数就是log21=0;(0.3)0=1就是log0.31=0;100=1就是log101=0.猜想应有公式:证明:设loga1=x 由对数的定义就有ax=1,又1=a0(a0,a1)ax=a0 一定有x=0.即得 loga1=0.logloga a1 1=0 0(a0,a(a0,a1)1)从事例:21=2,写为对数就是loglog2
5、 22=12=1;(0.3)1=0.3就是loglog0.30.30.3=10.3=1;101=10就是loglog101010=110=1.猜想应有公式:logloga aa a=(a0,a1)(a0,a1)1概念深化证明:设logaa=x 由对数的定义就有ax=a,又a=a1(a0,a1)ax=a1 一定有x=1.即得 logaa=1.a a =logaNX X思考：思考：此指数式(指数是logaN)写为对数式就是 logaX=logaN,令 logaX=logaN=b,则有ab=X又有ab=N X=N.a a =logaNN N得公式解解：?概念深化对数恒等式对数恒等式 例1 将下列指数
6、式写成对数式:(1)54=625log5625=4.解:解:(3)3a=27解:log327=a.解:例例2 2 将下列对数式写成指数式:解:(2)log2128=7解:27=128.(3)lg0.01=-2解:10-2=0.01.例题讲解巩固练习巩固练习1 0 4-1 3 补充 例题例例3.(1)3.(1)求求 loglog27279 9的值的值解解:设设loglog27279=b,9=b,(2)(2)已知已知 2log2logx x8=4,8=4,求求x x 的值的值.解解:由由2log2logx x8=4,8=4,先化简得先化简得 loglogx x8=2,8=2,再化为再化为 3 33
7、b3b=3=32 2,3b=2.,3b=2.由对数式的定义则有由对数式的定义则有 x x2 2=8.=8.由对数式的定义则有由对数式的定义则有2727b b=9,=9,常用对数常用对数 以以10为底的对数叫做为底的对数叫做 常用对数。为了简便，常用对数。为了简便，通常把底通常把底10略去不写，并把略去不写，并把“”写成写成“”,即把即把如：如：100的对数是的对数是2，没有指明对数的底数，没有指明对数的底数，都指常用对数。都指常用对数。1 2-2 随堂 检测1.下列指数式与对数式互化不正确的一组是()(A).100=1与lg1=0 (B).log55=1与51=5.(C).(D).(A).(B
8、).(C).(D).解:只有C中两式的底数不同(一为3,另一为9)C不正确,选选C.3.3.如果如果N=aN=a2 2(a0,(a0,且且a a1)1),则有则有()()(A).log2N=a (B).log2a=N(C).logNa=2 (D).logaN=2(A).y7=xz (B).y=x7z (C).y=7xz (D).y=z7x 解.根据对数的定义,N=aN=a2 2中的指数中的指数2 2叫做以叫做以a a为底为底N N的对数的对数,记作 logloga aN N=2.=2.应选应选 D.D.随堂 检测课堂练习课堂练习1.将下列指数式写成对数式:(1)23=8;(2)25=32;2.
9、2.将下列对数式写成指数式:(1)log39=2;(2)log5125=3;3.3.求下列各式的值求下列各式的值:(1)log(1)log5 525 25 (3)lg100 (4)lg0.01(3)lg100 (4)lg0.01(5)lg10000 (6)lg0.0001(5)lg10000 (6)lg0.00014.4.求下列各式的值求下列各式的值:(1)log(1)log151515 (2)log15 (2)log0 0.4 41 1(3)log(3)log9 981 (4)log81 (4)log2.52.56.256.25(5)log(5)log7 7343 (6)log343 (6)log3 3243 243 是log28=3是log232=5=2 =-4=2 =-4=2 =-2=2 =-2=4 =-4=4 =-4=1 =0=1 =0=2 =2=2 =2=3 =5=3 =5回顾反思回顾反思本节课我们学了哪些内容？本节课我们学了哪些内容？你有什么你有什么收获？我们应注意什么？收获？我们应注意什么？