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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载二项式定理 1二项式定理：abn0 C an1 C an1br C anrbrn C bnnN,2基本概念：二项式绽开式：右边的多项式叫做abn的二项绽开式；T r1r C an rr b 表示；二项式系数 : 绽开式中各项的系数Crr0,1,2, n . n项数：共 r1项,是关于 a 与 b 的齐次多项式通项：绽开式中的第r1项r C anrr b叫做二项式绽开式的通项；用3留意关键点：项数：绽开式中总共有n1项；ab n与 ban是不同的；次序：留意正确挑选a , b , 其次序不能更换；指数： a 的指数从 n 逐项
2、减到 0,是降幂排列；次数和等于 n . b 的指数从 0 逐项减到 n ,是升幂排列；各项的系数：留意正确区分二项式系数与项的系数,二项式系数依次是0 C n,1 C n,C2,Cr,Cn.项的系nnn数是 a 与 b 的系数（包括二项式系数）；4常用的结论：令a1, bx,1xnC0 n1 C x2 C x2r C xrn C xnnnNN令a1, bx1xnC0 n1 C x2 C x2r C xr 1nn C xn5性质：二项式系数的对称性：与首末两端 “ 对距离”的两个二项式系数相等,即C0Cn, k C nCk1nnn二项式系数和：令ab1, 就二项式系数的和为C0C1C2Cr n
3、Cn nn 2,nnnC1C2r C nCn2n1；变形式nnnnCn1 1n0,奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中,令a1,b1,就C0C1C23 C n 1nnnn从而得到：C0C2C4C2rC13 C n2 C nr112n2n1nnnnn2奇数项的系数和与偶数项的系数和：名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - axxn0 nC a x01 C an1x学习好资料欢迎下载a x2a x1a xn2 C an2x2n 0C a xna 01 a xxan0 0C a xn1 C axn12 2C
4、 a xn2n nC a x0a xna x2a0a 3令1,就a 0a 1a2ana1n令x1,就a 0a 1a2a 3ana1na1n2an 1奇数项的系数和得,a0a2a4an得,a 1a3a 5ana1n2a1n偶数项的系数和n二项式系数的最大项：假如二项式的幂指数n 是偶数时,就中间一项的二项式系数C2 n取得最大值；假如二项式的幂指数n 是奇数时,就中间两项的二项式系数n1n1Cn2,Cn2同时取得最大值；系数的最大项：求a,bxn绽开式中最大的项,一般采纳待定系数法；设绽开式中各项系数分别为,A n1,设第r1项系数最大,应有A r1A r2,从而解出 r 来；A 1A 2,A
5、r1A r6二项式定理的十一种考题的解法：题型一：二项式定理的逆用；名师归纳总结 例：C1C26C362Cn6n1 .13n1第 2 页,共 7 页nnnn解：16nC0C16C22 6C363Cn6n与已知的有一些差距,nnnnnC1C26C362Cn6n11C16C262Cnn 6 nnnnnnn61C0C16C262Cn6n1116n117n16nnnn66练：C13C29 C33n1Cn .nnnn解：设S nC13 C29 C33n1Cn,就nnnn3 S nC13C22 3C333Cnn 3C0C13C22 3C333Cn3n1nnnnnnnnnS n13n14n31,由3题型二：
6、利用通项公式求n x 的系数；例：在二项式413x2n的绽开式中倒数第3项的系数为 45 ,求含有3 x 的项的系数？x解：由条件知Cn245,即C245,2 nn900,解得n9舍去 或n10nn- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载3,解得r6,r3rT1r C 10x110rx2rr C x10r2r,由题意104r2r43433就含有3 x 的项是第 7 项T 6 16 C x32103 x , 系数为 210 ；,令 183 r9, 就练：求x219绽开式中9 x 的系数？2x解：rT1Crx29r1rr 18C x2r1rxr
7、Cr1r18 3 xr992x22故9 x 的系数为C31321；922题型三：利用通项公式求常数项；例：求二项式x221x10的绽开式中的常数项？5r0,得r8,所以T 938 C 101 2845解：rT1r C 10x210 r21xrCr1rx205r,令2021022256练：求二项式2x16的绽开式中的常数项？x62r,令 62r0,得r,所以2x解：rT1Cr2 6rr 1 1r 1rCr26r1r662x2T 43 1C320n_.6练：如x21n的二项绽开式中第5项为常数项,就x解：T 5C4x2n4144 C x2n12,令 2n120,得n6. nx题型四：利用通项公式,
8、再争论而确定有理数项；名师归纳总结 例：求二项式x3x9绽开式中的有理项？r9 得r3 或r9,第 3 页,共 7 页解：rT1Crx19rx1r 1rr C x27r,令276rZ , 02369所以当r3时,276r4,T 43 13 C x4844 x ,当r9时,27 6r3,T 103 19 C x33 x ；题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；例：如x2312n绽开式中偶数项系数和为256,求 n . x解：设x2312n绽开式中各项系数依次设为a 0,a 1,a n,x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载n
9、 2 ,令x1, 就有a0a 1an0,令x1, 就有a 0a 1a2a3 1na n将 - 得：2a 1a 3a 5n 2 ,a 1a3a52n1,有题意得,2n125628,n9；练：如3151n的绽开式中,全部的奇数项的系数和为1024,求它的中间项；xx2n11解：C0C2C4C2rC1C3C2r12n1,2n11024,解得nnnnnnn所以中间两个项分别为n6,n7,T 5 1C5316 515462x4,T 6 146261x15nx2x题型六：最大系数,最大项；例：已知12 n,如绽开式中第5 项,第 6项与第 7 项的二项式系数成等差数列,求绽开式中二2项式系数最大项的系数是
10、多少？名师归纳总结 解：C4C62 C5,n221n980,解出n7 或n14,当n7时,绽开式中二项式系数第 4 页,共 7 页nnn最大的项是T 4和T 5T 4 的系数3 C 71 4 22335,T 5 的系数C41 3 22470,当n1472时,绽开式中二项式系数最大的项是T ,T 的系数7 C 1417 273432；2练：在ab2n的绽开式中,二项式系数最大的项是多少？解：二项式的幂指数是偶数2n,就中间一项的二项式系数最大,即T2n1T n1,也就是第n1项；2练：在x1n的绽开式中,只有第5项的二项式最大,就绽开式中的常数项是多少？23x解：只有第 5项的二项式最大,就n1
11、5,即n8, 所以绽开式中常数项为第七项等于26 C 81272例：写出在ab7的绽开式中,系数最大的项？系数最小的项？解：由于二项式的幂指数7是奇数,所以中间两项第4,5项 的二项式系数相等,且同时取得最大值,从而有T 43 4 3C a b 的系数最小,T 54 3 4C a b 系数最大；例：如绽开式前三项的二项式系数和等于79 ,求12 n的绽开式中系数最大的项？2解：由C0C1C279,解出n12, 假设rT1项最大,12 121 21214 12nnn2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载r10,A r1A r2Cr4rCr
12、 1214r1,化简得到 9.4r10.4,又0r12,12A r1A rCr4rr C 1214r1127.3,又绽开式中系数最大的项为T 11,有T 111 21210 C 1210 4x101689610 x练：在12 10的绽开式中系数最大的项是多少？解：假设rT1项最大,rT1r C 102rxrA r1A r2Cr2rr C 1012r1,解得211rrr,化简得到 6.3k10A r1A rCr2rr C 1012r1r1210100r10,r7,绽开式中系数最大的项为T 87 C 1027x715360x7.题型七：含有三项变两项；例：求当x23x25的绽开式中 x 的一次项的
13、系数？解法：x23x25x223 5,rT1Cr 5 x225r3 r,当且仅当r1时,rT1的解法：绽开式中才有x 的一次项, 此时rT1T 2C1 5x24 2 3x ,所以 x 得一次项为1 C C4 442 3x它的系数为1 4 4C C 42 3240；x23x25x5 1 x250 C x51 C x4C50 C x51 C x42C55 2 55练：求式子故绽开式中含x 的项为4 C xC55 24 C x24240x ,故绽开式中x 的系数为 240. 5x123的常数项？x解：x123x16,设第r1项为常数项,就xxrT1Crr 1x6r1r6 1Crx6 2r,得 62
14、r0,r3, T 3 13 1C320. 666x题型八：两个二项式相乘；名师归纳总结 例：求13 2 1x4绽开式中x2 的系数 .mm C 3m 2xm,m0,1,2,3,n0,1,2,3, 4,6. 第 5 页,共 7 页解：12 3 的绽开式的通项是m C 32 1x 4 的绽开式的通项是CnxnCnn 1xn,其中44令mn2,就m0 且n2,m1 且n1,m2 且n0,因此13 2 1x 4的绽开式中x2 的系数等于0 C 3202 C 42 1C11 2C11 1C222C00 13434- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 练：学习好资料欢
15、迎下载6,求13x6 1110 绽开式中的常数项.4x13x6 1110绽开式的通项为m C xmn C xnCmn C 10x4m3n解：341264x其中m0,1,2,6,n0,1,2,10, 当且仅当4 m3 , 即m0, 或0,m3, 或4,m练：nnn8,时得绽开式中的常数项为C00 C 10C34 C 10C68 C 104246. 666已知1xx2x1n 的绽开式中没有常数项,nN*且2n8,就n_.x3解：x1n绽开式的通项为Crxn rx3rCrxn4r,通项分别与前面的三项相乘可得x3nnCrxn4r,Crxn4r1,Crxn4r2,绽开式中不含常数项,2n8nnnn4
16、r且n4r1 且n4r2,即n4,8且n3,7且n2,6,n5.题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；例：在x22006的二项绽开式中,含 的奇次幂的项之和为S ,当xx2 时,S_.解：设x22006= a 01 a x 1a x 223 a x 3a 20062006 x-22006x22006= a 01 a x2 a x3 a xa 2006x2006-得2 a x3 a x5 a xa 2005x2005x22006xx22006绽开式的奇次幂项之和为S x 1x220062200623 2006当x2 时,S 21222006222006222300822题型十：赋值法；名师归纳
17、总结 例：设二项式33x1n的绽开式的各项系数的和为p ,全部二项式系数的和为s , 如Cn2n,第 6 页,共 7 页xps272, 就 n 等于多少？Pa0a 1a ,SC0 n解：如33x1na0a xa x2a xn,有nx令x1得P4n,又ps272, 即 4n2n2722n172n160解得2n16或n 217舍去,n4. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载,就绽开式的常数练：如3x1n的绽开式中各项系数之和为64 ,就绽开式的常数项为多少？x解：令x1,就3x1n的绽开式中各项系数之和为2n64,所以n6x项为C33x3
18、13540. a2022的值为6x例：如12 2022a 0a x1a x2a x3a2022x2022xR ,就a 1a222222022解：令x1 , 2可得a 0a 1a 2a 20220,a 1a2a2022a02222022 222222022_.在令x0 可得a01, 因而a 1a 2a20221.22 222022练：如x25a x5a x4a x3a x2a x1a0,就a 1a2a 3a4a5解：令x0 得a 032,令x1 得a 0a 1a2a 3a4a 51,a 1a2a 3a 4a531.题型十一：整除性；名师归纳总结 例：证明：32n28n9nN*能被 64 整除918n918n1C118nCn12 8第 7 页,共 7 页证：2 3n28n99n18n98n 118nC018n11 C n18nCn12 8Cn11 8Cn nnn1n1C018n11 C n1n 8Cn1828n118 n9C0nn1nnn1由于各项均能被64 整除32n28n9nN*能被64整除- - - - - - -