最新二项式定理—解题技巧.pdf

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1、最新精品资料推荐 最新精品资料推荐 1 二项式定理 1二项式定理：0 1 1()()n n n r n r r n nn n n na b C a C a b C a b C b n N，2基本概念：二项式展开式：右边的多项式叫做()na b 的二项展开式。二项式系数:展开式中各项的系数rnC(0,1,2,)r n.项数：共(1)r 项，是关于a与b的齐次多项式 通项：展开式中的第1 r 项r n r rnC a b叫做二项式展开式的通项。用1r n r rr nT C a b表示。3注意关键点：项数：展开式中总共有(1)n 项。顺序：注意正确选择a,b,其顺序不能更改。()na b 与()n

2、b a 是不同的。指数：a的指数从n逐项减到0，是降幂排列。b的指数从0逐项减到n，是升幂排列。各项的次数和等于n.系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是0 1 2,.r nn n n n nC C C C C 项的系数是a与b的系数（包括二项式系数）。4常用的结论：令1,a b x 0 1 2 2(1)()n r r n nn n n n nx C C x C x C x C x n N 令1,a b x 0 1 2 2(1)(1)()n r r n n nn n n n nx C C x C x C x C x n N 5性质：二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两

3、个二项式系数相等，即0 nn nC C，1 k kn nC C 二项式系数和：令1 a b,则二项式系数的和为0 1 22r n nn n n n nC C C C C，变形式1 22 1r n nn n n nC C C C。奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令1,1 a b，则0 1 2 3(1)(1 1)0n n nn n n n nC C C C C，从而得到：0 2 4 2 1 3 2 1 112 22r r n nn n n n n n nC C C C C C C 奇数项的系数和与偶数项的系数和：最新精品资料推荐 最新精品资料推荐 2 0 0 1 1 2

4、 2 2 0 1 20 1 20 0 1 1 2 2 2 0 2 12 1 00 1 2 30 1 2 3()()1,(1)1,(1)n n n n n n nn n n n nn n n n n n nn n n n nnnnna x C a x C a x C a x C a x a a x a x a xx a C a x C ax C a x C a x a x a x a x ax a a a a a ax a a a a a a 令 则 令 则0 2 41 3 5(1)(1),()2(1)(1),()2n nnn nna aa a a aa aa a a a 得 奇数项的系数和 得

5、 偶数项的系数和 二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n是偶数时，则中间一项的二项式系数2nnC取得最大值。如果二项式的幂指数n是奇数时，则中间两项的二项式系数12nnC,12nnC同时取得最大值。系数的最大项：求()na bx 展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别 为1 2 1,nA A A，设第1 r 项系数最大，应有11 2r rr rA AA A，从而解出r来。6二项式定理的十一种考题的解法：题型一：二项式定理的逆用；例：1 2 3 2 16 6 6.n nn n n nC C C C 解：0 1 2 2 3 3(1 6)6 6 6 6n n nn n n n

6、 nC C C C C 与已知的有一些差距，1 2 3 2 1 1 2 216 6 6(6 6 6)6n n n nn n n n n n nC C C C C C C 0 1 2 21 1 1(6 6 6 1)(1 6)1(7 1)6 6 6n n n nn n n nC C C C 练：1 2 3 13 9 3.n nn n n nC C C C 解：设1 2 3 13 9 3n nn n n n nS C C C C，则1 2 2 3 3 0 1 2 2 3 33 3 3 3 3 3 3 3 3 1(1 3)1n n n n nn n n n n n n n n nS C C C C C

7、 C C C C(1 3)1 4 13 3n nnS 题型二：利用通项公式求nx的系数；例：在二项式3 241()nxx的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有3x的项的系数？解：由条件知245nnC，即245nC，290 0 n n，解得9()10 n n 舍去 或，由 表示注意关键点项数展开式中总共有项顺序注意正确选择其顺序不能更改与是不同的指数的指数从逐项减到是降幂排 的系数是与的系数包括二项式系数常用的结论令令性质二项式系数的对称性与首末两端对距离的两个二项式系数相等 从而得到奇数项的系数和与偶数项的系数和最新精品资料推荐最新精品资料推荐令则令则得得奇数项的系数和偶数项最新精品资料推荐

8、 最新精品资料推荐 3 2 10 2 1103 4 3 41 10 10()()rrr r r rrT C x x C x，由题意10 23,64 3rr r 解得，则含有3x的项是第7项6 3 36 1 10210 T C x x,系数为210。练：求2 91()2xx展开式中9x的系数？解：2 9 18 2 18 31 9 9 91 1 1()()()()2 2 2r r r r r r r r r rrT C x C x x C xx，令18 3 9 r,则3 r 故9x的系数为3 391 21()2 2C。题型三：利用通项公式求常数项；例：求二项式2 101()2xx的展开式中的常数项

9、？解：5202 1021 10 101 1()()()22rr r r r rrT C x C xx，令520 02r，得8 r，所以8 89 101 45()2 256T C 练：求二项式61(2)2xx的展开式中的常数项？解：6 6 6 21 6 61 1(2)(1)()(1)2()2 2r r r r r r r r rrT C x C xx，令6 2 0 r，得3 r，所以3 34 6(1)20 T C 练：若21()nxx的二项展开式中第5项为常数项，则_.n 解：4 2 4 4 4 2 1251()()n nn nT C x C xx，令2 12 0 n，得6 n.题型四：利用通项

10、公式，再讨论而确定有理数项；例：求二项式9 3()x x 展开式中的有理项？解：1 27 193 6 21 9 9()()(1)rr r r r rrT C x x C x，令276rZ,(0 9 r)得3 9 r r 或，所以当3 r 时，2746r，3 3 4 44 9(1)84 T C x x，当9 r 时，2736r，3 9 3 310 9(1)T C x x。题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；例：若23 21()nxx展开式中偶数项系数和为256，求n.解：设23 21()nxx展开式中各项系数依次设为0 1,na a a 表示注意关键点项数展开式中总共有项顺序注意

11、正确选择其顺序不能更改与是不同的指数的指数从逐项减到是降幂排 的系数是与的系数包括二项式系数常用的结论令令性质二项式系数的对称性与首末两端对距离的两个二项式系数相等 从而得到奇数项的系数和与偶数项的系数和最新精品资料推荐最新精品资料推荐令则令则得得奇数项的系数和偶数项最新精品资料推荐 最新精品资料推荐 4 1 x 令,则有0 10,na a a，1 x 令,则有0 1 2 3(1)2,n nna a a a a 将-得：1 3 52()2,na a a 11 3 52,na a a 有题意得，1 82 256 2n，9 n。练：若3 521 1()nx x的展开式中，所有的奇数项的系数和为10

12、24，求它的中间项。解：0 2 4 2 1 3 2 1 12r r nn n n n n n nC C C C C C C，12 1024n，解得11 n 所以中间两个项分别为6,7 n n，5 6 5 43 55 121 1()()462nT C xx x，61156 1462 T x 题型六：最大系数，最大项；例：已知1(2)2nx，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？解：4 6 5 22,21 98 0,n n nC C C n n 解出7 14 n n 或，当7 n 时，展开式中二项式系数最大的项是4 5T T 和3 4 34

13、 71 35()2,2 2T C 的系数，4 3 45 71()2 70,2T C 的系数当14 n 时，展开式中二项式系数最大的项是8T，7 7 78 141C()2 34322T 的系数。练：在2()na b 的展开式中，二项式系数最大的项是多少？解：二项式的幂指数是偶数2n，则中间一项的二项式系数最大，即2 112n nT T，也就是第1 n 项。练：在31()2nxx的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？解：只有第5项的二项式最大，则1 52n，即8 n,所以展开式中常数项为第七项等于6 281()72C 例：写出在7()a b 的展开式中，系数最大的项？系数最

14、小的项？解：因为二项式的幂指数7是奇数，所以中间两项(4,5 第 项)的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有3 4 34 7T C a b 的系数最小，4 3 45 7T C a b 系数最大。例：若展开式前三项的二项式系数和等于79，求1(2)2nx 的展开式中系数最大的项？解：由0 1 279,n n nC C C 解出12 n,假设1 rT项最大，12 12 121 1(2)()(1 4)2 2x x 表示注意关键点项数展开式中总共有项顺序注意正确选择其顺序不能更改与是不同的指数的指数从逐项减到是降幂排 的系数是与的系数包括二项式系数常用的结论令令性质二项式系数的对称性与首末两端对距

15、离的两个二项式系数相等 从而得到奇数项的系数和与偶数项的系数和最新精品资料推荐最新精品资料推荐令则令则得得奇数项的系数和偶数项最新精品资料推荐 最新精品资料推荐 5 1 11 12 121 11 212 124 44 4r r r rr rr r r rr rA A C CA AC C，化简得到9.4 10.4 r，又0 12 r，10 r，展开式中系数最大的项为11T,有12 10 10 10 1011 121()4 168962T C x x 练：在10(1 2)x 的展开式中系数最大的项是多少？解：假设1 rT项最大，1 102r r rrT C x 1 110 10 11 11 210

16、 102 2 2(11)1 2(10)2 2,r r r rr rr r r rr rC C A A r rA A r rC C 解得，化简得到6.3 7.3 k，又0 10 r，7 r，展开式中系数最大的项为7 7 7 78 102 15360.T C x x 题型七：含有三项变两项；例：求当2 5(3 2)x x 的展开式中x的一次项的系数？解法：2 5 2 5(3 2)(2)3 x x x x，2 51 5(2)(3)r r rrT C x x，当且仅当1 r 时，1 rT的展开式中才有 x 的一次项，此时1 2 41 2 5(2)3rT T C x x，所以x得一次项为1 4 45 4

17、2 3 C C x 它的系数为1 4 45 42 3 240 C C。解法：2 5 5 5 0 5 1 4 5 0 5 1 4 5 55 5 5 5 5 5(3 2)(1)(2)()(2 2)x x x x C x C x C C x C x C 故展开式中含x的项为4 5 5 4 45 5 52 2 240 C xC C x x，故展开式中x的系数为 240.练：求式子31(2)xx 的常数项？解：3 61 1(2)()x xxx，设第1 r 项为常数项，则6 6 261 6 61(1)()(1)r rr r r rrT C x C xx，得6 2 0 r,3 r,3 33 1 6(1)20

18、 T C.题型八：两个二项式相乘；例：3 4 2(1 2)(1)x x x 求 展开式中 的系数.解：33 3(1 2)(2)2,m m m m mx x x 的展开式的通项是 C C 44 4(1)C()C 1,0,1,2,3,0,1,2,3,4,n n n n nx x x m n 的展开式的通项是 其中 3 42,0 2,1 1,2 0,(1 2)(1)m n m n m n m n x x 令 则 且 且 且 因此 表示注意关键点项数展开式中总共有项顺序注意正确选择其顺序不能更改与是不同的指数的指数从逐项减到是降幂排 的系数是与的系数包括二项式系数常用的结论令令性质二项式系数的对称性与

19、首末两端对距离的两个二项式系数相等 从而得到奇数项的系数和与偶数项的系数和最新精品资料推荐最新精品资料推荐令则令则得得奇数项的系数和偶数项最新精品资料推荐 最新精品资料推荐 6 2 0 0 2 2 1 1 1 1 2 2 0 03 4 3 4 3 42(1)2(1)2(1)6 x C C C C C C 的展开式中 的系数等于.练：6 10 341(1)(1)xx 求 展开式中的常数项.解：4 36 10 33 4 126 10 6 1041(1)(1)m n m nm n m nx C x C x C C xx 展开式的通项为 0,3,6,0,1,2,6,0,1,2,10,4 3,0,4,8

20、,m m mm n m nn n n 其中 当且仅当 即 或 或 0 0 3 4 6 86 10 6 10 6 104246 C C C C C C 时得展开式中的常数项为.练：2*31(1)(),2 8,_.nx x x n N n nx 已知 的展开式中没有常数项 且 则 解：3 431()C C,n r n r r r n rn nx x x xx 展开式的通项为 通项分别与前面的三项相乘可得 4 4 1 4 2C,C,C,2 8r n r r n r r n rn n nx x x n 展开式中不含常数项 4 4 1 4 2 4,8 3,7 2,6,5.n r n r n r n n

21、n n 且 且，即 且 且 题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；例：2006(2),2,_.x x S x S 在 的二项展开式中 含 的奇次幂的项之和为 当 时 解：2006 1 2 3 20060 1 2 3 2006(2)x a a x a x a x a x 设=-2006 1 2 3 20060 1 2 3 2006(2)x a a x a x a x a x=-3 5 2005 2006 20061 3 5 20052()(2)(2)a x a x a x a x x x 得 2006 2006 20061(2)()(2)(2)2x S x x x 展开式的奇次幂项之和为 3

22、200622006 2006 30081 22,(2)(2 2)(2 2)22 2x S 当 时 题型十：赋值法；例：设二项式31(3)nxx的展开式的各项系数的和为p，所有二项式系数的和为s,若 272 p s,则n等于多少？解：若2 30 1 21(3)n nnx a a x a x a xx，有0 1 nP a a a，02n nn nS C C，令1 x得4nP，又272 p s,即4 2 272(2 17)(2 16)0n n n n 解得2 16 2 17()n n 或 舍去，4 n.表示注意关键点项数展开式中总共有项顺序注意正确选择其顺序不能更改与是不同的指数的指数从逐项减到是降

23、幂排 的系数是与的系数包括二项式系数常用的结论令令性质二项式系数的对称性与首末两端对距离的两个二项式系数相等 从而得到奇数项的系数和与偶数项的系数和最新精品资料推荐最新精品资料推荐令则令则得得奇数项的系数和偶数项最新精品资料推荐 最新精品资料推荐 7 练：若nxx13的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为多少？解：令1 x，则nxx13的展开式中各项系数之和为2 64n，所以6 n，则展开式的常数项为3 3 361(3)()C xx 540.例：2009 1 2 3 20092009 1 20 1 2 3 20092 2009(1 2)(),2 2 2a a ax a a x a x

24、 a x a x x R 若 则 的值为 解：2009 2009 1 2 1 20 02 2009 2 20091,0,2 2 2 2 2 2 2a a a a a ax a a 令 可得 2009 1 202 20090 1,1.2 2 2a a ax a 在令 可得 因而 练：5 5 4 3 2 15 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5(2),_.x a x a x a x a x a x a a a a a a 若 则 解：0 0 1 2 3 4 50 32,1 1,x a x a a a a a a 令 得 令 得 1 2 3 4 531.a a a a a 题型十一：整除性；例：

25、证明：2 2*3 8 9()nn n N 能被 64 整除 证：2 2 1 13 8 9 9 8 9(8 1)8 9n n nn n n 0 1 1 1 2 1 11 1 1 1 18 8 8 8 8 9n n n n nn n n n nC C C C C n 0 1 1 1 21 1 18 8 8 8(1)1 8 9n n nn n nC C C n n 0 1 1 1 21 1 18 8 8n n nn n nC C C 由于各项均能被 64 整除2 2*3 8 9()64nn n N 能被 整除 综合病例（过敏性休克）-场景一 题干内容（主动提供给选手）模拟病人设置（选手有询问或有操作

26、责提供，反之则不提供）护理能力（考点）（本栏题干给评委）1 床，李明，男，76 岁，体重 60KG，有中风病史 3 年，3天前因喂食发生呛咳后出现发热、咳嗽、咳痰而入院，入院第二天，病人突然诉说全身皮肤瘙痒，头晕、胸闷、气促、呼吸困难伴濒死感 考核：病人可能发现什么情况？你该如何处理 备注：开始 7 分钟，出现第二场景 1.病人：诉 5 分钟前做了青霉素皮试后，现全身皮肤瘙痒，头晕、胸闷、气促、呼吸困难伴濒死感。半卧位 2.特殊用物准备：备皮试抢救盒在床边 3.家属：护士，我家人怎么了？为什么会这样？4.医生：呼救医生时，医生回复正在抢救另一病人会尽快过来 1.评估：快速评估病人具体不适，查看

27、皮试的位置 2.判断：口述病人可能出现过敏性休克，需要立即抢救。3.处理：呼救医生（特别考点）医生回复正在抢救另一个病人，尽快到达，考察选手抢救状态下，医生未到时的临床思维，继续操作得分，等待医生后操作扣分。表示注意关键点项数展开式中总共有项顺序注意正确选择其顺序不能更改与是不同的指数的指数从逐项减到是降幂排 的系数是与的系数包括二项式系数常用的结论令令性质二项式系数的对称性与首末两端对距离的两个二项式系数相等 从而得到奇数项的系数和与偶数项的系数和最新精品资料推荐最新精品资料推荐令则令则得得奇数项的系数和偶数项最新精品资料推荐 最新精品资料推荐 8 5.工作人员：第 7 分钟给选手第二场景

28、选手与家属有效沟通，人文关怀 摆放平卧体位 医生未到之前抽吸肾上腺素 1 支 1mg（特别考点）指出准备的剂量有错 吸氧（中流量吸氧）心电监护（特别考点）因右侧肢体瘫痪，原则上不用右侧肢体绑袖带 场景二 题干内容（主动提供给选手）模拟病人设置（选手有询问或有操作责提供，反之则不提供）护理能力（考点）（本栏题干给评委）医生到达，口头医嘱肾上腺素 1mg 皮下注射 考核要求：请执行医嘱并给予相应的处理 备注：开始 9 分钟，出现第三场景 1.工作人员：选手上心电监护后提供：心电监护显示：HR130次/分，R:28次/分 BP:75/55mmHg,sop2：90%2.工作人员：第 9 分钟给选手第三场景 4.向医生汇报病人情况 5.肾上腺素 1mg 皮下注射 表示注意关键点项数展开式中总共有项顺序注意正确选择其顺序不能更改与是不同的指数的指数从逐项减到是降幂排 的系数是与的系数包括二项式系数常用的结论令令性质二项式系数的对称性与首末两端对距离的两个二项式系数相等 从而得到奇数项的系数和与偶数项的系数和最新精品资料推荐最新精品资料推荐令则令则得得奇数项的系数和偶数项