2022年二项式定理解题技巧3.docx
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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 细心整理 欢迎下载二项式定理1二项式定理:abn0 C an1 C an1 br C an rbrn C bnnN,2基本概念:二项式绽开式:右边的多项式叫做abn的二项绽开式;T r1r C an rr b 表示;二项式系数 : 绽开式中各项的系数Cr nr0,1,2, n . 项数:共 r1项,是关于 a 与 b 的齐次多项式通项:绽开式中的第r1项r C anrr b 叫做二项式绽开式的通项;用3留意关键点:项数:绽开式中总共有 n 1 项;次序:留意正确挑选 a , b , 其次序不能更换; a b n与 b a n是不同的;指数: a
2、 的指数从 n 逐项减到 0 ,是降幂排列; b 的指数从 0逐项减到 n ,是升幂排列; 各项的次数和等于 n . 0 1 2 r n系数:留意正确区分二项式系数与项的系数,二项式系数依次是 C n , C n , C n , , C n , , C n . 项的系数是 a 与 b的系数(包括二项式系数);4常用的结论:令a1, bx ,1xnC0 n1 C x2 C x2r C xrn C xnnnNN令a1, bx1xnC0 n1 C x2 C x2r C xrn 1n C xn5性质:二项式系数的对称性:与首末两端“ 对距离” 的两个二项式系数相等,即C0Cn, CkCk1nnnn二项
3、式系数和:令ab1, 就二项式系数的和为C0 nC1 nC2 nCr nCn nn 2,变形式C1C2CrCn2n1;nnnn1 1n0,奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和:在二项式定理中,令a1, b1,就C01 C nC2C3n 1Cnnnnn从而得到:0 C nC2C4C2rC1C3C2r112nn 21nnnnnn2奇数项的系数和与偶数项的系数和:名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 细心整理 欢迎下载n 0 n 0 1 n 1 2 n 2 2 n 0 n 1 2 n a x C a x n C a n
4、x C a n x C a x n a 0 a x 1 a x 2 a x nn 0 0 n 1 n 1 2 2 n 2 n n 0 n 2 1 x a C a x C ax C a x C a x a x a x a x a 0令 x 1, 就 a 0 a 1 a 2 a 3 a n a 1 n 令 x 1, 就 a 0 a 1 a 2 a 3 a n a 1 n n n 得 , a 0 a 2 a 4 a n a 1 a 1 奇数项的系数和 2n n 得 , a 1 a 3 a 5 a n a 1 a 1 偶数项的系数和 2n二项式系数的最大项:假如二项式的幂指数 n 是偶数时,就中间一项
5、的二项式系数 C n 2 取得最大值;n 1 n 1假如二项式的幂指数 n 是奇数时, 就中间两项的二项式系数 C n 2 , C n 2 同时取得最大值;系数的最大项:求 a bx n绽开式中最大的项,一般采纳待定系数法;设绽开式中各项系数分别A r 1 A r为 A 1 , A 2 , , A n 1,设第 r 1 项系数最大,应有,从而解出 r 来;A r 1 A r 26二项式定理的十一种考题的解法:题型一:二项式定理的逆用;例:C1 nC2 n6C3 n2 6Cn n6n1 .13n1第 2 页,共 7 页解:16nC0C162 C n62C363Cn6n与已知的有一些差距,nnnn
6、C12 C n6C362Cnn 611C16C262Cnn 6 nnnnnn61C0C16C262Cnn 61116n117n1nnnn666练:C13 C29 C33n1Cn .nnnn解:设S nC1 n3 C2 n9 C3 n3n1Cn n,就3S nC13C22 3C33 3Cn nn 3C0C13C22 3C33 3Cnn 31nnnnnnnnS n13n14n31,由3题型二:利用通项公式求n x 的系数;例:在二项式413x2n的绽开式中倒数第3 项的系数为 45,求含有3 x 的项的系数?x解:由条件知Cn245,即C245,n2n900,解得n9舍去 或n10nn名师归纳总结
7、 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 细心整理欢迎下载845320rT1r C 10x110 rx2rCrx10r2r,由题意104r2r3,解得r6,4343103就含有3 x 的项是第 7 项T 6 16 C 10x32103 x , 系数为 210 ;练:求x219绽开式中9 x 的系数?2x解:rT1Crx29r1rr C x18 2r1rxrCr1r18 3 xr,令 183 r9, 就r3992x22故9 x 的系数为3 C 913 21;22题型三:利用通项公式求常数项;例:求二项式x221x10的绽开式中的常数项?解:rT1r C 10x
8、210 r21xrr C 101rx205r,令205r0,得r8,所以T 98 C 10 12222256练:求二项式2x16的绽开式中的常数项?3 1C2x解:rT1Cr2 6rr 1 1r 1rCr26r1rx6 2r,令 6 2r0,得r3,所以T46662x2练:如x21n的二项绽开式中第5 项为常数项,就n_.x解:T 5C4x2n4144 C x2n12,令 2n120,得n6. nx题型四:利用通项公式,再争论而确定有理数项;例:求二项式x3x9绽开式中的有理项?r9 得r3 或rna9,第 3 页,共 7 页解:rT1Crx19rx1rr 1r C x27r,令27 6rZ
9、, 02369所以当r3时,27 6r4,T 43 13 C x4844 x ,a2a 3 1nn 2 ,当r9时,276r3,T 103 19 C x33 x ;题型五:奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和;例:如x2312n绽开式中偶数项系数和为256,求 n . x解:设x2312n绽开式中各项系数依次设为a0,a 1,an,x令x1, 就有a 0a 1an0,令x1, 就有a 0a 1名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 细心整理欢迎下载,解得n11将 - 得:2a 1a 3a5n 2 ,a 1a3a 52n1,有题意得,2n1
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- 2022 二项式 定理 解题 技巧
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