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1、二项式定理1二项式定理：0n1n1(a b)n Cna Cnab rnrrCnab nnCnb(n N),2基本概念：二项式展开式：右边的多项式叫做(ab)的二项展开式;二项式系数:展开式中各项的系数Cn(r 0,1,2,n).项数：共(r 1)项,是关于a与b的齐次多项式通项：展开式中的第r 1项Cna3注意关键点：项数：展开式中总共有(n1)项;顺序：注意正确选择a,b,其顺序不能更改;(ab)与(ba)是不同的;指数：a的指数从n逐项减到0,是降幂排列;b的指数从0逐项减到n,是升幂排列;各项的次数和等于n.系数：注意正确区分二项式系数与项的系数,二项式系数依次是Cn,Cn,Cn,Cn,
2、Cn.项的系数是a与b的系数包括二项式系数;4常用的结论：n0122令a 1,b x,(1 x)CnCnx Cnx n0122令a 1,b x,(1 x)CnCnx Cnx rrCnx rrCnx nnCnx(n N)nn(1)nCnx(n N)012rnrnrnrrnrrab表示;br叫做二项式展开式的通项;用Tr1 Cnnn5性质：0nkk1二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等,即Cn Cn,Cn Cn012二项式系数和：令a b 1,则二项式系数的和为CnCnCn12变形式CnCnrCnn Cn 2n1;rCnnCn 2n,奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数
3、和：0123在二项式定理中,令a 1,b 1,则CnCnCnCnn(1)nCn(11)n 0,0242r13从而得到：CnCnCn Cn CnCn12r1Cn 2n 2n12n2n奇数项的系数和与偶数项的系数和：二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n是偶数时,则中间一项的二项式系数C取得最大值;如果二项式的幂指数n是奇数时,则中间两项的二项式系数Cn12n,Cn12n同时取得最大值;系数的最大项：求(a bx)展开式中最大的项,一般采用待定系数法;设展开式中各项系数分别为A1,A2,An1,设第r 1项系数最大,应有6二项式定理的十一种考题的解法：题型一：二项式定理的逆用；1232例：CnC
4、n6Cn6 nCn6n1 .n Cn6n与已知的有一些差距,nAr1 Ar,从而解出r来;Ar1 Ar2n012233解：(1 6)CnCn6Cn6 Cn6 123练：Cn3Cn9Cnn3n1Cn .n3n1Cn,则nn012233Cn3 CnCn3Cn3 Cn3 nn Cn3 1(1 3)n1123解：设Sn Cn3Cn9Cn122333Sn Cn3Cn3 Cn3(13)n14n1Sn33题型二：利用通项公式求xn的系数；例：在二项式(4解：由条件知Cnr10132nx)的展开式中倒数第3项的系数为45,求含有x3的项的系数x2 45,即Cn 45,n2n90 0,解得n 9(舍去)或n 1
5、0,由23r10r2r43n2Tr1 C(x)1410r(x)C xr10,由题意10r2r 3,解得r 6,43633则含有x3的项是第7项T61 C10 x 210 x,系数为210;19)展开式中x9的系数2x111rr182rr解：Tr1 C9(x2)9r()r C9x()rxr C9()rx183r,令183r 9,则r 32x22132193故x的系数为C9();22练：求(x2题型三：利用通项公式求常数项；例：求二项式(x212 x)10的展开式中的常数项1解：Tr1 C(x)r102 10rr1r205455818()C()x2,令20r 0,得r 8,所以T9C10()222
6、5622 xrr1016)的展开式中的常数项2x1rr6r1r62r解：Tr1 C6,令62r 0,得r 3,所以(2x)6r(1)r()r(1)rC62()x2x2练：求二项式(2x 3T4(1)3C6 20练：若(x2)n的二项展开式中第5项为常数项,则n _.442n12解：T5 Cn,令2n 12 0,得n 6.(x2)n4()4 Cnx1x1x题型四：利用通项公式,再讨论而确定有理数项；9例：求二项式(x 3x)展开式中的有理项解：Tr1 C(x)r9129r(x)(1)C x13rrr927r6,令27 rZ,0 r 9得r 3或r 9,627 r34x 84x4,4,T4(1)3
7、C9627 r93x x3;当r 9时,3,T10(1)3C96所以当r 3时,题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；例：若(x213x21)n展开式中偶数项系数和为256,求n.解：设(x23x2)n展开式中各项系数依次设为a0,a1,an,nn令x 1,则有a0 a1an 0,令x 1,则有a0 a1 a2 a3 (1)an 2,nn1将-得：2(a1 a3 a5)2,a1 a3 a5 2,有题意得,2练：若(3n1 256 28,n 9;151n)的展开式中,所有的奇数项的系数和为1024,求它的中间项;xx22r1Cn 2n1,2n11024,解得n 11解：0242r1
8、3CnCnCn Cn CnCn所以中间两个项分别为n 6,n 7,T51题型六：最大系数,最大项；61165154 C()(2)462x,T61 462x15xx53n例：已知(2x)n,若展开式中第5项,第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大项的系数是多少124652解：CnCn 2Cn,n 21n 98 0,解出n 7或n 14,当n 7时,展开式中二项式系数最354134,T5的系数 C7()2 70,当n 14时,227177展开式中二项式系数最大的项是T8,T8的系数 C14()2 3432;23大的项是T4和T5T4的系数 C7()42312练：在(a b)
9、2n的展开式中,二项式系数最大的项是多少解：二项式的幂指数是偶数2n,则中间一项的二项式系数最大,即T2n21 Tn1,也就是第n1项;练：在(x13)n的展开式中,只有第5项的二项式最大,则展开式中的常数项是多少2x解：只有第5项的二项式最大,则n1 5,即n 8,所以展开式中常数项为第七项等于21C86()2 72例：写出在(a b)的展开式中,系数最大的项系数最小的项解：因为二项式的幂指数7是奇数,所以中间两项第4,5项的二项式系数相等,且同时取得最大值,343434从而有T4 C7a b的系数最小,T5 C7a b系数最大;7例：若展开式前三项的二项式系数和等于79,求(2x)n的展开
10、式中系数最大的项012解：由CnCnCn 79,解出n 12,假设Tr1项最大,1211(2x)12()12(14x)1222rrr1r1Ar1 ArC124 C124rr,化简得到9.4 r 10.4,又0 r 12,r 10,展开r1r1A Ar1r2C124 C124式中系数最大的项为T11,有T11()C124 x练：在(1 2x)的展开式中系数最大的项是多少rrr解：假设Tr1项最大,Tr1 C102 x10121210101016896x10rrr1r1Ar1 Ar2(11 r)rC102 C102rr解得,化简得到6.3 k 7.3,又r1r1r 1 2(10 r)Ar1 Ar2
11、C102 C102,7772 x 15360 x7.0 r 10,r 7,展开式中系数最大的项为T8 C10题型七：含有三项变两项；25例：求当(x 3x 2)的展开式中x的一次项的系数(x23x 2)5(x2 2)3x5,Tr1 C5r(x2 2)5r(3x)r,当且仅当r 1时,Tr1的展开解法：124144式中才有 x 的一次项,此时Tr1 T2 C5(x 2)3x,所以x得一次项为C5C42 3x144它的系数为C5C42 3 240;255505145051455解法：(x 3x 2)(x 1)(x 2)(C5x C5x C5)(C5x C5x 2 C52)45544故展开式中含x的
12、项为C5xC52 C5x2 240 x,故展开式中x的系数为 240.练：求式子(x 12)3的常数项x解：(x 1162)3(x),设第r 1项为常数项,则xx6rrTr1 C6(1)rx(1r62r33r)(1)6C6x,得62r 0,r 3,T31(1)C6 20.x题型八：两个二项式相乘；例：求(12x)(1 x)展开式中x 的系数.解：mm(1 2x)3的展开式的通项是C3(2x)m C32mxm,342令mn 2,则m 0且n 2,m 1且n 1,m 2且n 0,因此(12x)3(1 x)42110的展开式中x2的系数等于C3020C4(1)2C321C4(1)1C3222C4(1
13、)0 6.练：求(13x)(16110)展开式中的常数项.4xmn4m3n110mnmn)展开式的通项为C6x3C10 x4 C6C10 x12解：(13x)(14x6003468时得展开式中的常数项为 C6C10C6C10C6C10 4246.练：已知(1 x x)(x解：(x21n)的展开式中没有常数项,nN*且2 n 8,则n _.3x1nnrn4r)展开式的通项为Crx3r Cr,通项分别与前面的三项相乘可得nxnx3x2时,S _.题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；2006例：在(x2)的二项展开式中,含x的奇次幂的项之和为 S,当x 解：设(x2)2006=a0a1x1a2x
14、2a3x3题型十：赋值法；a2006x2006-例：设二项式(33x)n的展开式的各项系数的和为p,所有二项式系数的和为s,若1xps 272,则n等于多少0nn解：若(33x)n a0 a1x a2x2 anxn,有P a0 a1 an,S Cn Cn 2,1x令x 1得P 4n,又p s 272,即4 2 272 (2 17)(2 16)0解得nnnn2n16或2n 17(舍去),n 4.1 练：若3 x 的展开式中各项系数之和为64,则展开式的常数项为多少x1 n解：令x 1,则3 x 的展开式中各项系数之和为2 64,所以n 6,则展开式的常数项为x3C6(3 x)3(nn13)540.x例：若(12x)解：令x 2009 a0a1x1a2x2a3x3a2009x2009(xR),则aa1a222009的值为2009222a2009a2009aaa1a21,可得a012 0,a022009220092222222554321练：若(x2)a5x a4x a3x a2x a1x a0,则a1a2a3a4a5 _.解：令x 0得a0 32,令x 1得a0a1a2a3a4a5 1,题型十一：整除性；例：证明：3证：32n22n28n 9(n N*)能被 64 整除8n9 9n18n9 (81)n18n92n2由于各项均能被 64 整除38n 9(n N*)能被64整除